価値のないゲーム

シオンとウルフの法則により、価値のないゲームにおけるゲームスクエア（つまりプレイヤーIの利得）。2本の対角線上の利得は0である。

ゲームの数学的理論、特にゼロ和連続ゲームの研究では、すべてのゲームがミニマックス値を持つわけではありません。ミニマックス値とは、両方のプレイヤーが完全戦略（特定の確率密度関数（PDF ）から選択する戦略）を採用した場合の、一方のプレイヤーの期待値です。

この記事は、価値のないゼロサムゲームの例を示しています。これはシオンとウルフによるものです。^{[ 1 ]}

有限個の純粋戦略を持つゼロサムゲームはミニマックス値を持つことが知られています（これは元々ジョン・フォン・ノイマンによって証明されました）。しかし、ゲームに無限個の戦略が存在する場合、必ずしもそうとは限りません。以下に、ミニマックス値を持たないゲームの簡単な例を示します。

このようなゼロサムゲームの存在は、ミニマックス値がなければ ゲーム理論の結果の多くが適用できなくなるため興味深いものです。

ゲーム

プレイヤー I と II はそれぞれ 0 から 1 までの数字とを選択します。プレイヤー I への支払いは、 つまり、選択が行われた後、プレイヤー II がプレイヤー I に支払います (したがって、ゲームはゼロサムです)。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle K(x,y)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<y<x+1/2,\\0&{\text{if }}x=y{\text{ or }}y=x+1/2,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle K(x,y)}$

ペアを単位正方形上の点と解釈すると、図はプレイヤーIの利得を示します。プレイヤーIは、確率密度関数（pdf）に従って数値を選択する混合戦略を採用し、同様にプレイヤーIIはpdfから選択します。プレイヤーIは利得を最大化することを目指し、プレイヤーIIは利得を最小化することを目指します。そして、各プレイヤーは相手の目的を認識しています。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K(x,y)}$

ゲームの価値

Sion と Wolfe は 、しかし、 これらはそれぞれプレイヤー I と II のゲームの価値の最大期待値と最小期待値であることを示しています。 $${\displaystyle \sup _{f}\inf _{g}\iint K\,df\,dg={\frac {1}{3}}}$$ $${\displaystyle \inf _{g}\sup _{f}\iint K\,df\,dg={\frac {3}{7}}.}$$

とは、それぞれ単位区間上の確率密度関数（実際にはボレル確率測度）の最大値と最小値を取る。これらはプレイヤーIとプレイヤーIIの（混合）戦略を表す。したがって、プレイヤーIはプレイヤーIIの戦略を知っていれば少なくとも3/7の利得を確保でき、プレイヤーIIはプレイヤーIの戦略を知っていれば利得を1/3に抑えることができる。 ${\displaystyle \sup}$ ${\displaystyle \inf }$

十分に小さい、具体的には の場合には、イプシロン均衡は存在しない。ダスグプタとマスキン^{[ 2 ]}は、プレイヤーIが確率重みをセットのみに置き、プレイヤーIIが のみに重みを置くと、ゲームの価値が達成されると主張している。 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon <{\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{7}}-{\frac {1}{3}}\right)\simeq 0.0476}$ ${\displaystyle \left\{0,1/2,1\right\}}$ ${\displaystyle \left\{1/4,1/2,1\right\}}$

グリックスバーグの定理は、上限または下限の半連続的な利得関数を持つ任意のゼロ和ゲームが値を持つことを示しています (この文脈では、上限 (下限) 半連続関数Kは、任意の実数cに対して集合(resp ) が開いている関数です)。 ${\displaystyle \{P\mid K(P)<c\}}$ ${\displaystyle \{P\mid K(P)>c\}}$  

SionとWolfeの例の利得関数は半連続ではありません。しかし、K ( x ,  x )とK ( x ,  x  +1/2)（2つの不連続点における利得）の値を+1または-1に変更することで、それぞれ上限半連続または下限半連続にすることができます。このように変更すれば、ゲームには価値があります。

一般化

ホイヤー^{[ 3 ]}によるその後の研究は、単位正方形が3つの領域に分割され、各領域での利得関数が一定であるゲームのクラスについて議論している。

参考文献

1. シオン、モーリス; ウルフ、フィリップ (1957)、「価値のないゲームについて」、ドレッシャー、M.、タッカー、AW、ウルフ、P. (編)、『ゲーム理論への貢献III』、数学研究年報39、プリンストン大学出版局、pp.  299– 306、ISBN 9780691079363
2. P. ダスグプタとE. マスキン(1986). 「不連続経済ゲームにおける均衡の存在 I: 理論」. Review of Economic Studies . 53 (1): 1– 26. doi : 10.2307/2297588 . JSTOR 2297588 . 
3. GA Heuer (2001). 「長方形上の3部分割ゲーム」理論計算機科学259 : 639–661 . doi : 10.1016 /S0304-3975(00)00404-7 .