一般化ストークス定理

ベクトル解析と微分幾何学において、一般化ストークスの定理（アポストロフィを付けてストークスの定理またはストークスの定理と呼ばれることもある）は、ストークス・カルタン定理とも呼ばれ、^{[ 1 ]}多様体上の微分形式の積分に関する定理であり、ベクトル解析のいくつかの定理を簡略化および一般化しています。特に、微分積分学の基本定理は多様体が線分である場合の特殊なケースであり、グリーンの定理とストークスの定理はまたは⁠ ⁠内の面の場合であり、発散定理は⁠ ⁠内の体積の場合です。したがって、この定理は多変数微分積分学の基本定理と呼ばれることもあります。^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ストークスの定理は、ある向き付け可能な多様体の境界上の微分形式の積分は、その外微分を⁠ ⁠全体にわたって積分したものに等しい、すなわち、 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle \オメガ}$ $${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathop {} \!d\omega \,.}$$

ストークスの定理は、ヴィト・ヴォルテラ、エドゥアール・グルサ、アンリ・ポアンカレによるベクトル解析の定理の一般化に関する先行研究を受けて、1945年にエリー・カルタンによって現代的な^形で定式化されました。^{[ 3} ] ^{[ 4 ] [ 5 ]}

この現代的なストークスの定理は、ケルビン卿が1850年7月2日付の手紙でジョージ・ストークスに伝えた古典的な結果を大幅に一般化したものである。 ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}ストークスは1854年のスミス賞試験でこの定理を問題とし、彼の名前を冠した結果が生まれた。この定理は1861年にヘルマン・ハンケルによって初めて発表された。 ^{[ 8 ] [ 9 ]}この古典的なケースは、ユークリッド三次元空間におけるベクトル場の回転の面積分（つまり、⁠ ⁠の流束）と、面境界上のベクトル場の 線積分を関連付けている。${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle {\text{curl}}\,{\textbf {F}}}$

導入

微積分学の第二基本定理は、区間上の関数の積分は、 ⁠ ⁠の原始微分を求めることによって計算できると述べています。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.}$$

ストークスの定理は、次の意味でこの定理を大幅に一般化したものです。

• ⁠ ⁠${\displaystyle F}$ の選択により、⁠ ⁠となります。${\displaystyle \textstyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)}$ 微分形式の用語で言うと、これは⁠ ⁠が 0-形式、つまり関数⁠ ⁠の外微分であることを意味します。言い換えれば、⁠ ⁠となります。一般的なストークスの定理は、 ⁠ ⁠のような 0-形式だけでなく、高次微分形式にも適用されます。${\displaystyle f(x)\,dx}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle dF=f\,dx}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle F}$
• 閉区間は、境界 を持つ1次元多様体の単純な例です。その境界は、 2点 と からなる集合です。区間上の積分は、高次元多様体上の積分形式に一般化できます。必要な技術的条件は2つあります。多様体は向き付け可能 であること、そして明確に定義された積分を与えるためには、形式がコンパクトに支えられていることです。${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$
• 2点と は閉区間の境界を形成します。より一般的には、ストークスの定理は境界を持つ有向多様体に適用されます。の境界自体も多様体であり、⁠ ⁠の自然な向きを継承します。例えば、区間の自然な向きは、2つの境界点の向きを決定します。直感的に言えば、 ⁠ ⁠は区間の両端にあるため、⁠ ⁠と反対の向きを継承します。したがって、2つの境界点⁠ ⁠を「積分」することは、⁠ ⁠の差を取ることです。${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F(b)-F(a)}$

さらに簡単に言えば、点を曲線の境界、つまり1次元多様体の0次元境界と見なすことができます。したがって、1次元多様体（ ⁠ ⁠ ）上の積分（⁠ ⁠${\displaystyle f\,dx=dF}$ ）の値を0次元境界（ ⁠ ⁠${\displaystyle [a,b]}$ ）における反微分（⁠ ⁠${\displaystyle F}$ ）を考慮することで求めることができるのと同様に、微積分学の基本定理を、いくつかの追加の注意事項を伴って一般化し、多様体の⁠ ⁠ 次元境界（ ⁠ ⁠ ）における反微分（ ⁠ ⁠ ）を考慮することで、 ⁠ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ⁠次元多様体（ ⁠ ⁠）上の積分（⁠ ⁠ ）の値を扱うことができます。 ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

したがって、基本定理は次のようになります。 $${\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}\,dF=\int _{\partial [a,b]}\,F=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.}$$

境界を持つ滑らかな多様体の定式化

を境界を持つ次元の有向滑らかな多様体とし、を⁠ ⁠上でコンパクトに支えられた滑らかな⁠ ⁠ -微分形式とします。まず、 が単一の有向座標チャート⁠ ⁠の領域でコンパクトに支えられていると仮定します。この場合、⁠ ⁠ 上の積分を、 ⁠ ⁠への引き戻し を介して⁠ ⁠として 定義します。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \{U,\varphi \}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha \,,}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

より一般的には、の積分は次のように定義されます。 を（整合的に向き付けられた）座標チャートの 局所有限被覆に関連付けられた単位分割とすると、 の積分を定義します。ここで、 和の各項は前述のように に引き戻すことによって評価されます。この量は明確に定義されています。つまり、座標チャートの選択にも単位分割にも依存しません。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$ ${\displaystyle \{U_{i},\varphi _{i}\}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha \,,}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

一般化されたストークスの定理は次のようになります。

定理 （ストークス・カルタン）— を、方向付けられた-次元境界付き多様体⁠ ⁠上のコンパクトな台を持つ滑らかな-形式とします。ここで、誘導された方向が与えられます。すると、${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega .}$$

ここで外微分 は、多様体構造のみを使用して定義されます。右辺は、⁠ ⁠次元多様体に境界がないことを強調するために、 と書かれることもあります。 ^{[注 1 ]}（この事実はストークスの定理の含意でもあります。なぜなら、与えられた滑らかな⁠ ⁠次元多様体⁠ ⁠に対して、定理を2回適用すると、任意の ⁠ ⁠ 形式 ⁠ ⁠ が得られ、これは⁠ ⁠を意味するからです。）方程式の右辺は、積分法則を定式化するためによく使用されます。そして、左辺は同等の微分定式化につながります（以下を参照）。 ${\displaystyle d}$ ${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$ ${\displaystyle (n-2)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \partial (\partial \Omega )=\emptyset }$

この定理は、 が、その形式が定義されている、より大きな多様体 (多くの場合⁠ ⁠ ) の埋め込まれた有向部分多様体である場合によく使用されます。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \omega }$

位相的予備知識; 鎖上の積分

M を滑らかな多様体とする。Mの（滑らかな）特異k単体は、R ^kの標準単体からMへの滑らかな写像として定義される。M上の特異k連鎖の群C _k ( M , Z )は、 Mの特異k単体の集合上の自由アーベル群として定義される。これらの群は、境界写像∂とともに、連鎖複体を定義する。対応するホモロジー群（またはコホモロジー群）は、M の滑らかな単体ではなく連続単体を使用して定義される通常の特異ホモロジー群H _k ( M , Z )（または特異コホモロジー群H ^k ( M , Z ) ）と同型である。

一方、外微分dを接続写像とする微分形式は、コチェーン複体を形成し、これがド・ラームコホモロジー群⁠ ⁠${\displaystyle H_{dR}^{k}(M,\mathbf {R} )}$ を定義します。

微分k形式は、 R ^kに引き戻すことで、 k単体上で自然に積分できます。線型性による拡張により、連鎖上で積分できます。これにより、 k形式の空間からk番目の特異コチェーンのグループC ^k ( M、Z ) 、つまりC _k ( M、Z )上の線型関数への線型写像が得られます。言い換えると、k形式ωはkチェーン 上の関数を定義します 。ストークスの定理によれば、これはド・ラーム・コホモロジーから実係数の特異コホモロジーへの連鎖写像です。外微分dは、形式上で∂の双対のように振舞います。これにより、ド・ラーム・コホモロジーから特異コホモロジーへの準同型写像が得られます。形式のレベルでは、これは次のことを意味します。 $${\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega .}$$

1. 閉じた形式、すなわちdω = 0は境界、すなわち∂Σ _c M _cと書ける多様体上では積分がゼロである。そして
2. 正確な形式、すなわちω = dσは、サイクルにわたって積分がゼロになります。つまり、境界を合計すると空集合、すなわち∂Σ _c M _c = ∅になります。

ド・ラームの定理は、この準同型が実際には同型であることを示しています。したがって、上記の1と2の逆が成り立ちます。言い換えれば、{ c _i }がk番目のホモロジー群を生成する閉路である場合、対応する任意の実数{ a _i }に対して、閉形式ωが存在し、 この形式は完全形式を除いて一意です。 $${\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega =a_{i}\,,}$$

滑らかな多様体上のストークスの定理は滑らかな多様体上の鎖のストークスの定理から導出でき、逆もまた同様である。^{[ 10 ]} 正式には、後者は次のようになる。^{[ 11 ]}

定理 （連鎖に対するストークスの定理）— c が滑らかな多様体M内の滑らかなk連鎖であり、ωがM上の滑らかな( k − 1)形式である場合、 $${\displaystyle \int _{\partial c}\omega =\int _{c}d\omega .}$$

基本原則

これらの位相的な議論を簡略化するために、 d = 2次元の例を検討することで、根底にある原理を検証する価値がある。左の図は、多様体の有向タイリングにおいて、内部経路が反対方向に通過することを示す。したがって、経路積分へのそれらの寄与は互いに打ち消し合う。結果として、境界からの寄与のみが残る。したがって、十分に細かいタイリング（または、それと同義の単体）に対してストークスの定理を証明すれば十分であり、これは通常、それほど難しくない。

古典的なベクトル解析の例

を区分的に滑らかなジョルダン平面曲線とする。ジョルダン曲線定理によれば、 はコンパクトな成分と非コンパクトな成分の2つに分解される。で囲まれるコンパクト部分をとし、 が滑らかで⁠ ⁠とする。が ⁠ ⁠ ^{[注 2 ]}で定義される空間曲線であり、 が⁠ ⁠上の滑らかなベクトル場である場合、次式が成り立つ。^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S=\psi (D)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {S} }$$

この古典的な記述は、ベクトル場を1形式、その回転を2形式と同一視した後の一般的な定式化の特別な場合である。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot d\Gamma \to F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} \to \\[1.4ex]&d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz)=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)dy\wedge dz+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)dz\wedge dx+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

ラフ集合への一般化

区分的に滑らかな境界を持つ領域（ここではΩではなくDと呼ぶ）．これは角を持つ多様体なので，その境界は滑らかな多様体ではない．

境界を持つ滑らかな多様体である上記の定式化は、多くの応用において十分ではありません。例えば、積分領域を2つのx座標と2つの関数のグラフの間の平面領域として定義する場合、領域に角が存在することがよくあります。このような場合、角点は境界を持つ滑らかな多様体ではないことを意味し、したがって上記のストークスの定理の記述は適用されません。しかし、ストークスの定理の結論が依然として正しいことを確認することは可能です。これは、とその境界が、小さな点の集合（測度零点集合）から離れた場所では良好な振る舞いを示すためです。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

粗さを考慮に入れたストークスの定理のバージョンは、ハスラー・ホイットニーによって証明されました。^{[ 14 ]}が⁠ ⁠の連結な有界開部分集合であると仮定します。次の特性を満たす場合、標準領域と呼びます。⁠ ⁠のサブセットが存在し、⁠ ⁠で開いておらず、 ⁠ ⁠ における補集合のハウスドルフ⁠ ⁠測度が0 である。また、 のすべての点が一般化法ベクトルを持つ。これは、が最初の基底ベクトルとなるように座標系を選択した場合、 ⁠ ⁠の周りの開近傍に、 がグラフでが領域⁠ ⁠となるような滑らかな関数が存在するようなベクトルです。ホイットニーは、標準領域の境界は、ハウスドルフ⁠ ⁠測度が 0 の集合と、それぞれが片側にのみ領域を持つ滑らかな⁠ ⁠多様体の有限または可算な和集合の和集合であると指摘しています。次に、が⁠ ⁠の標準領域であり、が⁠ ⁠上で定義され、連続で、有界であり、 ⁠ ⁠上で滑らかで、 ⁠ ⁠上で積分可能であり、 が⁠ ⁠上で積分可能である⁠ ⁠形式である場合、ストークスの定理が成り立つことを証明します。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$ ${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \{x_{1}=f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{x_{1}:x_{1}<f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle D\cup P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}d\omega \,.}$$

ラフ集合の測度論的性質の研究は幾何学的測度論につながる。ストークスの定理のさらに一般的なバージョンは、フェデラーとハリソンによって証明されている。^{[ 15 ]}

特殊なケース

微分形式を用いたストークスの定理の一般形は、特殊な場合よりも強力で使いやすくなっています。従来のバージョンは、微分幾何学の仕組みを使わずに直交座標系を用いて定式化できるため、より分かりやすいです。さらに、それらは古くから存在し、その結果、名称も馴染み深いものとなっています。従来の形式は、実務に携わる科学者やエンジニアにとっては便利だと考えられることが多いですが、球面座標や円筒座標といった馴染みのある座標系であっても、他の座標系を用いると、従来の定式化の不自然さが顕著になります。名称の適用方法や二重定式化の使用において、混乱が生じる可能性があります。

古典的（ベクトル計算）ケース

ベクトル計算のストークスの定理の図解。表面Σ、その境界∂Σ 、および「法線」ベクトルnを示します。

これは（双対化された）⁠ ⁠次元${\displaystyle (1+1)}$ の場合であり、1次元形式（ベクトル場に関する命題であるため双対化されている）に対応しています。この特殊なケースは、多くの大学のベクトル解析入門コースでは単にストークスの定理と呼ばれることが多く、物理学や工学の分野で用いられています。回転定理と呼ばれることもあります。

古典的なストークスの定理は、ユークリッド三次元空間におけるベクトル場の回転の面積分と、その境界上のベクトル場の線積分を関連付けるものです。これは、ユークリッド三次元空間上の計量を用いてベクトル場を1-形式と同一視した場合の、一般的なストークスの定理（ ⁠ ⁠）の特殊なケースです。線積分の曲線⁠ ⁠は正の向き を持つ必要があります。つまり、面法線⁠ ⁠が観察者に向かっている 場合、 は反時計回りを向きます。${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle n}$

この定理の帰結の一つは、回転角がゼロのベクトル場の磁力線は閉じた等高線にはなり得ないということです。この式は次のように書き直すことができます。

定理—が滑らかな表面を持つ領域で定義され、連続な1階偏微分 を持つとします。 ここで、 とは⁠ ⁠の成分であり、は領域⁠ ⁠の境界です。 ${\displaystyle {\textbf {F}}={\big (}P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z){\big )}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \iint _{\Sigma }{\Biggl (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy{\Biggr )}=\oint _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}\,,}$$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

グリーンの定理

グリーンの定理は、上で引用したP、Q、Rの積分における両辺の 3 番目の積分対象としてすぐに認識できます。

電磁気学では

4つのマクスウェル方程式のうち2つは3次元ベクトル場の回転を伴い、それらの微分形式と積分形式は、ストークスの定理の特殊な3次元（ベクトル計算）の場合によって関連付けられています。境界が移動するケースを避けるように注意する必要があります。部分時間微分は、そのようなケースを除外することを意図しています。境界が移動するケースを含めると、積分と微分の入れ替えにより、以下の結果には含まれていない境界運動に関連する項が発生します（積分記号の下にある微分を参照）。

ベクトル場の回転を含むマクスウェルの電磁方程式の微分形式と整数形式

名前	微分形式	積分形式 （3次元ストークスの定理と相対論的不変性を使用）${\displaystyle \textstyle \int {\tfrac {\partial }{\partial t}}\dots \to {\tfrac {d}{dt}}\textstyle \int \cdots }$
マクスウェル・ファラデー方程式 ファラデーの電磁誘導の法則	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} \\&=-\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{aligned}}}$ （CとSは必ずしも定常ではない）
アンペールの法則（マクスウェルの拡張を含む）	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {H} \cdot d\mathbf {A} \\&=\iint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{aligned}}}$ （CとSは必ずしも定常ではない）

上記のマクスウェル方程式のサブセットは、SI単位系で表される電磁場に対して有効です。CGS単位系やガウス単位系などの他の単位系では、項のスケーリング係数が異なります。例えば、ガウス単位系では、ファラデーの電磁誘導の法則とアンペールの法則はそれぞれ^{[ 16 ] [ 17 ]} の形をとります。 ここで、cは真空中の光速です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,\\\nabla \times \mathbf {H} &={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \,,\end{aligned}}}$$

発散定理

同様に、ベクトル場をユークリッド体積形式と縮約して得られる⁠ ⁠形式 と同一視する場合、発散定理は 特別なケースとなります。この応用として、 が任意の定数ベクトルの場合が挙げられます。積の発散を求めると、次のようになります。これは すべての場合 に成り立つので、$${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \operatorname {Vol} }\mathbf {F} \cdot d{\boldsymbol {\Sigma }}}$$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle {\textbf {F}}=f{\vec {c}}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle {\vec {c}}\cdot \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }={\vec {c}}\cdot \oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\,d_{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\,d{\boldsymbol {\Sigma }}\,.}$$

スカラー場の勾配の体積積分

をスカラー場とする。すると、 与えられた点における 表面の法線ベクトルは どこになるか。${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f=\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f}$$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

証明： をベクトルとします。すると、 任意のベクトル（特に、任意の基底ベクトル） に対してこの式が成り立つので、結果は次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {c}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\Omega }{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {c}}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}\cdot {\vec {c}}f&{\text{by the divergence theorem}}\\&=\int _{\Omega }{\vec {c}}\cdot {\vec {\nabla }}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {c}}\cdot {\vec {n}}f\\&={\vec {c}}\cdot \int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f-{\vec {c}}\cdot \int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f\\&={\vec {c}}\cdot \left(\int _{\Omega }{\vec {\nabla }}f-\int _{\partial \Omega }{\vec {n}}f\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\vec {c}}}$

参照

• チャンドラセカール・ウェンツェルの補題

脚注

1. 数学者にとってこの事実は既知であるため、円は不要であり、しばしば省略されます。しかし、ここで覚えておくべきことは、熱力学では（ここで全微分は、下記参照、外微分と混同してはならない）、積分経路ははるかに高次元の多様体上の1次元閉線であるということです。つまり、熱力学の応用において、が温度、体積、および試料の電気分極の関数である場合、円は実際 に 必要です。例えば、積分公理の 微分的な結果${\textstyle \oint _{W}\{d_{\text{total}}U\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=T}$ ${\displaystyle \alpha _{2}=V}$ ${\displaystyle \alpha _{3}=P}$ $${\displaystyle \{d_{\text{total}}U\}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\,d\alpha _{i}\,,}$$ $${\displaystyle \oint _{W}\,\{d_{\text{total}}U\}\,{\stackrel {!}{=}}\,0\,.}$$
2. とは両方ともループですが、は必ずしもジョルダン曲線であるとは限りません。${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

参考文献

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3. カルタン、エリー (1945)。Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques [外部差動システムとその幾何学的応用] (フランス語)。パリ: ヘルマン。
4. Katz, Victor J. (1979年5月). 「ストークスの定理の歴史」.数学雑誌. 52 (3): 146– 156. doi : 10.2307/2690275 . JSTOR 2690275 . 
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6. 参照:
   • カッツ（1979）、146-156頁。
   • トムソンからストークスへの手紙は、以下の文献に掲載されています：ウィリアム・トムソン著、ジョージ・ガブリエル・ストークス著（1990年）。デイビッド・B・ウィルソン編『サー・ジョージ・ガブリエル・ストークスとサー・ウィリアム・トムソン（ラーグスのケルビン男爵）との書簡集、第1巻：1846～1869年』ケンブリッジ大学出版局、  96～ 97頁。ISBN 9780521328319。
   • トムソンもストークスも定理の証明を発表しませんでした。最初に公開された証拠は 1861 年に発表されました: Hankel, Hermann (1861)。Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten [流体の運動の一般理論について]。ゲッティンゲン、ドイツ: Dieterische University Buchdruckerei。34～ 37ページ 。ハンケルは定理の著者については言及していない。
   • 脚注で、ラーモアはベクトル場の回転を面上で積分した先駆者たちについて言及している。参照：ジョージ・ガブリエル・ストークス(1905)。ジョセフ・ラーモア、ジョン・ウィリアム・ストラット (編)。故ジョージ・ガブリエル・ストークス卿による数学・物理学論文集。第5巻。ケンブリッジ大学出版局。320  ～ 321頁。
7. ダリゴル、オリヴィエ (2000). 『アンペールからアインシュタインまでの電気力学』オックスフォード大学出版局. p. 146. ISBN 0198505930。
8. スピヴァック（1965）、p. vii、序文。
9. 参照:
   • 1854年のスミス賞試験の記録は、クラーク・マクスウェル財団のウェブサイトでオンラインで閲覧できます。マクスウェルはこの試験に合格し、エドワード・ジョン・ラウスと並んで1位を獲得しました。参照：ジェームズ・クラーク・マクスウェル著（1990年）。ハーマン・P・M（編）『ジェームズ・クラーク・マクスウェルの科学論文集』第1巻：1846～1862年。ケンブリッジ大学出版局。237ページ、脚注2。ISBN 9780521256254。スミス賞および「以下のスミス賞試験は、1879年にジェームズ・クラーク・マクスウェルがケンブリッジ大学のキャベンディッシュ教授であった際に制定されました。」(PDF)クラーク・マクスウェル財団。
   • クラーク・マクスウェル、ジェームズ（1873年）『電気と磁気に関する論文集』第1巻、オックスフォード：クラレンドン・プレス、pp.  25– 27。27 ページの脚注で、マクスウェルは、ストークスが 1854 年のスミス賞試験でこの定理を問題 8 として使用したと述べています。この脚注が、この定理が「ストークスの定理」として知られるようになった原因であると思われます。
10. レンテルン、ポール (2014). 『多様体、テンソル、そして形式』 ケンブリッジ大学出版局. pp.  158– 175. ISBN 9781107324893。
11. Lee, John M. (2000).滑らかな多様体入門(PDF) . pp.  248– 257.
12. スチュワート、ジェームズ (2010). 『微積分学入門：超越関数入門』 コール.
13. この証明は、 Scheichl, Robert. 「ストークスの定理の証明」（PDF）（講義ノート）（バース大学）によるものと同じです。
14. ホイットニー、ハスラー (1957).幾何積分理論. プリンストン大学出版局. III.14.
15. Harrison, J. (1993年10月). 「非平滑鎖に対するストークスの定理」.アメリカ数学会報. 新シリーズ. 29 (2): 235– 243. arXiv : math/9310231 . Bibcode : 1993math.....10231H . doi : 10.1090/S0273-0979-1993-00429-4 . S2CID 17436511 . 
16. ジャクソン, JD (1975).古典電気力学（第2版）. ニューヨーク: Wiley. ISBN 9780471431329。
17. Born, M.; Wolf, E. (1980). Principles of Optics (第6版). Cambridge University Press.

さらに読む

• グルンスキー、ヘルムート(1983).一般ストークスの定理ボストン: ピットマン. ISBN 0-273-08510-7。
• ルーミス、リン・ハロルド；スターンバーグ、シュロモ（2014年）『微積分学入門』ハッケンサック、ニュージャージー州：ワールド・サイエンティフィック出版。ISBN 978-981-4583-93-0。
• Madsen, Ib ; Tornehave, Jørgen (1997). 『微積分からコホモロジーへ：デ・ラーム・コホモロジーと特性類』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-58956-8。
• Marsden, Jerrold E. ; Anthony, Tromba (2003).ベクトル計算（第5版）. WH Freeman.
• ルディン、ウォルター（1976年）『数学解析の原理』ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 0-07-054235-X。
• スチュワート、ジェームズ（2009年）『微積分：概念と文脈』Cengage Learning. pp.  960– 967. ISBN 978-0-495-55742-5。
• Tu, Loring W. (2011). 『多様体入門』（第2版）. ニューヨーク: Springer. ISBN 978-1-4419-7399-3。

外部リンク

• 「ストークスの公式」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 発散定理とストークスの定理の証明
• lamar.edu の微積分 3 – ストークスの定理– 解説