自由格子

数学の順序論の分野において、自由格子は格子に対応する自由対象である。自由対象として、それらは普遍的性質を持つ。

正式な定義

格子の概念は、2 つの演算と特定の恒等式を満たすことで公理化できるため、すべての格子のカテゴリは多様体 (普遍代数)を構成し、したがって (普遍代数の一般原理により)このカテゴリ内には自由オブジェクト、つまり一般公理から導かれる関係 のみが成り立つ格子が存在します。${\displaystyle \wedge}$ ${\displaystyle \vee}$

これらの自由格子は、関連する普遍的性質を用いて特徴付けることができる。具体的には、自由格子は集合から格子への関数 であり、各集合には、対応する元を割り当てる集合写像を備えた自由格子が割り当てられる。これらの普遍的性質は、から任意の格子への任意の写像に対して、を満たす唯一の格子準同型が存在することである。あるいは、可換図として、 この関数は、格子からその基礎集合への 忘却関数の左随伴である。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle \eta \colon X\longrightarrow F(X)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \eta (x)\in F(X)}$ ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon F(X)\longrightarrow L}$ ${\displaystyle f={\tilde {f}}\circ \eta }$ $${\displaystyle {\begin{array}{cccc}X&{\stackrel {\eta }{\longrightarrow }}&F(X)\\&\!\forall f\searrow &{\Bigg \downarrow }\exists _{1}{\tilde {f}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\quad \\&&L\end{array}}}$$ ${\displaystyle F}$

自由格子に関する事柄は普遍的性質を使って直接証明できることが多いのですが、そのような議論は抽象的になりがちなので、具体的な構成は貴重な代替表現となります。

半格子

半格子の場合、自由半格子 の明示的な構成は容易であり、これは普遍性という観点から定義のいくつかの特徴を示すのに役立つ。具体的には、自由半格子 はのすべての有限な空でない部分集合の集合として実現でき、通常の集合の和は結合演算 となる。写像 はの要素を単集合に写像する。すなわち、すべての に対して となる。任意の半格子および任意の集合写像に対して、対応する普遍射はで与えられる 。 ここで はにおける半格子演算を表す。 ${\displaystyle F_{\vee}(X)}$ ${\displaystyle F_{\vee}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \vee}$ ${\displaystyle \eta \colon X\longrightarrow F_{\vee }(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \eta (x)=\{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow L}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon F_{\vee }(X)\longrightarrow L}$ $${\displaystyle {\tilde {f}}(S)=\bigvee _{x\in S}f(x)\qquad {\text{すべての}}S\in F_{\vee }(X)}に対して$$ ${\displaystyle \bigvee}$ ${\displaystyle L}$

のこの形は普遍性によって強制される。すなわち、任意の は、いくつかの に対しての形の元の有限和として表すことができ、普遍性における等式は を言い、そして最後に の準同型性は、すべての に対してを意味する。しかし、 の の無限部分集合への拡張（もし存在するならば）は、これらの条件によって一意に決定される必要はない。したがって、の無限部分集合に対応する の元は存在しない。 ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle S\in F_{\vee }(X)}$ ${\displaystyle \eta (x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}{\bigl (}\eta (x){\bigr )}=f(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle {\チルダ {f}}(S_{1}\cup S_{2})={\チルダ {f}}(S_{1})\vee {\チルダ {f}}(S_{2})}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}\in F_{\vee}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{\vee}(X)}$ ${\displaystyle X}$

下半格子

同様に、下側の半格子に対して自由関数を定義することもできますが、 を単なる集合として 扱うため、いくつかの理由から、その組み合わせでは自由格子を生成できません。${\displaystyle F_{\wedge}}$ ${\displaystyle F_{\wedge}(F_{\vee}(X))}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle F_{\wedge}}$ ${\displaystyle F_{\vee}(X)}$

• 結合操作は の新しい要素には拡張されません。${\displaystyle \vee}$ ${\displaystyle F_{\wedge}(F_{\vee}(X))}$
• 上の既存の半順序は尊重されません。ビューとを無関係なものとして理解せずに、 を作成する必要があります。${\displaystyle F_{\vee}(X)}$ ${\displaystyle F_{\wedge}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a\vee b}$ ${\displaystyle a\wedge (a\vee b)=a}$

自由格子の実際の構造は、自由半格子の構造よりもかなり複雑です。 ${\displaystyle F(X)}$

文章題

x ∧ z ~ x ∧ z ∧( x ∨ y ) の計算例

x ∧ z ∧ ( x ∨ y ) ≤ ~ x∧z​​ 5時までに。 以来 x∧z​​ ≤ ~ x∧z​​ 1 ずつ。 以来 x∧z​​ ＝ x∧z​​

x∧z​​ ≤ ~ x ∧ z ∧ ( x ∨ y ) 7時までに。 以来 x∧z​​ ≤ ~ x∧z​​ そして x∧z​​ ≤ ~ x ∨ y 1 ずつ。 以来 x∧z​​ ＝ x∧z​​ 6時までに。 以来 x∧z​​ ≤ ~ × 5時までに。 以来 × ≤ ~ × 1 ずつ。 以来 × ＝ ×

自由束縛に関する言葉の問題には、いくつか興味深い側面があります。有界束縛、つまり 2 つの二項演算 ∨ と ∧ および 2 つの定数 (零項演算) 0 と 1 を持つ代数構造の場合を考えてみましょう。与えられた生成元集合Xの要素に対してこれらの演算を使用して定式化できるすべての整形式の式の集合をW ( X )と呼びます。この言葉の集合には、すべての束縛で等しい値を示す多くの式が含まれています。たとえば、aがXの何らかの要素である場合、a ∨ 1 = 1 かつa ∧ 1 = aです。自由有界束縛に関する言葉の問題は、 W ( X ) のこれらの要素のうちどれが自由有界束縛FX の、したがってすべての有界束縛で 同じ要素を示すかを決定する問題です。

単語問題は次のように解くことができる。W ( X )上の関係 ≤ _~は、以下のいずれかが成り立つ 場合に限り、w ≤ ~ _vと設定することで帰納的に定義できる。

1.   w = v （これはwとv がXの要素である場合に限定される）
2.   w = 0,
3.   v = 1,
4.   w = w ₁ ∨ w ₂かつw ₁ ≤ _~ vとw ₂ ≤ _~ vが成立する。
5.   w = w ₁ ∧ w ₂かつw ₁ ≤ _~ vまたはw ₂ ≤ _~ vが成立する。
6.   v = v ₁ ∨ v ₂かつw ≤ _~ v ₁またはw ≤ _~ v ₂が成立する。
7.   v = v ₁ ∧ v _{2であり、} w ≤ _~ v ₁とw ≤ _~ v ₂の両方が成立します。

これはW ( X )上の前順序≤ _~を定義するので、w ≤ _~ vかつv ≤ _~ wのとき、w ~ vによって同値関係を定義できます。次に、部分的に順序付けられた商空間W ( X )/~ が自由有界格子FXであることを示します。^{[ 1 ] [ 2 ]} W ( X )/~の同値類は、 w ≤ _~ vかつv ≤ _~ wであるすべての単語wおよびvの集合です。 W ( X )内の2 つの整形式の単語vおよびw がすべての有界格子で同じ値を表すのは、 w ≤ _~ vかつv ≤ _~ wの場合のみです。後者の条件は、上記の帰納的定義を使用して効果的に決定できます。表は、単語x ∧ zとx ∧ z ∧( x ∨ y ) がすべての有界格子で同じ値を表すことを示す計算例を示しています。有界でない格子の場合も同様に扱われますが、上記の構成では規則 2 と 3 は省略されます。

自由格子上の単語問題の解には、いくつかの興味深い系があります。一つは、3元生成元集合の自由格子は無限であるというものです。実際、3元生成元上のすべての自由格子には、4元生成元集合に対して自由となる部分格子が含まれることを示すことさえできます。帰納法によって、これは最終的に可算個数の生成元に対して自由となる部分格子をもたらします。^{[ 3 ]}この性質は、群におけるSQ普遍性を彷彿とさせます。

3つの生成元における自由格子が無限であることの証明は、帰納的に定義することによって進む。

p _{n +1} = x ∨ ( y ∧ ( z ∨ ( x ∧ ( y ∨ ( z ∧ p _n ))))

ここで、 x、y、z は3つの生成元であり、p ₀ = xである。単語問題の帰納的関係を用いて、p _{n +1は}p _n よりも厳密に大きい^{[ 4 ]}ことが示され、したがって、すべての無限個の単語p _{n は}自由格子FXにおいて異なる値に評価される。

完全自由格子

もう一つの系は、 （3つ以上の生成元を持つ）完全自由束は「存在しない」、つまりそれが真クラスであるということである。この証明は、単語問題からも導かれる。完全束を関係によって定義するには、 meetとjoinという有限関係を用いるだけでは不十分であり、無限部分集合のmeetとjoinを定義する無限関係も必要となる。例えば、「join」に対応する無限関係は次のように定義できる。

${\displaystyle \operatorname {sup} _{N}:(f:N\to FX)}$

ここで、fは基数Nの元からFXへの写像である。演算子はfの像をその結合に写すという点で、上限を表す。これはもちろん、Nが有限数の場合の「結合」と同じである。この定義のポイントは、 N が無限基数の 場合であっても、結合を関係として定義することである。${\displaystyle \operatorname {sup} _{N}}$

単語問題の順序付けの公理は、meetとjoinに対応する2つの無限演算子によって連結される可能性がある。そうすることで、定義を次のように順序付けされた インデックスに拡張することができる。${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle p_{\alpha}}$

${\displaystyle p_{\alpha}=\operatorname {sup} \{p_{\beta}\mid \beta <\alpha \}}$

が極限順序数のとき、 となる。そして、前述と同様に、が より真に大きいことを示すことができる。したがって、完全自由格子には少なくとも順序数と同じ数の元が存在する。したがって、完全自由格子は集合として存在できず、したがって真類でなければならない。 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle p_{\alpha +1}}$ ${\displaystyle p_{\alpha}}$

参考文献

1. フィリップ・M・ホイットマン、「自由格子」、数学誌42（1941年）325-329頁
2. フィリップ・M・ホイットマン、「自由格子 II」、数学誌43 (1941) pp. 104–115
3. LA Skornjakov, Elements of Lattice Theory (1977) Adam Hilger Ltd. (77-78ページ参照)
4. つまり、 p _n ≤ _~ p _{n +1}であるが、 p _{n +1} ≤ _~ p _{nではない}

• ピーター・T・ジョンストン著『ストーン・スペース』、ケンブリッジ高等数学研究３、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1982年。（ISBN 0-521-23893-5）（第1章参照）