ガウス・マルコフ過程

ガウス・マルコフ確率過程（カール・フリードリヒ・ガウスとアンドレイ・マルコフにちなんで名付けられた）は、ガウス過程とマルコフ過程の両方の要件を満たす確率過程である。^{[ 1 ] [ 2 ]}定常ガウス・マルコフ過程は再スケーリングを除いて一意である。このような過程はオルンシュタイン・ウーレンベック過程とも呼ばれる。

ガウス・マルコフ過程はランジュバン方程式に従う。^{[ 3 ]}

基本的なプロパティ

あらゆるガウス・マルコフ過程X ( t )は次の3つの性質を持つ: ^{[ 4 ]}

1. h ( t ) がtの非ゼロスカラー関数である場合、Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) もガウス・マルコフ過程である。
2. f ( t ) がtの非減少スカラー関数である場合、Z ( t ) = X ( f ( t )) もガウス・マルコフ過程である。
3. プロセスが非退化かつ平均二乗連続である場合、ゼロ以外のスカラー関数h ( t ) と厳密に増加するスカラー関数f ( t )が存在し、 X ( t ) = h ( t ) W ( f ( t ) ) が成立します。ここで、W ( t )は標準ウィーナープロセスです。

性質（３）は、あらゆる非退化平均二乗連続ガウス・マルコフ過程が標準ウィーナー過程（SWP）から合成できることを意味している。

その他の特性

分散 と時間定数を持つ定常ガウス・マルコフ過程には、次の特性があります。 ${\displaystyle {\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma^{2}}$ ${\displaystyle \beta^{-1}}$

• 指数的自己相関：$${\displaystyle {\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}。$$
• コーシー分布と同じ形状のパワースペクトル密度(PSD) 関数: (コーシー分布とこのスペクトルはスケール係数によって異なることに注意してください。)$${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.}$$
• 上記により、次のスペクトル分解が得られます。これは、ウィーナーフィルタリングやその他の分野で重要です。$${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}}.}$$

上記のすべてには、いくつかの些細な例外もあります。

参考文献

1. CE Rasmussen & CKI Williams (2006).機械学習のためのガウス過程(PDF) . MIT Press. p. 付録B. ISBN 026218253X。
2. ラモン、ピエール (2008).全地形対応ロボットのための3D位置追跡と制御. シュプリンガー. pp.  93–95 . ISBN 978-3-540-78286-5。
3. ボブ・シュッツ、バイロン・タプリー、ジョージ・H・ボーン (2004年6月26日).統計的軌道決定法. p. 230. ISBN 978-0-08-054173-0。
4. CB MehrとJA McFadden. ガウス過程の特定の性質とその初通過時刻. 王立統計学会誌. シリーズB（方法論）, 第27巻, 第3号(1965年), pp. 505-522