遺伝的代数

数理遺伝学において、遺伝代数とは、遺伝学における遺伝をモデル化するために用いられる（場合によっては非結合的な）代数である。これらの代数のいくつかのバリエーションは、列車代数、特殊列車代数、配偶子代数、バーンスタイン代数、コピュラ代数、接合子代数、およびバリック代数（重み付き代数とも呼ばれる）と呼ばれる。これらの代数の研究は、アイヴァー・エザリントン （1939年）によって始められた。

遺伝学への応用において、これらの代数はしばしば遺伝的に異なる配偶子に対応する基底を持ち、代数の構造定数は様々なタイプの子孫を生み出す確率を符号化する。そして、遺伝の法則は代数の代数的性質として符号化される。

遺伝的代数の概要については、Bertrand (1966)、Wörz-Busekros (1980)、Reed (1997)を参照してください。

バリック代数

バリック代数（または重み付き代数）は、イーサリントン（1939）によって導入された。体 K上のバリック代数は、 K上の非結合的な代数 と、代数からKへの重みと呼ばれる 準同型 wを組み合わせたものである。[ 1 ]

バーンスタイン代数

ベルンシュタイン代数は、セルゲイ・ナタノヴィッチ・ベルンシュタイン （1923） による遺伝学におけるハーディ・ワインベルグの法則に関する研究に基づくもので、体K上の （おそらく非結合的な）重心代数Bであり、 BからKへの重み準同型wがを満たす。このような代数はいずれもを満たす形の冪等元eを持つ。eに対応するBのパース分解は （×2）2＝わ（×）2×2{\displaystyle (x^{2})^{2}=w(x)^{2}x^{2}}e＝1つの2{\displaystyle e=a^{2}}わ（1つの）＝1{\displaystyle w(a)=1}

B＝Ke⊕あなたe⊕Ze{\displaystyle B=Ke\oplus U_{e}\oplus Z_{e}}

ここで 、およびである。これらの部分空間はeに依存するが、その次元は不変であり、Bの型を構成する。例外的なベルンシュタイン代数は、となる。[ 2 ]あなたe＝{1つの∈カー⁡わ:e1つの＝1つの/2}{\displaystyle U_{e}=\{a\in \ker w:ea=a/2\}}Ze＝{1つの∈カー⁡わ:e1つの＝0}{\displaystyle Z_{e}=\{a\in \ker w:ea=0\}}あなたe2＝0{\displaystyle U_{e}^{2}=0}

連結代数

連結代数はエザリントン（1939、第8節） によって導入された。

進化代数

体上の進化代数は、基底項の積がゼロで、各基底元の平方が基底元の線型形式となることで乗法が定義される基底を持つ代数である。実進化代数は実数上で定義される代数であり、線型形式の構造定数がすべて非負であれば非負となる。 [ 3 ] 進化代数は必然的に可換かつ柔軟であるが、必ずしも結合性やべき結合性を持つとは限らない。[ 4 ]

配偶子代数

配偶子代数は、すべての構造定数が0と1の間にある有限次元実代数である。[ 5 ]

遺伝的代数

遺伝的代数はSchafer (1949)によって導入され、彼は特殊列車代数は遺伝的代数であり、遺伝的代数は列車代数であることを示しました。

特別な列車代数

特殊列車代数は、エザリントン（1939、第4節）によって、重心代数の特殊なケースとして導入されました。

特殊列車代数は、重み関数の核Nが冪零でNの主冪がイデアルである重心代数である。[ 1 ]

Etherington (1941)は、特殊列車代数は列車代数であることを示した。

代数を訓練する

トレイン代数は、エザリントン（1939、第4節）によって、バリック代数の特殊なケースとして導入されました。

を体Kの元とし、 とする。形式多項式 c1、…、cn{\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}1+c1+⋯+cn＝0{\displaystyle 1+c_{1}+\cdots +c_{n}=0}

×n+c1わ（×）×n−1+⋯+cnわ（×）n{\displaystyle x^{n}+c_{1}w(x)x^{n-1}+\cdots +c_{n}w(x)^{n}}

は訓練多項式である。重みwのバリック代数Bが訓練代数となるのは、

1つのn+c1わ（1つの）1つのn−1+⋯+cnわ（1つの）n＝0{\displaystyle a^{n}+c_{1}w(a)a^{n-1}+\cdots +c_{n}w(a)^{n}=0}

すべての要素について、主たる力として定義される。[ 1 ] [ 6 ]1つの∈B{\displaystyle a\in B}1つのけ{\displaystyle a^{k}}（1つのけ−1）1つの{\displaystyle (a^{k-1})a}

接合子代数

接合子代数はエザリントン（1939、第7節） によって導入された。

参考文献

  1. ^ a b c González, S.; Martínez, C. (2001), 「About Bernstein algebras」, Granja, Ángel (ed.), Ring theory and algebraic geometry. Proceedings of the 5th international conference on algebra and algebraic geometry, SAGA V, León, Spain , Lect. Notes Pure Appl. Math., vol. 221, New York, NY: Marcel Dekker, pp.  223– 239, Zbl  1005.17021
  2. ^ Catalan, A. (2000). 「Bernstein代数におけるE-イデアル」。Costa, Roberto (編).非結合代数とその応用. 第4回国際会議議事録, サンパウロ, ブラジル. 講演ノート Pure Appl. Math. 第211巻. ニューヨーク, マルセル・デッカー. pp.  35– 42. Zbl 0968.17013 . 
  3. ^ティアン（2008）p.18
  4. ^ティアン（2008）p.20
  5. ^コーン、ポール・M. (2000).環論入門. シュプリンガー学部数学シリーズ.シュプリンガー出版社. p. 56. ISBN 1852332069. ISSN  1615-2085 .
  6. ^カタロニア語 S.、アブドン (1994)。 「バリック代数におけるE -イデアル」。マット。軽蔑します。6 : 7–12 . Zbl 0868.17023。 

さらに読む

  • リュービッチ、Yu.I. (1983)、集団遺伝学の数学的構造。 (Matematicheskie struktury v Populyatsionnojgenetike) (ロシア語)、キエフ: Naukova Dumka、Zbl  0593.92011
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=遺伝代数&oldid =1274967299」より取得