結合代数の自由積

代数学において、可換環R上の結合代数の族の自由積（余積）は、 R上の結合代数であり、大まかに言えば、 の生成元と の関係によって定義される。2つの代数A、Bの自由積はA ∗ Bと表記される。この概念は、群の自由積の環論的類似である。 ${\displaystyle A_{i},i\in I}$ ${\displaystyle A_{i}}$

可換R代数のカテゴリでは、2 つの代数 (そのカテゴリ内)の自由積はそれらのテンソル積です。

工事

まず、2つの代数の自由積を定義する。AとBを可換環R上の代数とする。それらのテンソル代数、すなわちAとBのすべての可能な有限テンソル積の直和を考える。明示的に、ここで ${\displaystyle T=\bigoplus _{n=1}^{\infty }T_{n}}$

${\displaystyle T_{1}=A\oplus B,\,\,T_{2}=(A\otimes A)\oplus (A\otimes B)\oplus (B\otimes A)\oplus (B\otimes B),\,\dots }$

次に、

${\displaystyle A*B=T/I}$

ここで、Iは、次の形式の要素によって生成される 両側イデアルである。

${\displaystyle a\otimes a'-aa',\,b\otimes b'-bb',\,1_{A}-1_{B}.}$

上記の構成が共積の 普遍的特性を備えているかどうかは簡単に検証できます。

有限自由積も同様に定義されます。

参考文献

• KI Beidar、WS Martindale、AV Mikhalev、「一般化された恒等環」、第1.4節。この参考文献は「（非可換）結合代数の圏における余積」で言及されています。Stack Exchange。2012年5月9日。

外部リンク

• 「2つの（非可換）環の余積を構築する方法」 Stack Exchange 2014年1月3日