一般化されたホワイトヘッド積

ホワイトヘッド積は、ホワイトヘッド（1941）によって導入された数学的構成です。空間の性質を決定する上で有用なツールとなっています。空間の数学的概念には、曲線、曲面、立体など、私たちの3次元世界に存在するあらゆる形状が含まれます。空間はしばしば式で表されるため、通常、その幾何学的性質を視覚的に判断することはできません。これらの性質には、連結性（空間が1つの部分から構成されているか、複数の部分から構成されているか）、空間が持つ穴の数、空間の結び目などが含まれます。空間は、代数的構成を割り当てることによって研究されます。これは、高校の解析幾何学で平面上の特定の曲線（幾何学的対象）に方程式（代数的構成）を割り当てることと似ています。最も一般的な代数的構成は群です。群は、集合の任意の2つの要素を組み合わせて、集合の3番目の要素を生成できる集合です（一定の制約の下で）。ホモトピー理論では、各空間Xと正の整数pに群を割り当て、Xのp次ホモトピー群と呼ぶ。これらの群は広く研究されており、空間Xの性質に関する情報を与える。さらに、これらの群間の演算（ホワイトヘッド積）によって、空間に関する追加情報が得られる。これはホモトピー群の研究において非常に重要である。

ホワイトヘッド積の一般化は ( Blakers & Massey 1953 ) やその他の文献にもいくつか登場していますが、最も広範囲に及ぶのはホモトピー集合、つまりある空間から別の空間への写像のホモトピー類を扱ったものです。一般化されたホワイトヘッド積は、ホモトピー集合 [ΣA, X] の元 α とホモトピー集合 [ΣB, X] の元 β に、ホモトピー集合 [Σ(A ∧ B), X] の元 [α, β] を割り当てます。ここで、A、B、X は空間、Σ はサスペンション (位相)、∧ はスマッシュ積です。これは Cohen (1957)とHilton (1965)によって導入され、後にArkowitz (1962)によって詳細に研究されました( Baues (1989) 、p. 157も参照)。これはホワイトヘッド積の一般化であり、ホモトピー集合の調査に役立つ手法を提供します。

関連するMSCコードは、55Q15、ホワイトヘッド積と一般化です。

定義

とを、元とを考える。ここで、とを射影写像のホモトピー類とする。交換子は α∈[ΣA、X]{\displaystyle \alpha \in [\Sigma A,X]}β∈[ΣB、X]{\displaystyle \beta \in [\Sigma B,X]}α（ΣπA）{\displaystyle \alpha (\Sigma \pi _{A})}β（ΣπB）∈[Σ（A×B）、X]{\displaystyle \beta (\Sigma \pi _{B})\in [\Sigma (A\times B),X]}πA{\displaystyle \pi _{A}}πB{\displaystyle \pi_{B}}

c（α、β）＝（α（ΣπA）、β（ΣπB）））{\displaystyle c(\alpha,\beta)=(\alpha(\Sigma\pi_{A}),\beta(\Sigma\pi_{B})))}

群におけるは に制限されたとき自明である。ここで はウェッジ和を表す。一般化されたホワイトヘッド積は、 の唯一の元として定義される。 [Σ（A×B）、X]{\displaystyle [\Sigma (A\times B),X]}[Σ（A∨B）、X]{\displaystyle [\Sigma (A\vee B),X]}∨{\displaystyle \vee}

[α、β]∈[Σ（A∧B）、X]{\displaystyle [\alpha ,\beta ]\in [\Sigma (A\wedge B),X]}

となる。ここで は商写像である。 [α、β]（Σq）＝c（α、β）{\displaystyle [\alpha,\beta](\Sigma q)=c(\alpha,\beta)}q：A×B→A∧B{\displaystyle q\colon A\times B\to A\wedge B}

性質

自然性：写像の 場合、f ∗ [α, β] = [f ∗ (α), f ∗ (β)]f：X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}

XがH空間の場合、すべての[α, β] = 0です。

E[α, β] = 0、ここで E : [Σ(A ∧ B), X] → [Σ 2 (A ∧ B), ΣX] はサスペンション準同型性です。

A と B が懸濁液の場合、双加法性。

反可換性の一種。

A、B、Cが懸濁液である場合、αとβには上記のように 適切なヤコビ恒等式があり、γ∈[ΣC, X]である。

これらの結果と証明の詳しい説明については、 Arkowitz (1962)を参照してください。

応用

積ΣA × ΣBは、[ ιΣA , ιΣB ] ∈[Σ(A∧B), ΣA∨ΣB]の写像錐のホモトピー型を持つ（ Arkowitz (1962)）。

係数付きホモトピー群のホワイトヘッド積は、AとBをムーア空間とすることで得られる（ヒルトン（1965）、pp. 110–114）。

ヒルトン・ミルナー定理によれば、有限個の空間の懸架の楔と、それらの空間の様々なスマッシュ積の懸架の無限積との間には、弱いホモトピー同値性が存在する。この写像は、一般化されたホワイトヘッド積によって定義される（Baues & Quintero 2001）。

Yが群のようなH空間である場合、一般化ホワイトヘッド積からの類推として、積[A, Y] × [B, Y] → [A ∧ B, Y]が定義されます。これは、σ∈[A, Y]およびτ∈[B, Y]に対して<σ, τ>と表記される一般化サメルソン積です（Arkowitz 1963）。λ U,V  : [U, ΩV] → [ΣU, V]が随伴同型（Ωはループ空間関数）である場合、Y = ΩXに対してλ A∧B,X <σ, τ>= [λ A,X (σ), λ B,X (τ)]が成り立ちます

一般化ホワイトヘッド積のエックマン・ヒルトン双対は次のように定義できる。A♭Bを包含j : A ∨ B → A × Bのホモトピーファイバー、すなわちA ∨ Bから始まり基点で終わるA × B内の経路の空間とし、γ ∈ [X, ΩA]、δ ∈ [X, ΩB]とする。[X, Ω(A ∨ B)]における(Ωι A )γと(Ωι B )δについて、d(γ, δ) ∈ [X, Ω(A ∨ B)]をそれらの交換子とする。 (Ωj) d(γ, δ) は自明なので、(Ωp){γ, δ} = d(γ, δ) となるような唯一の元 {γ, δ} ∈ [X, Ω(A♭B)] が存在する。ここで p : A♭B → A ∨ B は経路をその初期点に投影する。これを応用するために、K(π, n) をEilenberg–MacLane 空間とし、[X, K(π, n)] をコホモロジー群 H n (X; π) と同一視する。A = K(G, p) かつ B = K(G′, q) とすれば、(Ωθ){γ, δ} = γ ∪ δ となるような写像 θ : A♭B → K(G ⊗ G', p+q+1) が存在し、これは H p+q (X; G ⊗ G′) におけるカップ積である。詳細については、(( Arkowitz 1962 )、pp.19-22)および( Arkowitz 1964 )を参照してください。

参考文献

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