ホワイトヘッド製品

数学において、ホワイトヘッド積は、空間のホモトピー群上の次数付き準リー代数構造である。これはJHCホワイトヘッドによって（Whitehead 1941）で定義された。

関連するMSCコードは、55Q15、ホワイトヘッド積と一般化です。

意味

要素が与えられた場合、ホワイトヘッド括弧${\displaystyle f\in \pi _{k}(X),g\in \pi _{l}(X)}$

${\displaystyle [f,g]\in \pi _{k+l-1}(X)}$

は次のように定義されます。

積は、くさび和に -セルを付加することで得られる。${\displaystyle S^{k}\times S^{l}}$ ${\displaystyle (k+l)}$

${\displaystyle S^{k}\vee S^{l}}$ ;

添付の地図は地図です

${\displaystyle S^{k+l-1}{\stackrel {\phi }{\ \longrightarrow \ }}S^{k}\vee S^{l}.}$

地図 で表す${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle f\colon S^{k}\to X}$

そして

${\displaystyle g\colon S^{l}\to X,}$

次に、添付の地図とウェッジを構成します。

${\displaystyle S^{k+l-1}{\stackrel {\phi}{\\longrightarrow\}}S^{k}\vee S^{l}{\stackrel {f\vee g}{\\longrightarrow\}}X.}$

結果として得られる写像のホモトピー類は代表の選択に依存せず、したがって、

${\displaystyle \pi _{k+l-1}(X).}$

グレーディング

次数には（ホモトピー群の添字付けと比較して）1のシフトがあり、したがって次数も であることに注意してください。これは、 （Lを次数付き準リー代数と設定した場合）と同値です。したがって、は各次数付き成分に作用します。 ${\displaystyle \pi _{k}(X)}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle L_{k}=\pi _{k+1}(X)}$ ${\displaystyle L_{0}=\pi _{1}(X)}$

プロパティ

ホワイトヘッド積は次の特性を満たします。

• 双線形性。 ${\displaystyle [f,g+h]=[f,g]+[f,h],[f+g,h]=[f,h]+[g,h]}$
• 段階的対称性。${\displaystyle [f,g]=(-1)^{pq}[g,f],f\in \pi _{p}X,g\in \pi _{q}X,p,q\geq 2}$
• 次数付きヤコビ恒等式。${\displaystyle (-1)^{pr}[[f,g],h]+(-1)^{pq}[[g,h],f]+(-1)^{rq}[[h,f],g]=0,f\in \pi _{p}X,g\in \pi _{q}X,h\in \pi _{r}X{\text{ }}p,q,r\geq 2}$

空間のホモトピー群は、ホワイトヘッド積演算とともに、次数付き準リー代数と呼ばれることがあります。これは、Uehara & Massey (1957)でMassey 三重積によって証明されています。

の作用との関係${\displaystyle \pi _{1}}$

ならば、ホワイトヘッド括弧は の通常の作用と次のよう に関係している。${\displaystyle f\in \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi_{k}}$

${\displaystyle [f,g]=g^{f}-g,}$

ここで は によるの共役を表します。 ${\displaystyle g^{f}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

の場合、これは ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle [f,g]=fgf^{-1}g^{-1},}$

これはにおける通常の交換子です。これは、トーラスの -セルが-スケルトンの交換子に沿って取り付けられていることを観察することによっても確認できます。 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle S^{1}\vee S^{1}}$

H空間上のホワイトヘッド積

路連結なH空間に対して、 上のホワイトヘッド積はすべて消滅する。前の節で述べたように、これはH空間の基本群がアーベル群であること、およびH空間が単純 であるという事実の両方を一般化したものである。 ${\displaystyle \pi _{*}(X)}$

サスペンション

クラスのすべてのホワイトヘッド積は、懸垂準同型写像の核に含まれる。${\displaystyle \alpha \in \pi _{i}(X)}$ ${\displaystyle \beta \in \pi _{j}(X)}$ ${\displaystyle \Sigma \colon \pi _{i+j-1}(X)\to \pi _{i+j}(\Sigma X)}$

例

• ${\displaystyle [\mathrm {id} _{S^{2}},\mathrm {id} _{S^{2}}]=2\cdot \eta \in \pi _{3}(S^{2})}$ 、ホップマップは です。${\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2}}$

これは、ホップ不変量が同型写像を定義することを観察し、 を表す写像のコファイバーのコホモロジー環を明示的に計算することで示せます。ポンチャギン・トム構成を用いると、正則点の逆像がホップリンクのコピーであるという事実を用いて、直接的な幾何学的議論が可能です。 ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\mathrm {id} _{S^{2}},\mathrm {id} _{S^{2}}]}$

参照

• 一般化ホワイトヘッド積
• マッセイ製品
• 戸田ブラケット

参考文献

• ホワイトヘッド, JHC (1941年4月)、「ホモトピー群への関係の付加について」、Annals of Mathematics、2、42 ( 2): 409– 428、doi : 10.2307/1968907、JSTOR  1968907
• 上原宏、マッシー、ウィリアム・S. (1957)、「ホワイトヘッド積のヤコビ恒等式」、代数幾何学と位相幾何学、S.レフシェッツ記念シンポジウム、プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、pp.  361– 377、MR  0091473
• ホワイトヘッド、ジョージ・W.（1946年7月）「ホモトピー群の積について」、Annals of Mathematics、2、47 （ 3）：460–475、doi：10.2307/1969085、JSTOR  1969085
• ホワイトヘッド、ジョージ・W. (1978). 「X.7 ホワイトヘッド積」.ホモトピー理論の要素.シュプリンガー・フェアラーク. pp.  472– 487. ISBN 978-0387903361。