フルード数

連続体力学において、フルード数（ウィリアム・フルードにちなんでFr、/ ˈ f r uː d / ^{[ 1 ]}）は、流れの慣性と外部力場（多くの応用では後者は単純に重力による）の比として定義される無次元数です。フルード数は、彼が次のように定義した速度と長さの比に基づいています。 ^{[ 2 ] [ 3 ]} ここで、 uは局所的な流速（m/s）、gは局所的な重力場（m/s ²）、Lは特性長さ（m） です。$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {gL}}}}$$

フルード数はマッハ数と類似点があります。理論流体力学では、通常、方程式は外場が無視できる高フルード極限で考慮されるため、フルード数はあまり考慮されません。その結果、数学的側面が保存される同次方程式が得られます。例えば、同次オイラー方程式は保存方程式です。しかし、造船学では、フルード数は、部分的に水没した物体が水中を移動する際の抵抗を決定するために用いられる重要な数値です。

起源

開水路流れにおいて、ベルランジェ（Belanger、1828年）は初めて流速と重力加速度の平方根×流水深の比を導入した。この比が1未満のとき、流れは河川流（すなわち亜臨界流）のように振る舞い、1を超えるとき、流れは激流のように振る舞う。^{[ 4 ]}

スワン号（上）とレイヴン号（下）の船体。フルードは3フィート、6フィート、12フィート（写真参照）のスケールモデルを製作し、曳航試験で抵抗とスケーリング則を確立するために使用しました。

浮遊物の抵抗を定量化した功績は、ウィリアム・フルードに帰せられる。彼は一連の縮尺模型を用いて、各模型が所定の速度で曳航された際に生じる抵抗を測定した。造船技師フレデリック・リーチは、1852年に既に船舶やプロペラの試験のためにこの概念を提唱していたが、フルードはそれを知らなかった。^{[ 5 ]}速度長さ比は、1868年にフルードが比較の法則の中で、次元の観点 から以下のように定義した。

$${\displaystyle {\text{速度–長さの比}}={\frac {u}{\sqrt {\text{LWL}}}}}$$ どこ：

• u = 流速
• LWL = 水線長

この項は無次元化され、フルードの業績を称えて彼の名前が付けられました。フランスでは、フレデリック・リーチにちなんでリーチ・フルード数と呼ばれることもあります。^{[ 6 ]}

定義と主な用途

フルード数が流体力学だけでなく一般連続体力学とどのように関連しているかを示すために、無次元（非次元）形式のコーシー運動量方程式から始めます。

コーシー運動量方程式

方程式を無次元化するには、特性長さ r ₀と特性速度 u ₀を定義する必要があります。これらは、無次元変数がすべて1次となるように選択する必要があります。こうして、以下の無次元変数が得られます。 $${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$$

これらの逆関係をオイラー運動量方程式に代入し、フルード数 とオイラー数を定義すると、 最終的に方程式は次のように表現されます（物質導関数を使用し、指数を省略します）。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

コーシー運動量方程式（無次元対流型）

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$$

高いフルード極限Fr → ∞（外場が無視できる場合）におけるコーシー型方程式は自由方程式と呼ばれる。一方、低いオイラー極限Eu → 0（応力が無視できる場合）では、一般的なコーシー運動量方程式は非同次バーガース方程式となる（ここでは物質微分を明示的に示す）。

バーガース方程式（無次元保存形）

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \right)={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$$

ストークス方程式が純粋な拡散方程式であるのと同じように、これは非同次な純粋な移流方程式です。

オイラー運動量方程式

オイラー運動量方程式は、パスカルの法則が応力構成関係である コーシー運動量方程式です。 無次元ラグランジアン形式では次のようになります。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$$ $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

自由オイラー方程式は保存的である。したがって、高フルード数（外場が低い）の極限は注目に値し、摂動論を用いて研究することができる。

非圧縮ナビエ・ストークス運動量方程式

非圧縮ナビエ・ストークス運動量方程式は、パスカルの法則とストークスの法則を応力構成関係とするコーシー運動量方程式である。 無次元対流形式では^{[ 7 ]}で示される。 ここでReはレイノルズ数である。自由ナビエ・ストークス方程式は散逸的（非保存的）である。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

その他のアプリケーション

船舶の流体力学

さまざまなフルード数を示す、速度に対する波形のパターン。

海洋流体力学の応用において、フルード数は通常Fnという表記で参照され、次のように定義されます。^{[ 8 ]} ここで、 uは海と船舶間の相対流速、gは特に重力加速度、Lは喫水線面における船舶の長さ（表記法によってはL _wl）です。フルード数は船舶の抗力、つまり抵抗、特に造波抵抗に関して重要なパラメータです。 $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$$

滑走艇の場合、水線長は速度に大きく依存するため意味がないため、フルード数は排水量フルード数として定義するのが最適であり、基準長さは船体の容積排水量の立方根として取られます。 $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$$

浅瀬の波

津波や跳水などの浅水波の場合、特性速度Uは、流れの方向に垂直な断面全体で平均した平均流速です。 波の速度は、 celerity cと呼ばれ、重力加速度gの平方根に断面積Aを掛け、自由表面の幅Bで割ったものに等しくなります。 したがって、浅水でのフルード数は次のとおりです。 均一な深さd を持つ長方形断面の場合、フルード数は次のように簡略化できます。 Fr < 1 の場合、流れは亜臨界流と呼ばれ、さらにFr > 1の場合、流れは超臨界流として特徴付けられます。 Fr ≈ 1の場合、流れは臨界流として示されます。 $${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$$ $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$$

風力工学

吊橋などの動的に敏感な構造物への風の影響を考慮する場合、構造物の振動質量と風の変動力の複合効果をシミュレートする必要があることがあります。このような場合、フルード数を考慮に入れる必要があります。同様に、高温の煙柱と自然風の組み合わせをシミュレートする場合、浮力と風の運動量の間の適切なバランスを維持するために、フルード数のスケーリングが必要です。

相対測定

フルード数は、アンテロープ^{[ 10 ]}や恐竜^{[ 11 ]}を含む陸生動物^{[ 9 ]}の移動を研究するための相対測定法にも応用されている。

ロータリーキルン

ロータリーキルン工学におけるフルード数は、キルンの回転によって生じる遠心力と、床材に作用する重力とのバランスを特徴付けるパラメータです。次のように定義されます。ω はキルンの角速度（rad/s）、R _iはキルンの内部半径、g は重力加速度です。フルード数は、粒状床の運動様式、つまり固体が滑る、転がる、滝のように流れ落ちる、急流になる、あるいはシェルに遠心分離されるといった挙動を表すために使用されます。低いフルード数（通常、Fr < 10 ^-4）は、固体床の混合がほとんどない、滑る、または沈み込む状態に対応します。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\omega ^{2}{R}_{i}}{g}}}$$

粒子の運動は混合、熱移動、物質移動、そして窯内の滞留時間を支配するため、フルード数はロータリーキルンの重要なスケーリングパラメータとして機能します。フルード数が類似していることは、実験室、パイロット、そして産業用ロータリーキルンにおいて、同様の流動挙動と層プロファイルを示す良い初期指標となります。

拡張フルード数

雪崩や土石流などの地球物理学的な土砂流出は傾斜斜面で発生し、その後緩やかで平坦な流出帯に合流します。^{[ 12 ]}

したがって、これらの流れは、流動中の圧力ポテンシャルエネルギーとともに重力ポテンシャルエネルギーを誘発する地形斜面の標高と関連しています。したがって、古典的なフルード数は、この追加効果を含める必要があります。このような状況では、フルード数を再定義する必要があります。拡張フルード数は、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの比として定義されます。 ここで、 uは平均流速、β = gK cos ζ（Kは地圧係数、ζは勾配）、s _g = g sin ζ、xは水路の下り勾配位置、は水路に沿った質量放出点から流れが水平基準点に衝突する点までの距離です。E$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}},}$$ ${\displaystyle x_{d}}$ ^p_ポット= βhおよびE^g_ポット= s _g ( x _d − x )はそれぞれ圧力ポテンシャルと重力ポテンシャルエネルギーである。浅水流または粒状流の古典的な定義では、フルード数は表面標高Eに関連するポテンシャルエネルギーである。^g_ポットは考慮されません。拡張フルード数は、地表標高が高い場合の古典的なフルード数とは大幅に異なります。βhの項は、斜面に沿った移動質量の形状の変化から生じます。次元解析は、浅い流れに対してβh ≪ 1 であることを示していますが、uとs _g ( x _d − x )は両方とも 1 のオーダーです。質量が浅く、自由表面が実質的に河床に平行な場合は、βh は無視できます。この状況で、重力ポテンシャルを考慮しないと、運動エネルギーが有界であってもFrは有界ではありません。したがって、重力ポテンシャルエネルギーによる追加の寄与を正式に考慮すると、 Fr の特異点は解消されます。

撹拌タンク

撹拌槽の研究では、フルード数が表面渦の形成を支配します。インペラの先端速度はωr（円運動）であり、ωはインペラ周波数（通常はrpm）、rはインペラ半径（工学的には直径の方がはるかに頻繁に使用される）であるため、フルード数は以下の形をとります。 フルード数は粉体ミキサーにも同様に応用されています。これは、ミキサーがどの混合モードで動作しているかを判断するために使用されます。Fr<1の場合、粒子は単に撹拌されますが、Fr>1の場合、粉体に作用する遠心力が重力に打ち勝ち、少なくともミキサーの一部で粒子層が流動化し、混合が促進されます^{[ 13 ]。}$${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$$

密度フルード数

ブシネスク近似の文脈で使用される場合、密度フルード数は次のように定義されます 。 ここで、g ′は換算重力です。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$$ $${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$$

密度フルード数は、速度の好みを無次元化したいモデル作成者によって、成層せん断層を考える際に一般的に用いられるリチャードソン数よりも一般的に好まれます。例えば、重力流の前縁は、前方フルード数が約1の状態で移動します。

ウォーキング・フルード数

フルード数は、動物の歩行パターンの傾向を研究するために用いられることがある。脚運動のダイナミクスの解析では、歩行肢はしばしば倒立振り子としてモデル化され、質量の中心が足を中心とした円弧を描く。^{[ 14 ]}フルード数は、運動の中心である足の周りの求心力と、歩行中の動物の体重の比である。 ここで、 mは質量、lは特性長さ、gは重力加速度、vは速度である。特性長さlは、行う研究に合わせて選択することができる。例えば、ある研究では股関節から地面までの垂直距離が使用され、^{[ 15 ]}また他の研究では脚の全長が使用されている。^{[ 14 ] [ 16 ]}$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$$

フルード数は、歩幅周波数fから次のように計算することもできる。^{[ 15 ]}$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$$

全長の脚の長さを特性長として使用する場合、歩行の理論的な最大速度はフルード数が 1.0 になります。これより高い値では、足が地面から離れてしまうためです。二足歩行から走行への典型的な遷移速度は、 Fr ≈ 0.5で発生します。^{[ 17 ]} RM Alexander は、サイズや質量の異なる動物が異なる速度で移動しているが同じフルード数であれば、一貫して同様の歩行を示すことを発見しました。この研究では、動物は通常、フルード数が 1.0 付近で、のんびりとした歩行から対称的な走行歩行 (例: 速歩または歩調) に切り替えることがわかりました。フルード数が 2.0 から 3.0 の間は、非対称な歩行 (例: キャンター、横方向のギャロップ、回転ギャロップ、バウンド、またはプロンク) が好まれることが観察されました。^{[ 15 ]}

使用法

フルード数は、さまざまなサイズや形状の物体間の 造波抵抗を比較するために使用されます。

自由表面流れでは、流れの性質 (超臨界または亜臨界) は、フルード数が 1 より大きいか小さいかによって決まります。

キッチンや浴室のシンクでは、「臨界」流の線が簡単に確認できます。蛇口の栓を抜いて、水を流しっぱなしにしてみましょう。水流がシンクに当たる付近では、流れは超臨界状態です。水は表面を「包み込むように」流れ、速く動きます。一方、流れの外側では、流れは亜臨界状態です。亜臨界状態は、水がより濃く、よりゆっくりと流れます。この2つの領域の境界は「水圧跳躍」と呼ばれます。水圧跳躍は、流れがちょうど臨界状態となり、フルード数が1.0になる地点から始まります。

フルード数は、動物がなぜ異なる歩行パターンを使用するのかをより深く理解するために、動物の運動の傾向を研究するために使用されてきました。 ^{[ 15 ]}また、絶滅した種の歩行についての仮説を立てるためにも使用されています。^{[ 16 ]}

さらに、粒子層の挙動はフルード数（Fr）によって定量化することができ、最適な動作ウィンドウを確立することができる。^{[ 18 ]}

参照

• 流速 – 連続体の運動を数学的に記述するために使用されるベクトル場
• 体積力 – 物体の体積全体に作用する力
• コーシー運動量方程式
• バーガース方程式 – 偏微分方程式
• オイラー方程式（流体力学）  – 断熱流れと非粘性流れを支配する準線型双曲方程式の集合
• レイノルズ数 – 液体に作用する慣性力と粘性力の比

注記

1. メリアム・ウェブスター・オンライン（ジェームズ・アンソニー・フルード兄弟のために） [1]
2. Shih 2009、7ページ。
3. ホワイト1999、294ページ。
4. シャンソン 2009、159–163ページ。
5. Normand 1888、257–261ページ。
6. シャンソン 2004、p. xxvii。
7. Shih 2009 .
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11. Alexander, R. McNeill (1991). 「恐竜はどのように走ったか」 . Scientific American . 264 (4): 130– 137. Bibcode : 1991SciAm.264d.130A . doi : 10.1038/scientificamerican0491-130 . ISSN 0036-8733 . JSTOR 24936872 .  
12. 高橋 2007、p. 6.
13. 「粉末混合 - 粉末ミキサーの設計 - リボンブレンダー、パドルミキサー、ドラムブレンダー、フルード数」 powderprocess.net nd . 2019年5月31日閲覧。
14. ヴォーン＆オマリー 2005年、350–362頁。
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17. アレクサンダー1989。
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外部リンク

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf