バーガースの方程式
ガウス初期条件から始まるバーガース方程式の解。あなた（×、0）＝e−×2/2{\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}/2}}
初期条件から始まるバーガース方程式のN波型解。あなた（×、0）＝e−（×−1）2/2−e−（×+1）2/2{\displaystyle u(x,0)=e^{-(x-1)^{2}/2}-e^{-(x+1)^{2}/2}}

バーガース方程式またはベイトマン・バーガース方程式は、流体力学、[ 2 ]非線形音響学、[ 3 ]気体力学、交通流、[ 4 ]数理物理学など、応用数学のさまざまな分野で発生する基本的な偏微分方程式および対流拡散方程式です。[ 1 ]この方程式は、 1915 年にハリー・ベイトマンによって初めて導入され、[ 6 ] [ 7 ]その後、1948 年にヨハネス・マルチヌス・バーガースによって研究されました。[ 8 ]与えられた場と拡散係数(または、元の流体力学の文脈では動粘性) に対して、1 つの空間次元におけるバーガース方程式 (粘性バーガース方程式とも呼ばれる) の一般的な形式は、散逸システムです。 あなた（×、t）{\displaystyle u(x,t)}ν{\displaystyle \nu}

∂あなた∂t+あなた∂あなた∂×＝ν∂2あなた∂×2。{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}

この項は と書き直すこともできる。拡散項が存在しない場合（すなわち）、バーガース方程式は非粘性バーガース方程式となる。 あなた∂あなた/∂×{\displaystyle u\partial u/\partial x}∂（あなた2/2）/∂×{\displaystyle \partial (u^{2}/2)/\partial x}ν＝0{\displaystyle \nu =0}

∂あなた∂t+あなた∂あなた∂×＝0、{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}

これは不連続性（衝撃波）を発生できる保存方程式のプロトタイプです。

の値が小さい場合に急激な勾配が形成される理由は、方程式の左辺を調べれば直感的に明らかになります。項は明らかに、正の-方向に速度 で伝播する波を記述する波動演算子です。波の速度は であるため、 の値が大きな領域は、の値が小さい領域よりも右方向に速く伝播します。言い換えれば、 が-方向に減少する場合、最初は、後ろ側にある大きな が前側にある小さな に追いつきます。右側の拡散項の役割は、基本的に勾配が無限大にならないようにすることです。 ν{\displaystyle \nu}∂/∂t+あなた∂/∂×{\displaystyle \partial /\partial t+u\partial /\partial x}×{\displaystyle x}あなた{\displaystyle u}あなた{\displaystyle u}あなた{\displaystyle u}あなた{\displaystyle u}あなた{\displaystyle u}×{\displaystyle x}あなた{\displaystyle u}あなた{\displaystyle u}

非粘性バーガース方程式

非粘性バーガース方程式は保存方程式であり、より一般的には1階の準線型双曲方程式である。方程式の解と初期条件は

∂あなた∂t+あなた∂あなた∂×＝0、あなた（×、0）＝f（×）{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad u(x,0)=f(x)}

特性方程式は特性法によって構築できる。を-平面における任意の特性を特徴付けるパラメータとすると、特性方程式は次のように与えられる。 t{\displaystyle t}×{\displaystyle x}t{\displaystyle t}

d×dt＝あなた、dあなたdt＝0。{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {du}{dt}}=0.}

2番目の方程式の積分は、特性に沿って一定であることを示しており、1番目の方程式の積分は、特性が直線であることを示しています。 あなた{\displaystyle u}

あなた＝c、×＝あなたt+ξ{\displaystyle u=c,\quad x=ut+\xi }

ここで、 は特性曲線が描かれるx - t平面のx軸（t  = 0）上の点（またはパラメータ）である。軸における は初期条件と、各点 から発せられる特性曲線に沿って移動しても が変化しないという事実から既知であるため、各特性曲線 について と書く。したがって、 によってパラメータ化された特性曲線の軌跡族は ξ{\displaystyle \xi}あなた{\displaystyle u}×{\displaystyle x}あなた{\displaystyle u}×＝ξ{\displaystyle x=\xi}あなた＝c＝f（ξ）{\displaystyle u=c=f(\xi )}ξ{\displaystyle \xi}

×＝f（ξ）t+ξ。{\displaystyle x=f(\xi)t+\xi .}

したがって、解は次のように与えられる。

あなた（×、t）＝f（ξ）＝f（×−あなたt）、ξ＝×−f（ξ）t。{\displaystyle u(x,t)=f(\xi )=f(x-ut),\quad \xi =xf(\xi )t.}

これは、特性が交差しないという条件のもとで、非粘性バーガース方程式の解を決定する暗黙の関係である。特性が交差する場合、偏微分方程式の古典解は存在せず、衝撃波が形成される。特性が交差するかどうかは初期条件に依存する。実際、衝撃波が形成されるまでの破壊時間は[ 9 ] [ 10 ]で与えられる。

tb＝−1無限大×（f′（×））。{\displaystyle t_{b}={\frac {-1}{\inf _{x}\left(f^{\prime }(x)\right)}}.}

非粘性バーガース方程式の完全積分

上で述べた任意の関数を含む暗黙解は一般積分と呼ばれます。しかし、非粘性バーガース方程式は1階偏微分方程式であるため、 2つの任意の定数（2つの独立変数について）を含む完全積分も持ちます。[ 11 ]スブラマニアン・チャンドラセカールは1943年にこの完全積分を与えました。[ 12 ]これは次のように与えられます。 f{\displaystyle f}

あなた（×、t）＝1つの×+b1つのt+1。{\displaystyle u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}.}

ここで、およびは任意定数である。完全積分は線形初期条件、すなわち を満たす。上記の完全積分を用いて一般積分を構成することもできる。 1つの{\displaystyle a}b{\displaystyle b}f（×）＝1つの×+b{\displaystyle f(x)=ax+b}

粘性バーガース方程式

粘性バーガース方程式はコール・ホップ変換によって線形方程式に変換することができる。[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]

あなた（×、t）＝−2ν∂∂×ln⁡φ（×、t）、{\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \varphi (x,t),}

それは次の式になります

2ν∂∂×[1φ（∂φ∂t−ν∂2φ∂×2）]＝0、{\displaystyle 2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{\varphi }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right)\right]=0,}

これを積分すると、 ×{\displaystyle x}

∂φ∂t−ν∂2φ∂×2＝φdf（t）dt、{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}=\varphi {\frac {df(t)}{dt}},}

ここで、は任意の時間関数である。変換（関数には影響を与えない）を導入すると、必要な方程式は熱方程式の方程式に簡約される[ 16 ]。df/dt{\displaystyle df/dt}φ→φef{\displaystyle \varphi \to \varphi e^{f}}あなた（×、t）{\displaystyle u(x,t)}

∂φ∂t＝ν∂2φ∂×2。{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}.}

拡散方程式はと解くことができる。つまり、 ならば、 φ（×、0）＝φ0（×）{\displaystyle \varphi (x,0)=\varphi _{0}(x)}

φ（×、t）＝14πνt∫−∞∞φ0（×′）経験⁡[−（×−×′）24νt]d×′。{\displaystyle \varphi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x')\exp \left[-{\frac {(xx')^{2}}{4\nu t}}\right]dx'.}

初期関数は初期関数と次のよう に関係している。φ0（×）{\displaystyle \varphi _{0}(x)}あなた（×、0）＝f（×）{\displaystyle u(x,0)=f(x)}

ln⁡φ0(x)=−12ν∫0xf(x′)dx′,{\displaystyle \ln \varphi _{0}(x)=-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x}f(x')dx',}

ここで下限は任意に選ばれる。コール・ホップ変換を逆にすると、

u(x,t)=−2ν∂∂xln⁡{14πνt∫−∞∞exp⁡[−(x−x′)24νt−12ν∫0x′f(x″)dx″]dx′}{\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{{\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}}

これは、対数の引数における時間依存の前置因子を取り除くことによって、次のよう に単純化される。

u(x,t)=−2ν∂∂xln⁡{∫−∞∞exp⁡[−(x−x′)24νt−12ν∫0x′f(x″)dx″]dx′}.{\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.}

この解は、のときにゼロに減少するの熱方程式の解から導出されます。 の他の解は、異なる境界条件を満たす の解から始めて取得できます。φ{\displaystyle \varphi }x→±∞{\displaystyle x\to \pm \infty }u{\displaystyle u}φ{\displaystyle \varphi }

粘性バーガース方程式のいくつかの明示的な解

粘性バーガース方程式の明示的な表現は利用可能である。物理的に関連する解のいくつかを以下に示す：[ 17 ]

定常的に伝播する進行波

が、かつとなるような場合、進行波解（一定速度）は次のように表される。 u(x,0)=f(x){\displaystyle u(x,0)=f(x)}f(−∞)=f+{\displaystyle f(-\infty )=f^{+}}f(+∞)=f−{\displaystyle f(+\infty )=f^{-}}f′(x)<0{\displaystyle f'(x)<0}c=(f++f−)/2{\displaystyle c=(f^{+}+f^{-})/2}

u(x,t)=c−f+−f−2tanh⁡[f+−f−4ν(x−ct)].{\displaystyle u(x,t)=c-{\frac {f^{+}-f^{-}}{2}}\tanh \left[{\frac {f^{+}-f^{-}}{4\nu }}(x-ct)\right].}

この解は、1915年にハリー・ベイトマンによって最初に導かれたもので[ 6 ] 、弱い衝撃波[ 16 ]を横切る圧力の変化を記述するために用いられている。そしてのとき、これは次のように簡略化される 。f+=2{\displaystyle f^{+}=2}f−=0{\displaystyle f^{-}=0}

u(x,t)=21+ex−tν{\displaystyle u(x,t)={\frac {2}{1+e^{\frac {x-t}{\nu }}}}}

と。 c=1{\displaystyle c=1}

初期条件としてのデルタ関数

（例えばレイノルズ数）が定数である場合、 [ 18 ]u(x,0)=2νReδ(x){\displaystyle u(x,0)=2\nu \mathrm {Re} \delta (x)}Re{\displaystyle \mathrm {Re} }

u(x,t)=νπt[(eRe−1)e−x2/4νt1+(eRe−1)erfc(x/4νt)/2].{\displaystyle u(x,t)={\sqrt {\frac {\nu }{\pi t}}}\left[{\frac {(e^{\mathrm {Re} }-1)e^{-x^{2}/4\nu t}}{1+(e^{\mathrm {Re} }-1)\mathrm {erfc} (x/{\sqrt {4\nu t}})/2}}\right].}

極限では、極限挙動は情報源の拡散的な広がりであり、したがって次のように表される。 Re→0{\displaystyle \mathrm {Re} \to 0}

u(x,t)=2νRe4πνtexp⁡(−x24νt).{\displaystyle u(x,t)={\frac {2\nu \mathrm {Re} }{\sqrt {4\pi \nu t}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\nu t}}\right).}

一方、極限では、解は前述のチャンドラセカールの非粘性バーガース方程式の衝撃波解に近づき、次のように与えられる。 Re→∞{\displaystyle \mathrm {Re} \to \infty }

u(x,t)={xt,0<x<2νRet,0,otherwise.{\displaystyle u(x,t)={\begin{cases}{\frac {x}{t}},\quad 0<x<{\sqrt {2\nu \mathrm {Re} \,t}},\\0,\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}

衝撃波の位置と速度は次のように表される。x=2νRet{\displaystyle x={\sqrt {2\nu \mathrm {Re} \,t}}}νRe/t.{\displaystyle {\sqrt {\nu \mathrm {Re} /t}}.}

N波ソリューション

N波解は、圧縮波とそれに続く希薄波から構成されます。このタイプの解は次のように表されます。

u(x,t)=xt[1+1eRe0−1tt0exp⁡(−Re(t)x24νRe0t)]−1{\displaystyle u(x,t)={\frac {x}{t}}\left[1+{\frac {1}{e^{\mathrm {Re} _{0}-1}}}{\sqrt {\frac {t}{t_{0}}}}\exp \left(-{\frac {\mathrm {Re} (t)x^{2}}{4\nu \mathrm {Re} _{0}t}}\right)\right]^{-1}}

ここで、は時間における初期レイノルズ数とみなすことができ、 は時間とともに変化するレイノルズ数とみなすことができます。 Re0{\displaystyle \mathrm {Re} _{0}}t=t0{\displaystyle t=t_{0}}Re(t)=(1/2ν)∫0∞udx=ln⁡(1+τ/t){\displaystyle \mathrm {Re} (t)=(1/2\nu )\int _{0}^{\infty }udx=\ln(1+{\sqrt {\tau /t}})}τ=t0eRe0−1{\displaystyle \tau =t_{0}{\sqrt {e^{\mathrm {Re} _{0}}-1}}}

その他の形態

多次元バーガース方程式

2次元以上の場合、バーガース方程式は

∂u∂t+u⋅∇u=ν∇2u.{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u\cdot \nabla u=\nu \nabla ^{2}u.}

ベクトル場の式を次のように拡張することもできる。 u{\displaystyle \mathbf {u} }

∂u∂t+u⋅∇u=ν∇2u.{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} .}

一般化バーガース方程式

一般化バーガース方程式は、準線型対流方程式をより一般化した形に拡張したものである。

∂u∂t+c(u)∂u∂x=ν∂2u∂x2.{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c(u){\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}

ここではuの任意の関数である。非粘性方程式は依然として に対する準線型双曲方程式であり、その解は以前と同様に特性曲線法を用いて構築することができる。 [ 19 ]c(u){\displaystyle c(u)}ν=0{\displaystyle \nu =0}c(u)>0{\displaystyle c(u)>0}

確率的バーガース方程式

追加された時空ノイズ（ウィーナー過程）は確率的バーガース方程式を形成する[ 20 ]η(x,t)=W˙(x,t){\displaystyle \eta (x,t)={\dot {W}}(x,t)}W{\displaystyle W}L2(R){\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}

∂u∂t+u∂u∂x=ν∂2u∂x2−λ∂η∂x.{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\lambda {\frac {\partial \eta }{\partial x}}.}

この確率偏微分方程式は、を代入すると、体のKardar–Parisi–Zhang 方程式の 1 次元バージョンになります。 h(x,t){\displaystyle h(x,t)}u(x,t)=−λ∂h/∂x{\displaystyle u(x,t)=-\lambda \partial h/\partial x}

参照

参考文献

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