制動放射

原子核の電場によって偏向された高エネルギー電子によって発生する制動放射線

素粒子物理学では、制動放射( / ˈ b r ɛ m ʃ t r ɑː l ə ŋ / ; ^{[ 1 ]}ドイツ語: [ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ]制動^{放射線（せいどうひゃく}、ドイツ語のbremsen 「ブレーキ」とStrahlung 「放射線」）は、荷電粒子が別の荷電粒子（典型的には電子と原子核減速に発生する電磁放射線運動エネルギーを、それが放射線（すなわち光子）に変換されるため、エネルギー保存の法則が満たさ。この用語は、放射線を生成する過程を指す際にも使用されます。制動放射線は連続スペクトル、減速粒子のエネルギー変化が大きくなるにつれて強度が増し、ピーク強度は高周波側へとシフトします。

広義には、制動放射線（または制動放射）とは、荷電粒子の加速（正または負）によって発生するあらゆる放射線を指します。これには、シンクロトロン放射（すなわち、相対論的粒子による光子放出）、サイクロトロン放射（すなわち、非相対論的粒子による光子放出）、そしてベータ崩壊中の電子と陽電子の放出が含まれます。ただし、この用語は、電子（発生源は問わない）が物質中で減速する際に発生する放射線という、より狭義の意味でよく使用されます。

プラズマから放出される制動放射線は、自由-自由放射線と呼ばれることもあります 。これは、光子の放出前は自由（つまり、原子または分子に束縛されていない）状態にあり、放出後も自由状態を維持する電子によって生成される放射線です。同様に、束縛-束縛放射線は離散的なスペクトル線（電子が2つの束縛状態の間を「ジャンプ」する）を指し、自由-束縛放射線は自由電子がイオンと 再結合する放射結合過程を指します。

この記事では、SI 単位とスケールされた単一粒子電荷を使用します。 ${\displaystyle {\bar {q}}\equiv q/(4\pi \epsilon _{0})^{1/2}}$

古典的な説明

（負の）電荷が最初に一定速度で移動し、その後急停止することで発生する制動放射線を示す、電界の磁力線と係数

量子効果が無視できる場合、加速する荷電粒子は、ラーモアの公式とその相対論的一般化によって説明されるとおりにエネルギーを放射します。

全放射電力

全放射電力は^{[ 2 ]} で、（粒子の速度を光速で割ったもの）、はローレンツ因子、は真空の誘電率、はの時間微分、qは粒子の電荷です。速度が加速度と平行（つまり直線運動）の場合、式は^{[ 3 ]}に簡約されます。 ここで、は加速度です。例えばシンクロトロンにおける、速度（）に垂直な加速度の場合、全放射電力は $${\displaystyle P={\frac {2{\bar {q}}^{2}\gamma ^{4}}{3c}}\left({\dot {\beta }}^{2}+{\frac {\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)^{2}}{1-\beta ^{2}}}\right),}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\mathbf {v} }{c}}}$ ${\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta}}}$ $${\displaystyle P_{a\parallel v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{6}}{3c^{3}}},}$$ ${\displaystyle a\equiv {\dot {v}}={\dot {\beta }}c}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}=0}$ $${\displaystyle P_{a\perp v}={\frac {2{\bar {q}}^{2}a^{2}\gamma ^{4}}{3c^{3}}}.}}$$

2つの極限ケースで放射される電力は、またはに比例します。 なので、同じエネルギーを持つ粒子の場合、放射される電力の合計は または になることがわかり、これが、電子が制動放射線によってより重い荷電粒子（ミューオン、陽子、アルファ粒子など）よりもはるかに急速にエネルギーを失う理由を説明しています。これが、TeVエネルギーの電子-陽電子衝突型加速器（提案されている国際リニアコライダーなど）が円形トンネルを使用できない（一定の加速が必要）のに対し、陽子-陽子衝突型加速器（大型ハドロン衝突型加速器など）が円形トンネルを利用できる理由です。電子は、陽子よりも 倍高い速度で制動放射線によってエネルギーを失います。 ${\displaystyle \gamma^{4}}$ ${\displaystyle \left(a\perp v\right)}$ ${\displaystyle \gamma^{6}}$ ${\displaystyle \left(a\parallel v\right)}$ ${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m^{-4}}$ ${\displaystyle m^{-6}}$ ${\displaystyle (m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^{4}\approx 10^{13}}$

角度分布

角度の関数としての放射電力の最も一般的な式は次のとおりです。^{[ 4 ]} ここで、は粒子から観測者に向かう単位ベクトルであり、は無限小の立体角です $${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {{\bar {q}}^{2}}{4\pi c}}{\frac {\left|{\hat {\mathbf {n} }}\times \left(\left({\hat {\mathbf {n} }}-{\boldsymbol {\beta }}\right)\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}\right)\right|^{2}}{\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}\right)^{5}}}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle d\Ω}$

速度が加速度に平行な場合（例えば直線運動）、これは^{[ 4 ]} のように簡略化されます。 ここで、は観測方向と間の角度です。 $${\displaystyle {\frac {dP_{a\parallel v}}{d\Ω}}={\frac {{\bar {q}}^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin^{2}\theta}{(1-\beta \cos \theta)^{5}}}}$$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

簡略化された量子力学的記述

制動放射の完全な量子力学的扱いは非常に複雑です。純粋クーロンポテンシャルを用いた、1個の電子、1個のイオン、1個の光子の相互作用の「真空の場合」には、おそらく1931年にアーノルド・ゾンマーフェルトによって初めて発表された厳密解があります。 ^{[ 5 ]}この解析解は複雑な数学を伴い、KarzasとLatterによる数値計算などがいくつか発表されています。^{[ 6 ]また、Weinberg [ 7 ]}やPradlerとSemmelrock による最近の研究などで、近似式も提示されています。 ^{[ 8 ]}

このセクションでは、前のセクションの量子力学的な類似物を、重要な物理を説明するためにいくつか簡略化して示します。 質量、電荷、初期速度の電子が、電荷と数密度の重イオンのガスのクーロン場で減速するという特殊なケースを、非相対論的に扱います。放出される放射線は、周波数 とエネルギーの光子です。 （光子速度空間の立体角 * 光子周波数）あたりの放射電力を両方の横方向光子偏光について合計した放射率を求めます。 これを、量子補正およびその他の補正を考慮した 近似的な古典的結果に自由−自由放射のゴーント因子g _{ff を}乗じたものとして表します。の場合、つまり、電子は光子を放出するのに十分な運動エネルギーを持っていません。 の一般的な量子力学の式は存在しますが、非常に複雑で、通常は数値計算によって求められます。 次の追加の仮定を加えた近似結果をいくつか示します。 ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Ze}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \nu =c/\lambda }$ ${\displaystyle h\nu }$ ${\displaystyle j(v,\nu)}$ $${\displaystyle j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}{Z^{2}{\bar {e}}^{6}n_{i} \over c^{3}m_{\text{e}}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )}$$ ${\displaystyle j(\nu,v)=0}$ ${\displaystyle h\nu >mv^{2}/2}$ ${\displaystyle g_{\rm {ff}}}$

• 真空相互作用：プラズマ遮蔽効果など、背景媒質の影響は無視します。これは、プラズマ電子密度において、光子周波数がプラズマ周波数 ​​よりもはるかに高い場合、妥当な値です。ただし、光波はエバネッセント波であるため、大きく異なるアプローチが必要となることに注意してください。${\displaystyle \nu_{\rm{pe}}\propto n_{\rm{e}}^{1/2}}$ ${\displaystyle n_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \nu <\nu _{\rm {pe}}}$
• ソフト光子:つまり、光子のエネルギーは初期の電子の運動エネルギーよりもはるかに小さくなります。${\displaystyle h\nu \ll m_{\text{e}}v^{2}/2}$

これらの仮定のもと、2つの単位のないパラメータがプロセスを特徴づける。は電子-イオンクーロン相互作用の強さを測るパラメータであり、 は光子の「柔らかさ」を測るパラメータである。また、 は常に小さいと仮定する（係数2の選択は、後の便宜のためである）。 の極限において、量子力学的なボルン近似は以下を与える。 ${\displaystyle \eta _{Z}\equiv Z{\bar {e}}^{2}/\hbar v}$ ${\displaystyle \eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{\text{e}}v^{2}}$ ${\displaystyle \eta _{Z}\ll 1}$ $${\displaystyle g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}}$$

反対の極限では、完全な量子力学的結果は純粋に古典的な結果に帰着します 。 ここで、はオイラー・マスケローニ定数です。これはプランク定数を含まない純粋に古典的な表現であることに注意してください。 ${\displaystyle \eta _{Z}\gg 1}$ $${\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]}$$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ ${\displaystyle 1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{\text{e}}v^{3}/\pi Z{\bar {e}}^{2}\nu }$ ${\displaystyle h}$

ゴーント因子を理解するための半古典的な発見的な方法は、次のように書くことです。ここで、 と は、光子電場が存在する場合の電子-イオン衝突における「衝突パラメータ」の最大値と最小値です。我々の仮定によれば、衝突パラメータが大きい場合、光子電場の正弦波振動によって「位相混合」が生じ、相互作用が大幅に減少します。は、量子力学的なド・ブロイ波長と古典的な最接近距離のいずれか大きい方であり、電子-イオンのクーロンポテンシャルエネルギーは電子の初期運動エネルギーに匹敵します。 ${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})}$ ${\displaystyle b_{\max }}$ ${\displaystyle b_{\min }}$ ${\displaystyle b_{\rm {max}}=v/\nu }$ ${\displaystyle b_{\rm {min}}}$ ${\displaystyle \approx h/m_{\text{e}}v}$ ${\displaystyle \approx {\bar {e}}^{2}/m_{\text{e}}v^{2}}$

上記の近似は、対数の引数が大きい限り一般的に適用され、1より小さい場合は破綻します。つまり、ゴーント因子のこれらの形は負になり、これは物理的に不可能です。適切なボルン極限と古典極限を用いた完全な計算の大まかな近似は、次のようになります。 $${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}$$

媒体中の熱制動放射: 放出と吸収

このセクションでは、巨視的媒質における制動放射線放出と逆吸収過程（逆制動放射線と呼ばれる）について論じる。まず、制動放射線だけでなく一般的な過程にも適用される 放射伝達方程式から始める。$${\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }}$$

${\displaystyle I_{\nu }(t,\mathbf {x} )}$ は放射スペクトル強度、つまり（面積 ×光子速度空間における立体角× 光子周波数）あたりの、両偏光における合計のパワーです。は放射率で、上で定義したものと類似しています。は吸収率です。と は放射ではなく物質の特性であり、媒質中のすべての粒子を考慮します。前のセクションのように、電子とイオンのペアだけではありません。が空間と時間で均一である場合、伝達方程式の左辺はゼロとなり、 ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle j(v,\nu )}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle I_{\nu }}$ $${\displaystyle I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}}$$

物質と放射がある温度で熱平衡状態にある場合、黒体スペクトルはでなければなりません。 と はに依存しない ため、これは、物質がある温度で平衡状態にある場合、放射の状態にかかわらず、黒体スペクトルが必ず であることを意味します。これにより、平衡状態にある物質について、片方が分かれば、と の両方を即座に知ることができます。 ${\displaystyle I_{\nu }}$ $${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T_{\text{e}})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}-1}}}$$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$ ${\displaystyle I_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }/k_{\nu }}$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu }}$

血漿中：近似的な古典的な結果

注：このセクションでは、現在レイリー・ジーンズ限界 に適用される公式を示しており、量子化された（プランク）放射の扱いは用いていません。したがって、 のような通常の因子は現れません。以下でが現れるのは、衝突の量子力学的扱いによるものです。${\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{\text{e}})}$ ${\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$ ${\displaystyle y}$

マクスウェル分布の電子からの制動放射線放出パワースペクトルに関するベケフィの古典的な結果。 が大きい場合、急速に減少し、 付近でも抑制されます。このプロットは、 、 の量子ケースです。青い曲線は の完全な式、赤い曲線は の近似対数形です。${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle T_{\text{e}}>Z^{2}E_{\text{h}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\text{p}}/T_{\text{e}}=0.1}$ ${\displaystyle E_{1}(y)}$ ${\displaystyle y\ll 1}$

プラズマでは、自由電子がイオンと絶えず衝突し、制動放射線が発生します。完全な解析には、二体クーロン衝突と集団（誘電）挙動の両方を考慮する必要があります。詳細な扱いはBekefi ^{[ 9 ]}によって示されており、簡略化された扱いはIchimaru ^{[ 10 ]}によって示されています。本節では、Bekefiの誘電的扱いに従い、衝突はカットオフ波数 によって近似的に考慮されます。${\displaystyle k_{\text{max}}}$

均一なプラズマを考えます。このプラズマでは、熱電子は温度 のマクスウェル・ボルツマン分布に従って分布しています。Bekefi に従って、放射される制動放射線のパワースペクトル密度（体積あたりの角周波数間隔あたりのパワーを立体角のsr全体で積分し、偏光にわたって合計したもの）は次のように計算されます。 ここで、 は電子プラズマ周波数​​、は光子周波数、は電子とイオンの数密度、その他の記号は物理定数です。2 番目の括弧内の係数はプラズマ内の光波の屈折率で、 では放射が大幅に抑制されることがわかります（これはプラズマ内の光波のカットオフ条件です。この場合、光波はエバネッセント です）。したがって、この式は にのみ適用されます。この式は、複数種のイオン種プラズマ内のイオン種にわたって合計される必要があります。 ${\displaystyle T_{\text{e}}}$ ${\displaystyle 4\pi }$ $${\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),}$$ ${\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{\text{e}}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{\text{e}})^{1/2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n_{\text{e}},n_{i}}$ ${\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}$

関数は指数積分であり、単位のない量は ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{\text{e}} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}$$

${\displaystyle k_{\text{max}}}$ は二体衝突によって生じる最大波数またはカットオフ波数であり、イオン種によって変化する可能性があります。おおよそ、（それほど低温ではないプラズマでは典型的です）のとき、 eVはハートリーエネルギー、は電子の熱ド・ブロイ波長です。それ以外の場合、は最接近時の古典的なクーロン距離です。 ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}}$ ${\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2}$ ${\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}}$ ${\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}}$ ${\displaystyle l_{\text{C}}}$

通常の場合、 ${\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.}$$

の式は近似値であり、よりわずかに高い値で発生する放出の増加を無視します。${\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\text{p}}}$

の極限において、 はオイラー・マスケロニ定数として近似できます。先頭の対数項は頻繁に使用され、他の衝突プラズマ計算で見られるクーロン対数に似ています。対数項は負であり、この近似は明らかに不十分です。Bekefiは、詳細な二体衝突計算と一致する対数項の修正された式を示しています。 ${\displaystyle y\ll 1}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$ ${\displaystyle y>e^{-\gamma }}$

全周波数にわたって積分された総放射電力密度は $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }d\omega {\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }dy\,y^{-{1}/{2}}\left[1-{y_{\text{p}} \over y}\right]^{1/2}E_{1}(y)\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle G(y_{\text{p}}=0)=1}$ は とともに減少し、常に正である。 については、${\displaystyle y_{\text{p}}}$ ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$

$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}(k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}$$

の量子的な性質によりの出現に注意すること。実用的な単位では、この式のよく使われるバージョンは^{[ 11 ]}である。${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle G=1}$ $${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}$$

この式は上記の式の1.59倍であり、この差は二元衝突の詳細によるものです。このような曖昧さは、しばしばゴーント因子を導入することで表現されます。例えば^{[ 12 ]}では、すべてがCGS単位 で表されていることがわかります 。${\displaystyle g_{\rm {B}}}$ $${\displaystyle \varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{\text{e}}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,}$$

相対論的補正

陽子に衝突する電子による30keV光子の放出に対する相対論的補正

非常に高い温度では、この式に相対論的な補正、つまり のオーダーの追加項が加わります。^{[ 13 ]}${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}/m_{\text{e}}c^{2}}$

制動放射線冷却

プラズマが光学的に薄い場合、制動放射線はプラズマから放出され、プラズマ内部のエネルギーの一部を運びます。この効果は制動放射線冷却として知られています。これは放射冷却の一種です。制動放射線によって運び去られるエネルギーは制動放射線損失と呼ばれ、放射損失の一種です。制動放射線損失という用語は、一般的に、核融合プラズマなど、プラズマの冷却が望ましくない場合に使用 されます

偏光制動放射線

分極制動放射線（「原子制動放射線」と呼ばれることもある）は、入射荷電粒子のクーロン場によって標的原子が分極される際に、標的原子の電子から放出される放射線である。^{[ 14 ] [ 15 ]分極制動放射線が全制動放射線スペクトルに及ぼす寄与は、比較的質量の大きい入射粒子、 [ 16 ]}共鳴過程、^{[ 17 ]自由原子[ 18 ]}を含む実験で観測されている。しかし、固体標的に高速電子を入射させる実験において、分極制動放射線が有意に寄与するかどうかについては、依然として議論の余地がある。^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

「偏光」という用語は、放出される制動放射線が偏光していることを意味するものではないことに注意する必要がある。また、偏光制動放射線の角度分布は、理論的には通常の制動放射線とは大きく異なる。^{[ 22 ]}

発生源

X線管

60kVで動作し、ロジウムターゲットを備えたX線管から放出されるX線のスペクトル。連続した曲線は制動放射線によるもので、スパイク状の部分はロジウムに特徴的なK線です。この曲線は、本文で説明されているデュアン・ハントの法則と一致して、午後21時にゼロになります

X線管では、真空中の電子が電界によって加速され、「ターゲット」と呼ばれる物質に向かって進みます。電子がターゲットに衝突すると、X線が放出されます。

物理学者たちは20世紀初頭にすでに、X線が2つの成分、すなわち標的物質に依存しない成分と蛍光特性を持つ成分から成り立つことを発見していた。^{[ 23 ]}現在では、出力スペクトルは特定のエネルギーで鋭いピークを持つX線の連続スペクトルから成り立つと言われている。前者は制動放射線によるもので、後者は標的の原子に関連する特性X線である。このため、この文脈における制動放射線は連続X線とも呼ばれる。^{[ 24 ]}このドイツ語自体は、最初の種類のX線の性質を説明するために、 1909年にアーノルド・ゾンマーフェルトによって導入された。 ^{[ 23 ]}

この連続スペクトルの形状は、クラマースの法則によってほぼ説明されます。

クラマースの法則の式は、通常、放射される放射線の波長に対する強度（光子数）の分布として表される。 ^{[ 25 ]}${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle I(\lambda )\,d\lambda =K\left({\frac {\lambda }{\lambda _{\min }}}-1\right){\frac {d\lambda }{\lambda ^{2}}}}$$

定数Kは対象元素の原子番号に比例し、デュアン・ハントの法則によって与えられる最小波長です。 ${\displaystyle \lambda _{\min }}$

スペクトルは で鋭くカットオフしますが、これは入射電子のエネルギーが限られているためです。例えば、管内の電子が 60 kVで加速されると、運動エネルギーは 60 keVとなり、エネルギー保存則により、標的に衝突すると最大で 60 keV のエネルギーを持つX線を発生します。（この上限は、電子がX線光子を1つだけ放出して停止することに対応しています。通常、電子は多数の光子を放出し、それぞれのエネルギーは 60 keV 未満です。）エネルギーが最大で 60 keV の光子の波長は少なくとも${\displaystyle \lambda _{\min }}$ 21  pmなので、グラフに示されているように、連続X線スペクトルはまさにそのカットオフを持っています。より一般的には、低波長カットオフの式、すなわちデュアン・ハントの法則は、以下の通りです。^{[ 26 ]} ここで、hはプランク定数、cは光速、Vは電子が加速される電圧、 eは素電荷、pmはピコメートル、そして右端の式では電圧の単位はキロボルト（kV）です。 $${\displaystyle \lambda _{\min }={\frac {hc}{eV}}\approx {\frac {1239.8}{V}}\,\mathrm {pm{\cdot }kV} }$$

ベータ崩壊

ベータ粒子を放出する物質は、制動放射線（下記の「外制動放射線」を参照）による連続スペクトルを持つ弱い放射線を発することがあります。この場合、制動放射線は「二次放射線」の一種であり、一次放射線（ベータ粒子）を停止（または減速）した結果として生成されます。これは、X線発生器で電子を金属ターゲットに衝突させることによって生成されるX線（上記）と非常によく似ていますが、ベータ放射線からの高速電子によって生成される点が異なります

内側と外側の制動放射

「内制動放射線」（「内部制動放射線」とも呼ばれる）は、電子の生成と、崩壊過程にある原子核の領域に存在する強い電場によって電子が原子核から放出される際にエネルギーを失うことによって生じる。このような放射線は原子核におけるベータ崩壊の特徴であるが、自由中性子から陽子へのベータ崩壊においても時折（あまり一般的ではないが）見られる。この場合には、ベータ電子が陽子から放出される際に生成される。

ベータ崩壊による電子と陽電子の放出では、光子のエネルギーは電子-核子対から得られ、制動放射線のスペクトルはベータ粒子のエネルギーが増加するにつれて連続的に減少します。電子捕獲では、エネルギーはニュートリノを犠牲にして得られ、スペクトルは通常のニュートリノエネルギーの約3分の1で最大になり、通常のニュートリノエネルギーで電磁エネルギーがゼロに減少します。電子捕獲の場合、荷電粒子が放出されなくても制動放射線が放出されることに注意します。代わりに、制動放射線は捕獲された電子が吸収される方向に加速されるときに生成されると考えられます。このような放射線は軟ガンマ線と同じ周波数である可能性がありますが、ガンマ崩壊の鋭いスペクトル線を示さないため、厳密にはガンマ線ではありません。

内部過程は、上で述べたように、外部から来た電子（つまり、他の原子核から放出された電子）が原子核に衝突することによって生じる「外部」制動放射線とは対照的である。^{[ 27 ]}

放射線安全

崩壊など、場合によっては³²Pの場合、通常使用される高密度材料（例：鉛）でベータ線を遮蔽することで発生する制動放射線自体が危険です。そのような場合、遮蔽は プレキシガラス（ルーサイト）、プラスチック、木材、水などの低密度材料で行う必要があります。 ^{[ 28 ]}これらの材料は原子番号が低いため、制動放射線の強度は大幅に減少しますが、電子（ベータ線）を止めるにはより厚い遮蔽が必要になります

天体物理学では

銀河団における支配的な発光成分は、10 ⁷～ 10 ⁸ケルビンの銀河間媒質である。銀河間媒質からの放射は、熱制動放射によって特徴付けられる。この放射はX線のエネルギー領域にあり、チャンドラX線観測衛星、XMM-ニュートン、ROSAT、ASCA、EXOSAT、すざく、RHESSIなどの宇宙望遠鏡、そして将来のIXO [1]やAstro-H [2]といったミッションによって容易に観測できる。

制動放射は、電波波長における H II 領域の主な放出メカニズムでもあります。

放電において

放電においては、例えば2つの電極間の実験室放電、雲と地面の間、あるいは雲内部での雷放電など、電子は空気分子を散乱させながら制動放射線光子を生成します。これらの光子は地上のガンマ線閃光として現れ、電子、陽電子、中性子、陽子のビーム源となります。^{[ 29 ]}制動放射線光子の出現は、酸素濃度の低い窒素と酸素の混合物における放電の伝播と形態にも影響を与えます。^{[ 30 ]}

量子力学的記述

完全な量子力学的記述は、ベーテとハイトラーによって初めて行われました。^{[ 31 ]}彼らは、原子核で散乱する電子が平面波であると仮定し、その過程の完全な幾何学と放出された光子の周波数を関連付ける断面積を導きました。対生成に対して量子力学的対称性を示す四重微分断面積は 、

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$

ここで、は原子番号、微細構造定数、換算プランク定数、光速です。電子の運動エネルギーは、電子の全エネルギーまたは運動量と、電子の質量によって次 のように結びついています。エネルギー保存則により、光子のエネルギーは 次のように表されます 。放出された光子と散乱した電子の方向は、光子の運動量 によって表されます 。${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}}$ ${\displaystyle E_{i,f}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}}$ $${\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{\text{e}}c^{2}={\sqrt {m_{\text{e}}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},}$$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ $${\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}$$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

微分は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}$$

原子核と電子の間の 仮想光子の絶対値は

${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}}$

有効範囲はボルン近似によって与えられ、 この関係は初期状態と最終状態の電子の 速度に対して満たされる必要があります。$${\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}$$ ${\displaystyle v}$

実際の応用（例えばモンテカルロコード）では、放出された光子の周波数と、この光子と入射電子との間の角度の関係に注目することが興味深い場合がある。ケーンとエーバートは、ベテとハイトラーによる四重微分断面積をとについて積分し、次 式 を得た。 ^{[ 32 ]}${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Theta _{f}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}}$

しかし、同じ積分に対するはるかに単純な表現が^{[ 33 ]}（式2BN）と^{[ 34 ]}（式4.1） に見られます

上記の二重微分断面積の分析により、運動エネルギーが静止エネルギー (511 keV) より大きい電子は前方に光子を放出するのに対し、エネルギーが小さい電子は等方的に光子を放出することが分かります。

電子-電子制動放射線

原子番号が小さい場合に重要と考えられるメカニズムの1つは、原子または分子の殻電子における自由電子の散乱です。^{[ 35 ]}電子-電子制動放射線はの関数であり、通常の電子-原子核制動放射線はの関数であるため、金属の場合、電子-電子制動放射線は無視できます。しかし、空気の場合、地球のガンマ線フラッシュの生成に重要な役割を果たします。^{[ 36 ]}${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{2}}$

関連項目

• ビーム放射
• サイクロトロン放射
• ウィグラー（シンクロトロン）
• 自由電子レーザー
• X線の歴史
• ランダウ・ポメランチューク・ミグダル効果
• 核融合: 制動放射損失
• 物質中の高エネルギー電子による制動放射線によるエネルギー損失を特徴付ける放射長
• シンクロトロン光源

参考文献

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さらに詳しい情報

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外部リンク

• 初期の制動放射記事のインデックス