基本グループスキーム

数学において、基本群スキーム（きほんぐんぐすい）は、デデキントスキーム（例えば、体のスペクトルや離散値環のスペクトル）上のスキームに正準に付随する群スキームである。これはエタール基本群の一般化である。その存在はアレクサンダー・グロタンディークによって予想されたが、体上に定義されたスキームについての最初の証明はマダフ・ノリによるものである。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}デデキントスキーム上に定義されたスキームについての存在証明は、マルコ・アンテイ、ミシェル・エムサレム、カルロ・ガスバリによるものである。^{[ 4 ] [ 5 ]}

歴史

位相空間に関連付けられた(位相的)基本群は、空間に含まれるループのホモトピーによる同値類の群です。代数幾何学においても代数多様体の分類のために現在も研究されていますが、多くの応用において、基本群は単なる位相空間以上のもの、例えばスキームなどのオブジェクトの分類には不十分であることが分かっています。同じ位相空間が複数の異なるスキーム構造を持つこともありますが、その位相的基本群は常に同じです。したがって、位相空間とともに構造層の存在を考慮に入れる新しいオブジェクトを作成する必要がありました。これにより、エタール基本群、つまり与えられたスキーム のエタール被覆に作用するすべての有限群の射影極限が作成されました。ただし、正特性では後者には明らかな制限があります。なぜなら、エタールではない群スキーム (たとえば、特性が の場合) や、被覆の自然な一般化である 上のトルソーに作用する群スキームの存在が考慮されないためです。この考えからグロタンディークは真の基本群 (フランス語でun vrai groupe fondamental ) の生成を望み、1960 年代初頭に有名なSGA 1 の第 10 章でその存在を予想しました。基本群スキームの存在に関する最初の結果が明らかになるまでには 10 年以上かかりました。序論で述べたように、この結果は 1976 年に体上に定義されたスキームに対するこの新しいオブジェクトの最初の構成を発表したマダフ・ノリによるものです。名前に関しては、彼は真の基本群という名前を放棄することに決め、今日私たちが知っているように、基本群スキームと呼びました。^{[ 1 ]}これはまた、以前の基本群およびその現代的な一般化と区別するために、 と表記されることもよくあります (ここで はノリを表します)。次元 1 の正則スキーム上で定義された の存在の証明には、さらに約 40 年待たなければなりませんでした。一般化としては、 -基本群スキーム^{[ 6 ]}や準有限基本群スキーム^{[ 4]}など様々なものがある。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha_{p}}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi^{N}(X,x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi^{S}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi^{\text{qf}}(X,x)}$ ^]

定義と構築

元々の定義と最初の構成は、Noriによって体上のスキームに対して提案されました。その後、より広範なスキームに適応されました。これまでのところ、次元0（体上のスペクトル）または次元1（デデキントスキーム）のスキーム上で定義されたスキームに関する完全な理論のみが存在するため、以下ではこれらについて議論します。 ${\displaystyle X}$

意味

をデデキントスキーム（体のスペクトルとなり得る）と局所的に有限型の忠実平坦射とする。 が切断 を持つと仮定する。 が基本群スキームを持つとは、断面を持つ有限-トルソルに対して、を に送るトルソルの唯一の射が存在するような断面を持つ、前有限かつ平坦-トルソルが存在するときである。^{[ 2 ] [ 4 ]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X(S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$ ${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle y}$

野原を越えて

今日では、体 上に定義されたスキーム の基本群スキームの存在結果がいくつか存在します。Nori は、 が完全で が簡約かつ連結なスキームを持つスキームの適切な射である場合の最初の存在定理を与えています。セクション の存在を仮定すると、 上の本質的に有限なベクトル束の中立タンナキアン カテゴリ (上) に自然に関連付けられたアフィン グループ スキームとして における の基本群スキーム が構築されます。[ 1 ] Nori^はまた、が任意の体であり が 上の任意の有限型で簡約かつ連結なスキームである場合に、基本群スキームが存在することを証明しています。ただし、この状況では、タンナキアン カテゴリは含まれていません。^{[ 2 ]}それ以来、いくつかの非簡約スキーム を含む他の存在結果が追加されています。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X\to {\text{Spec}}(k)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x:{\text{Spec}}(k)\to X}$ ${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

デデキント計画について

次元1のデデキントスキーム、任意の連結スキーム、および局所的に有限型の忠実平坦射とする。切断の存在を仮定する。すると、マルコ・アンテイ、ミシェル・エムサレム、カルロ・ガスバリは、以下の状況において、基本群スキームが群スキームとして存在することが証明されている。 ^{[ 4 ]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle x:S\to X}$ ${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$ ${\displaystyle S}$

• 繊維が減少するごとに${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle X_{s}}$
• 任意の に対して局所環が整閉であるとき（例えばが正規分布であるとき）。${\displaystyle x\in X\setminus X_{\eta}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$ ${\displaystyle X}$

しかしながら、デデキントスキーム上では、有限群スキームだけを考える必要はありません。実際、準有限群スキームも、体上の有限群スキームの非常に自然な一般化です。^{[ 7 ]}このため、Antei、Emsalem、Gasbarri は準有限基本群スキーム も次のように定義しました。 をデデキントスキームと、局所的に有限型の忠実に平坦な射とします。がセクション を持つと仮定します。準有限で平坦な-トルソーが存在し、そのセクションが を持つ任意の準有限 -トルソーに対して、を に送るトルソーの一意の射が存在するとき、 は準有限基本群スキームを持つということになります。^{[ 4 ]}彼らは、任意の に対してファイバーが整列かつ正規である場合の の存在を証明しました。 ${\displaystyle \pi^{\text{qf}}(X,x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X(S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi^{\text{qf}}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi^{\text{qf}}(X,x)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$ ${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \pi^{\text{qf}}(X,x)}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle X_{s}}$

プロパティ

エターレ基礎グループとのつながり

の最大プロエタール商を考えることができる。基本スキームが代数的閉体のスペクトルである場合、それはエタール基本群と一致する。より正確には、点群はと同型である。^{[ 8 ]}${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi^{\text{ét}}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi_{1}(X,x)(k)}$ ${\displaystyle \pi^{\text{ét}}(X,x)}$

製品式

と代数的に閉じた体上の任意の2つの滑らかな射影スキームに対して積の公式が成り立ち、つまり となる。^{[ 9 ]この結果はNori [ 1 ]}によって予想され、Vikram MehtaとSubramanianによって証明された。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\times _{k}\pi _{1}(Y,y)\simeq \pi _{1}(X\times _{k}Y,x\times _{k}y)}$

注記

1. ノリ、マダフ V. (1976)。「基本グループの代表について」(PDF)。Compositio Mathematica。33 (1): 29–42 . MR  0417179。Zbl  0337.14016。
2. Nori, Madhav V. (1982). 「基本群スキーム」. Proceedings Mathematical Sciences . 91 (2): 73– 122. doi : 10.1007/BF02967978 . S2CID 121156750 . 
3. タマス、ザムエリ (2009)。ガロア群と基本群。土井：10.1017/CBO9780511627064。ISBN 9780521888509。
4. アンテイ、マルコ;エムサレム、ミシェル。ガスバリ、カルロ (2020)。 「グループのフォンダメンタルなスキーマの存在」。Algébrique Épijournal de Géométrie Algébrique。４．arXiv : 1504.05082。土井：10.46298/epiga.2020.volume4.5436。S2CID 227029191。 
5. Antei, Marco; Emsalem, Michel; Gasbarri, Carlo (2020). 「ベクトル束の高さと曲線の基本群スキーム」の訂正デューク数学ジャーナル. 169 (16). doi : 10.1215 /00127094-2020-0065 . S2CID  225148904 .
6. エイドリアン・ランガー (2011). 「基本的なグループスキームについて」。フーリエ研究所の分析。61 (5): 2077～2119。arXiv : 0905.4600。土井：10.5802/aif.2667。S2CID 53506862。${\displaystyle S}$  
7. ボッシュ、ジークフリート;リュトケボーメルト、ヴェルナー。ミシェル・レイノー (1990)。ネロンモデル。土井：10.1007/978-3-642-51438-8。ISBN 978-3-642-08073-9。
8. Deligne, P.; Milne, JS (1982).ホッジサイクル、モチーフ、そして志村多様体. 数学講義ノート. 第900巻. doi : 10.1007/978-3-540-38955-2 . ISBN 978-3-540-11174-0。
9. メータ、バージニア州;サブラマニアン、S. (2002)。 「基本的なグループスキームについて」。数学の発明。148 (1): 143–150。ビブコード: 2002InMat.148..143M。土井：10.1007/s002220100191。S2CID 121329868。