自由代数

数学、特に環論として知られる抽象代数学の分野において、自由代数は多項式環の非可換な類似体であり、その元は非可換変数を持つ「多項式」として記述できる。同様に、多項式環は自由可換代数とみなすことができる。

意味

Rが可換環である場合、 n個の不定元{ X 1 ,..., X n }上の自由（結合的、単位的）代数は、アルファベット { X 1 ,..., X n } 上のすべての単語（自由代数の単位である空単語を含む）を基底とする自由R加群である。このR加群は、次のように乗法を定義することでR代数となる。2 つの基底元の積は、対応する単語の 連結となる。

（X私1X私2⋯X私l）⋅（Xj1Xj2⋯Xjメートル）＝X私1X私2⋯X私lXj1Xj2⋯Xjメートル、{\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}

そして、任意の2つのR加群の積は一意に定まる（R代数における乗法は必ずR双線型となるため）。このR代数はR ⟨ X 1 ,..., X n ⟩と表記される。この構成は、任意の不定元集合Xに容易に一般化できる。

つまり、任意の集合Xに対して、 X上の自由（結合的、単位的）R代数は X＝{X私;私∈私}{\displaystyle X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}}

R⟨X⟩:=⨁わ∈X∗Rわ{\displaystyle R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}

R双線形乗算は単語の連結であり、ここでX * はX上の自由モノイド（つまり、文字X i上の単語）を表し、は外部直和を表し、Rw は1 つの要素である単語w上の自由R加群を表します。 ⊕{\displaystyle \oplus}

例えば、R ⟨ X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ⟩において、スカラーα、β、γ、δ ∈ Rに対して、2つの要素の積の具体的な例は

（αX1X22+βX2X3）⋅（γX2X1+δX14X4）＝αγX1X23X1+αδX1X22X14X4+βγX2X3X2X1+βδX2X3X14X4{\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}。

非可換多項式環は、X i内のすべての有限語の自由モノイドのR上のモノイド環と同一視されることがある。

多項式との対比

アルファベット上の単語 { X 1 , ..., X n } はR ⟨ X 1 ,..., X n ⟩の基底を形成するので、 R ⟨ X 1 , ..., X n ⟩ の任意の要素は次の形式で一意に表せること は明らかです。

∑け＝0∞∑私1、私2、⋯、私け∈{1、2、⋯、n}1つの私1、私2、⋯、私けX私1X私2⋯X私け、{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}

ここで、はRの元であり、これらの元のうち有限個を除いてすべては 0 です。これは、R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩ の元が「変数」（または「不定値」） X 1 ,..., X nにおける「非可換多項式」と表記されることが多い理由を説明しています。つまり、元はこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、 R代数R ⟨ X 1 ,..., X n ⟩ は「 n個の不定値におけるR上の非可換多項式代数」と呼ばれます。実際の多項式環とは異なり、変数は交換されないことに注意してください。たとえば、X 1 X 2はX 2 X 1と等しくありません。 1つの私1、私2、。。。、私け{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}1つの私1、私2、。。。、私け{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}

より一般的には、任意の生成元集合E 上に自由環 R ⟨ E ⟩を構築できる。環はZ環とみなせるので、E上の自由環は自由環Z ⟨ E ⟩として定義できる。

体上において、 n個の不定元上の自由代数は、n次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できます。より一般的な係数環については、 n 個の生成元上の自由加群を取れば、同様の構成が可能です。

E上の自由代数の構成は本質的に関数的であり、適切な普遍性を満たす。自由代数関数は、R -代数の圏から集合の圏への忘却関数の左随伴である。

分割環上の自由代数は自由イデアル環である。

参照

参考文献

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