代数体

数学において、代数体（または単に数体）とは、有理数体の拡大体 であり、その拡大体は有限次数を持つ（したがって代数体拡大である）ような体である。したがって、は上のベクトル空間として考えた場合、有限次元を持ち、 を含む体である。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

代数体、すなわち有理数体の代数的拡大の研究は、代数的数論の中心的なテーマです。この研究は、代数的手法を用いて、有理数の背後に隠された構造を明らかにします。

意味

前提条件

代数体の概念は、体の概念に基づいています。体とは、2つの演算、すなわち加法 と乗法 、そして分配法則の仮定を伴う、元の集合から成ります。これらの演算により、体は加法に関してアーベル群となり、体の非零元は乗法に関して別のアーベル群となります。体の代表的な例としては、一般的に と表記される有理数体と、その通常の演算である加法と乗法が挙げられます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

代数体を定義するために必要なもう一つの概念はベクトル空間である。ここで必要な範囲において、ベクトル空間は列（または組） から成ると考えられる。

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$

その要素は体 のような固定体の元である。任意の2つのシーケンスは、対応する要素を加算することで加算できる。さらに、任意のシーケンスのすべての要素は、固定体の単一の元cで乗算できる。ベクトル加算とスカラー乗算として知られるこれらの2つの演算は、ベクトル空間を抽象的に定義するのに役立ついくつかの特性を満たす。ベクトル空間は「無限次元」であることが許されている。つまり、ベクトル空間を構成するシーケンスは無限長であってもよい。しかし、ベクトル空間が有限シーケンス で構成される場合、${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ 、

ベクトル空間は有限次元であると言われてい ます。${\displaystyle n}$

意味

代数体（または単に数体）は、有理数体の有限次数体拡大である。ここで次数とは、上のベクトル空間としての体の次元を意味する。${\displaystyle \mathbb {Q} }$

例

• 最も小さく、最も基本的な数体は有理数体である。一般数体の多くの性質は、 の性質をモデルにしている。同時に、代数体の他の多くの性質は有理数の性質とは大きく異なる。注目すべき例の一つは、数体の代数的整数環は主イデアル領域ではなく、一般には唯一の因数分解領域でもないということである。${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ガウス有理数は（「隣接」と読みます）と表記され、数体の（歴史的に）最初の非自明な例を形成します。その元は の形の元であり、と はどちらも有理数であり、は虚数単位です。このような式は、通常の算術規則に従って加減乗算し、恒等式 を用いて簡略化することができます。具体的には、実数 の場合：${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$ ${\displaystyle a,b,c,d}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\&(a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}}}$$

非ゼロのガウス有理数は逆であり、これは次の恒等式からわかる。

$${\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}$$

したがって、ガウス有理数は、 上のベクトル空間として 2 次元の数体を形成します。${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• より一般的には、任意の平方自由整数に対して、二次体とは の平方根を有理数体に付加することによって得られる数体である。この体における算術演算は、ガウス有理数の場合と同様に定義される。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d=-1}$
• 円分体（ ）は 、の原始n乗根を に付すことによって得られる数体である。この体にはすべての複素 n 乗根が含まれ、における次元は に等しい。ここではオイラーのトーシェント関数である。${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}),}$ ${\displaystyle \zeta _{n}=\exp {(2\pi i/n)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \varphi (n)}$ ${\displaystyle \varphi }$

非例

• 実数、、および複素数、は、 -ベクトル空間として無限次元を持つ体であるため、数体ではない。これは、およびが集合として非可算であることから導かれる。一方、すべての数体は上の有限次元ベクトル空間であるため、必然的に は可算である。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• 有理数の順序付き対の集合は、要素ごとの加法と乗法を備え、上の2次元可換代数である。しかし、零因子:を持つため、体ではない。${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$

代数性と整数環

一般に、抽象代数において、体拡大が代数的であるとは、より大きな体のすべての元がの係数を持つ（非零の）多項式の零点である場合に言う。${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle e_{0},\ldots ,e_{m}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle p(f)=e_{m}f^{m}+e_{m-1}f^{m-1}+\cdots +e_{1}f+e_{0}=0}$

有限次数の体拡大はすべて代数的である。(証明:においてについて、単に とみなせば、線型従属、つまり の根となる多項式が得られる。) 特にこれは代数体に適用され、代数体 の任意の元は有理係数を持つ多項式の零点として表すことができる。したがって、 の元は代数数とも呼ばれる。となる多項式が与えられた場合、必要であればすべての係数を で割ることで、主係数が 1 になるように配置することができる。この特性を持つ多項式はモニック多項式と呼ばれる。一般に、これは有理係数を持つ。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(f)=0}$ ${\displaystyle e_{m}}$

ただし、単数多項式の係数が実際にすべて整数である場合、は代数的整数と呼ばれます。 ${\displaystyle f}$

任意の（通常の）整数は代数的整数であり、線形モニック多項式の零点である。 ${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle p(t)=t-z}$ 。

有理数でもある任意の代数的整数は、実際には整数でなければならないことが示され、これが「代数的整数」と呼ばれる理由です。ここでも抽象代数、特に有限生成加群の概念を用いると、任意の2つの代数的整数の和と積は、依然として代数的整数であることが示されます。したがって、の代数的整数は の整数環と呼ばれる環を形成します。これは の部分環（つまり、 に含まれる環）です。体には零因子が含まれず、この性質は任意の部分環に継承されるため、 の整数環は整域です。 体は整域の分数体です。このようにして、代数的数体とその整数環を 行き来することができます。代数的整数環には3つの明確な性質があります。第一に、は分数体 において整閉な整域です。第二に、はネーター環です。最後に、 の非零素イデアルはすべて最大である、あるいは同値として、この環のクルル次元は1である。これら3つの性質を持つ抽象可換環は、代数的整数環の詳細な研究を行ったリチャード・デデキントにちなんで、デデキント環（またはデデキント領域）と呼ばれる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

一意因数分解

一般のデデキント環、特に整数環においては、イデアルを素イデアルの積に因数分解する唯一の方法が存在する。例えば、2乗整数環のイデアルは、次のように素イデアルに因数分解される 。${\displaystyle (6)}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle (6)=(2,1+{\sqrt {-5}})(2,1-{\sqrt {-5}})(3,1+{\sqrt {-5}})(3,1-{\sqrt {-5}})}$

しかし、の整数環とは異なり、の真拡大の整数環は、数を素数の積、より正確には素元 に一意に因数分解する必要がない。これは既に2乗整数で起こっており、例えば では因数分解の一意性が破綻する。 ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})}$

ノルムを用いると、これら2つの因数分解は、因数がにおいて単位だけ異なるのではないという意味で、実際には非同値であることが示せる。ユークリッド領域は、一意の因数分解領域である。例えば、ガウス整数環やアイゼンシュタイン整数環（ただしは 1 の立方根（1 と等しくない））は、この性質を持つ。^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \omega }$

解析対象: ζ関数、L関数、類数公式

一意因数分解の失敗は、一般的にhと表記される類数、つまりいわゆる理想類群の濃度によって測られる。この群は常に有限である。整数環が一意因数分解を持つのは、それが主環である場合、または同値として、類数 1 を持つ場合である。数体が与えられた場合、類数を計算するのはしばしば困難である。ガウスに遡る類数問題とは、所定の類数を持つ虚二次数体（すなわち、 ）の存在に関するものである。類数公式は、 h をの他の基本的な不変量に関連付ける。これは、次式で定義される 複素変数 の関数であるデデキントゼータ関数を伴う。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}}),d\geq 1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

(積は のすべての素イデアルにわたって、素イデアルのノルム、またはそれと同値な留数体 の元の (有限) 数を表します。無限積はRe ( s ) > 1 の場合にのみ収束します。一般に、すべてのsに対して関数を定義するには、解析接続とゼータ関数の関数方程式が必要です。) デデキントゼータ関数は、リーマンゼータ関数を一般化し、 ζ ( s ) = ζ( s ) となります。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$ _{${\displaystyle \mathbb {Q} }$}

類数公式によれば、ζ ( s ) はs = 1に単極を持ち、この点で留数は次のように与えられる。 _{${\displaystyle K}$}

${\displaystyle {\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.}$

ここで、r ₁とr _{2 はそれぞれ}、の実埋め込みの数と複素埋め込みのペアを古典的に表す。さらに、 Reg はの調整式、wはの単位根の数、Dは の判別式である。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

ディリクレL関数は 、より洗練された関数です。どちらのタイプの関数も、それぞれ、およびの算術的動作を符号化します。例えば、ディリクレの定理は、任意の等差数列において${\displaystyle L(\chi ,s)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle a,a+m,a+2m,\ldots }$

と が互いに素 であるとき、素数は無限に存在する。この定理は、ディリクレ関数が において非零であるという事実から導かれる。現代数論は、代数的K理論や玉川測度といったより高度な手法を用いて、より一般的なL関数の値の記述を扱うが、その多くは推測に基づくもの（玉川数予想を参照）である。^{[ 2 ]}${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle s=1}$

数体の基数

積分基底

次数体の整数基底は集合である ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$

B = { b ₁ , …, b _n }

のn個の代数的整数で、の整数環のどの元もBの元のZ -線型結合として一意に表せるもの。つまり、 の任意のxに対して 、${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

x = m ₁ b ₁ + ⋯ + m _n b _n、

ここで、m _iは（通常の）整数である。したがって、の任意の元は次のように一意に表すことができる。 ${\displaystyle K}$

m ₁ b ₁ + ⋯ + m _n b _n、

ここで、m _{i は}有理数です。すると、の代数的整数は、m i がすべて整数である_の元とまったく同じになります。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

ローカルで作業し、フロベニウス マップなどのツールを使用すると、常にそのような基底を明示的に計算することができ、現在では、コンピュータ代数システムにこれを実行するための組み込みプログラムがあることが標準となっています。

パワーベース

を次数体とする。（ -ベクトル空間として見た）のあらゆる可能な基底のうち、特にべき乗基底と呼ばれる基底があり、それは以下の形をとる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}\}}$

ある元 に対して が成り立つ。原始元定理により、そのような が存在し、これは原始元と呼ばれる。が において選択でき、 が自由Z加群の基底となるとき、 は冪積分基底と呼ばれ、その体は単元体と呼ばれる。単元体ではない数体の例は、デデキントによって初めて示された。彼の例は、多項式^{[ 3 ]}の根を に付加することによって得られる体である。${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{x}}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8.}$$

正規表現、トレース、判別式

任意の体拡大は一意の- ベクトル空間構造を持つことを思い出してください。 での乗算を使用して、基本体上の体の元は、次式の ように 行列で表すことができます。 ここではの固定された基底があり、- ベクトル空間として見ることができます。 の任意の元は、基底元の線形結合として一意に表すことができるため、有理数は と基底の選択によって一意に決定されます。 の任意の元に行列を関連付けるこの方法は、正則表現と呼ばれます。正方行列は、与えられた基底における による乗算の効果を表します。したがって、の元が行列 で表される場合、積は行列積によって表されます。トレース、行列式、特性多項式などの行列の不変量は、基底ではなく、体元にのみ依存します。特に、行列のトレースは体元のトレースと呼ばれ、 と表記されます。また、行列式はxのノルムと呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle A=A(x)=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$$ $${\displaystyle xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbb {Q} .}$$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}(x)}$ ${\displaystyle N(x)}$

これを少し一般化するには、代わりに体拡大を考え、の -基底を与える。すると、 に付随する行列 が存在し、そのトレースとノルムは行列 のトレースと行列式として定義される。 ${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle {\text{N}}_{K/L}(x)}$ ${\displaystyle A_{K/L}(x)}$

例

の体拡大を考えてみましょう。ここで は1の立方根を表します。すると、任意の が何らかの-線型結合として表せるので、で与えられる -基底が得られます。次に、この数のトレースとノルムを計算します。そのために、任意のを取り、積 を計算します。これを書き出すと が得られます。関連する行列方程式を書き出すことで、となる 行列を見つけることができます。これは、 が数 の乗算を支配する行列であることを示しています。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}}$ ${\displaystyle \exp(2\pi i/3).}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle \{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},(\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}})^{2}\}}$$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle x=a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c(\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}})^{2}=a+b\theta +c\theta ^{2}.}$$ ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2}}$ ${\displaystyle xy}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}xy=a(y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2})+\\b(2y_{2}+y_{0}\theta +y_{1}\theta ^{2})+\\c(2y_{1}+2y_{2}\theta +y_{0}\theta ^{2}).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A(x)}$ ${\displaystyle xy=A(x)y}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle x}$

これで、トレースと行列式、、を簡単に計算できるようになりました。 ${\displaystyle T(x)=3a}$ ${\displaystyle N(x)=a^{3}+2b^{3}+4c^{3}-6abc}$

プロパティ

定義により、行列のトレースと行列式の標準的な特性はTrとNにも適用されます。Tr( x )はxの線形関数で、Tr( x + y ) = Tr( x ) + Tr( y )、Tr( λx ) = λ Tr( x )と表され、ノルムはn次の乗法同次関数です。N ( xy ) = N( x ) N( y )、N( λx ) = λ ⁿ N( x )。ここでλは有理数、x、yはの任意の2つの要素です。${\displaystyle K}$

導出されるトレース形式は、トレースによって定義される双線型形式であり、線形に 拡張され、によってとなる。整数値対称行列である積分トレース形式は と定義され、ここでb ₁ , ..., b _nは の積分基底である。の判別式は det( t )と定義される。これは整数であり、体 の不変特性であり、積分基底の選択に依存しない。 $${\displaystyle Tr_{K/L}:K\otimes _{L}K\to L}$$ $${\displaystyle Tr_{K/L}(x\otimes y)=Tr_{K/L}(x\cdot y)}$$ ${\displaystyle t_{ij}={\text{Tr}}_{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

の元xに関連付けられた行列は、代数的整数の他の同等の記述を与えるためにも使用できます。の元xは、 xに関連付けられた行列Aの特性多項式p _Aが整数係数のモニック多項式である場合に限り、代数的整数になります。元xを表す行列Aが、何らかの基底eに整数要素を持つとします。ケーリー・ハミルトンの定理により、p _A ( A ) = 0 となり、p _A ( x ) = 0 となるため、xは代数的整数になります。逆に、x がの元で、整数係数のモニック多項式の根である場合、対応する行列Aに同じ特性が当てはまります。この場合、A がの適切な基底における整数行列であることが証明できます。代数的整数であるという特性は、における基底の選択とは無関係な方法で定義されます。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

積分基底の例

を考える。ここでx はx ³ − 11 x ² + x + 1 = 0 を満たす。このとき積分基底は [1, x , 1/2( x ²  + 1)] であり、対応する積分軌跡形は ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.}$$

この行列の左上隅にある「3」は、 の正規表現における最初の基底元(1)によって定義される写像の行列のトレースである。この基底元は、3次元ベクトル空間 上の恒等写像を誘導する。3次元ベクトル空間上の恒等写像の行列のトレースは3である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

この行列式は1304 = 2 ³ ·163であり、体判別式です。比較すると、根判別式、つまり多項式の判別式は5216 = 2 ⁵ ·163です。

場所

19世紀の数学者は代数的数は複素数の一種であると仮定した。^{[ 4 ] [ 5 ]}この状況は1897年にヘンゼルがp進数を発見したことで変化し、現在では数体の様々な位相完備化への可能な埋め込みをすべて一度に考慮することが標準となっている。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

数体の位は、 ^{[ 6 ] 9ページ}における絶対値の同値類である。本質的に、絶対値とは の要素の大きさを測る概念である。2 つの絶対値は、同じ小ささ（または近さ）の概念を生じる場合、同値とみなされる。絶対値間の同値関係は、ノルムの値を 乗することを意味する、となるような関係で与えられる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{0}\sim |\cdot |_{1}}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{>0}}$ $${\displaystyle |\cdot |_{0}=|\cdot |_{1}^{\lambda }}$$ ${\displaystyle |\cdot |_{1}}$ ${\displaystyle \lambda }$

一般に、場所の種類は3つの領域に分類されます。まず（そしてほとんど無関係ですが）、自明な絶対値 | | ₀は、すべての非ゼロ で値を取ります。2番目と3番目のクラスは、アルキメデスの場所と非アルキメデス（または超計量）の場所です。場所に関するの完備化は、どちらの場合も、をコーシー列で取り、ヌル列を で割ることによって与えられます。ヌル列とは、 が無限大に近づくときに がゼロに近づくような列です。これは再び体、つまり と表記される特定の場所 におけるのいわゆる完備化であることが示されます。${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ $${\displaystyle |x_{n}|_{\mathfrak {p}}\to 0}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

に対して、以下の非自明なノルムが成立する（オストロフスキーの定理）：（通常の）絶対値（時には と表記される）は、実数 の完全な位相体を生じる。一方、任意の素数 に対して、p進絶対値は次のように定義される。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$

| q | _p = p ^{− n}、ただしq = p ⁿ a / bであり、aとb はpで割り切れない整数です。

これは-進数を構築するために使用されます。通常の絶対値とは対照的に、p進絶対値はqにpを乗じると小さくなり、とは全く異なる挙動を示します。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

一般的に考えられる状況は、数体 を取り、それに対応する代数的数環 の素イデアルを考えることです。この場合、非アルキメデス的位置 と呼ばれる唯一の位置が存在します。さらに、任意の埋め込みに対して、 と表記されるアルキメデス的位置 と呼ばれる位置が存在します。この記述はオストロフスキーの定理とも呼ばれる定理です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\sigma }:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

例

が固定された6乗根である体 は、明示的な実数および複素数のアルキメデス埋め込み、また非アルキメデス埋め込みを構築するための豊富な例を提供します^{[ 6 ] 15-16ページ}。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}$ ${\displaystyle \zeta }$

アルキメデスの場所

ここでは、使用される実数および複素数の埋め込みの数を表す 標準表記法とをそれぞれ使用します (以下を参照)。${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$

数体のアルキメデスの場所の計算は次のように行われます。 を、 （ に対して）最小多項式を持つの原始元とします。 に対して、は一般に既約ではなくなりますが、その既約（実）因子は次数 1 または 2 です。 重根がないので、重根はありません。次数 1 の因子の根は必然的に実数であり、を で置き換えるとへの埋め込みが得られます。このような埋め込みの数は、 の実根の数に等しくなります。上の標準絶対値を に制限すると、 上のアルキメデスの絶対値が得られます。このような絶対値はの実場所とも呼ばれます。 一方、次数 2 の因子の根は共役複素数のペアであり、 への 2 つの共役埋め込みが可能になります。この埋め込みのペアのいずれかを使用して 上の絶対値を定義することができ、両方の埋め込みが共役であるため、この値は同じになります。この絶対値はの複素場所と呼ばれます。^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

上記のすべての根が実数（それぞれ複素数）であるか、または同等に、任意の可能な埋め込みが実際に の内側（または の内側ではない）に強制される場合、 は完全に実数（または完全に複素数）と呼ばれます。 ^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$

非アルキメデス的または超距離的場所

非アルキメデスの場所を見つけるには、再び、 とを上記と同じとします。 では、はさまざまな次数の因数に分割され、それらの因数はいずれも重複せず、 の次数を合計すると になり、の次数です。これらの-進既約因数のそれぞれについて、がを満たし、上の有限次代数拡大へのの埋め込みを取得すると仮定できます。このような局所体は多くの点で数体のように動作し、-進数は同様に有理数の役割を果たすことがあります。特に、ノルムとトレースをまったく同じ方法で定義して、 をマッピングする関数を与えることができます。の場所に対するこの-進ノルム写像を使用して、 の次数の与えられた-進既約因数に対応する絶対値をによって定義できます。このような絶対値は の超計量、非アルキメデス 、または -進場所と呼ばれます。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N_{f_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle |y|_{f_{i}}=|N_{f_{i}}(y)|_{p}^{1/m}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$

任意の超距離的位置vについて、内の任意のxに対して | x | _v ≤ 1が成り立ちます。これは、 xの最小多項式は整数因数を持ち、したがってそのp進因数分解はZ _pに因数を持つためです。したがって、各因数のノルム項（定数項）はp進整数であり、そのうちの1つがvの絶対値を定義する際に用いられる整数です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

O _Kにおける主要な理想

超距離的位置vに対して、 | x | _v < 1で定義されるの部分集合はのイデアルである。これはvの超距離性に依存している。におけるxとyが与えられれば 、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

| x + y | _v ≤ max (| x | _v , |y| _v ) < 1 です。

実は、は素イデアルでもあります。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

逆に、の素イデアルが与えられたとき、離散的な付値はと設定することで定義できる。ここで n は となる最大の整数であり、 はイデアルの n倍のべき乗である。この付値は超距離的位置に変換できる。この対応関係では、 の超距離的位置の（同値類）は の素イデアルに対応する。の場合、これはオストロフスキーの定理を返す。つまり、 Zの任意の素イデアル（これは必ず単一の素数によって決まる）は非アルキメデス的位置に対応し、その逆もまた同様である。しかし、より一般的な数体の場合、状況はより複雑になる。これについては後述する。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=n}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

超距離的場所を記述するさらに別の同等の方法は、の局所化を使用することです。数体 上の超距離的場所が与えられた場合、対応する局所化は| x | _v ≤ 1 となるすべての元の の部分環です。超距離的性質により は環です。さらに、 が含まれます。のすべての元xに対して、少なくともxまたはx ⁻¹の 1 つがに含まれます。 実際には、K ^× / T ^{× は}整数に同型であることが示されるため、は離散値環、特に局所環です。実際には、は素イデアル におけるの局所化であるため、となります。逆に、は の最大イデアルです。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle T}$

全体として、超距離的絶対値、素イデアル、および数体上の局所化の間には 3 方向の同値性が存在します。

定理と場所の上に横たわる

代数的整数論における基本的な定理のいくつかに、上昇定理と下降定理があり、これらは、なんらかの素イデアルがなんらかの体拡大 に対するイデアル として拡大された場合の、その振る舞いを記述する。の場合、イデアルは 上にあるという。すると、この定理の 1 つの具体化は の素イデアルが上にあることを述べており、したがって の包含から誘導される射影写像が常に存在する。場所と素イデアルの間には対応関係があるため、体拡大 から誘導される場所を分割する場所を見つけることができるということになる。つまり、が の場所である場合、を分割するの場所が存在する。これは、それらの誘導された素イデアルがにおけるの誘導された素イデアルを分割するという意味である。 実際、この観察は、 の代数体拡大をそのいずれかの完備化 に基底変換することを見るときに役立つ[ 6 ] ^{pg 13。の誘導}元 についてと書き、 と書くと、の分解が得られる。明示的に、この分解は であり、さらに、ヘンゼルの補題^{[ 11 ] pg 129-131}により、誘導多項式はとして分解されます。したがって、がの根である場合に となる埋め込みがあります。したがって、のサブセットとして書くことができます(これは の代数的閉包の完備化です)。${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ $${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ $${\displaystyle K={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle X\in K}$ ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{Q(X)}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}[X]}$ $${\displaystyle Q(X)=\prod _{v|p}Q_{v}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}i_{v}:&K\to K_{v}\\&\theta \mapsto \theta _{v}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta _{v}}$ ${\displaystyle Q_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}=\mathbb {Q} _{p}(\theta _{v})}$ $${\displaystyle K_{v}=i_{v}(K)\mathbb {Q} _{p}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

分岐

分岐の模式図：以下に示すYのほぼすべての点の繊維は3点から構成されます。ただし、点で示したYの2点（黒で示した点）の繊維はそれぞれ1点と2点から構成されます。写像fは、 Yのこれらの点において分岐していると言えます。

分岐とは、一般的に、有限対1写像（つまり、Y内のすべての点yの原像が有限個の点のみで構成される写像）で起こりうる幾何学的現象を記述するものである。ファイバーf ⁻¹ ( y )の濃度は通常は同じ個数の点を持つが、特別な点yではこの数が減少する。例えば、写像 ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto z^{n}}$

はt上の各ファイバーにn個の点、つまりtのn 個の（複素）根を持ちますが、 t = 0の場合はファイバーが 1 つの元z = 0 のみから成るため、この写像はゼロ点において「分岐」すると言われています。これはリーマン面の分岐被覆の例です。この直感は代数的整数論における分岐の定義にも役立ちます。数体の（必然的に有限な）拡大が与えられたとき、 の素イデアルpはのイデアルpO _Kを生成します。このイデアルは素イデアルである場合もそうでない場合もありますが、ラスカー・ノイザーの定理（上記参照）によれば、常に次のように与えられます 。${\displaystyle K/L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

pO = q 1 e 1 q 2 e 2 ⋯ q m e m${\displaystyle K}$

q _iの一意に定まる素イデアルと、分岐指数と呼ばれる数e _iを持つ。分岐指数の1つが1より大きい場合、素数pは で分岐すると言われる。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

この定義と幾何学的状況との関連は、環のスペクトル写像によって示される。実際、代数幾何学におけるスキームの非分岐射は、数体の非分岐拡大の直接的な一般化である。 ${\displaystyle \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\to \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{L}}$

分岐は純粋に局所的な性質、すなわち素数pとq _iの周りの完備化のみに依存する。慣性群は、ある場所における局所ガロア群と、関係する有限剰余体のガロア群との差を測定する。

例

次の例は、 上で紹介した概念を示しています。の分岐指数を計算するには、${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$

f ( x ) = x ³ − x − 1 = 0,

23では、体拡大を考慮するだけで十分である。529 = 23 ² (つまり、 529を法とする)まで、fは次のように因数分解できる。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{23}(x)/\mathbb {Q} _{23}}$

f ( x ) = ( x + 181)( x ² − 181 x − 38) = gh .

最初の因数gにx = y + 10を代入して529を法とするとy + 191となるので、 gによって与えられるyの評価| y | _gは| −191 | ₂₃ = 1となる。一方、hに同じ代入をするとy ² − 161 y − 161 529を法として得られる。161 = 7 × 23なので、

${\displaystyle \left\vert y\right\vert _{h}={\sqrt {\left\vert 161\right\vert }}_{23}={\frac {1}{\sqrt {23}}}}$

係数hによって定義される位の絶対値の可能な値は23 の整数乗に限定されず、23 の平方根の整数乗であるため、23 における体拡張の分岐指数は 2 です。

の任意の元の値は、結果式を用いてこのように計算できます。例えば、y = x ² − x − 1 の場合、結果式を用いてこの関係とf = x ³ − x − 1 = 0の間でxを消去すると、 y ³ − 5 y ² + 4 y − 1 = 0となります。代わりにfの因数gとhに関して を消去すると、 yの多項式の対応する因数が得られ、次に定数（ノルム）項に 23 進値を適用することで、gとh（この例ではどちらも 1） に対するyの値を計算することができます。${\displaystyle K}$

デデキントの判別定理

判別式の重要性の多くは、分岐した超距離位数が、判別式をpで割り切る因数分解から得られるすべての位数であるという事実にあります。これは多項式判別式についても当てはまります。しかし逆もまた真で、素数pが判別式を割り切る場合、分岐するp位数があります。この逆を行うには体判別式が必要です。これがデデキントの判別式定理です。上の例では、 x ³  −  x − 1 = 0となる数体の判別式は -23 であり、既に見たように 23 進位数は分岐します。デデキントの判別式は、それが分岐する唯一の超距離位数であることを示しています。もう 1 つの分岐位は、 の複素埋め込みの絶対値から得られます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle K}$

ガロア群とガロアコホモロジー

抽象代数学において一般に、体拡大K / L は、要素ごとに固定された体自己同型からなるガロア群Gal( K / L )を調べることで研究できる。例えば、次数nの円分体拡大のガロア群（上記参照）は、 Z / n Z の可逆な元の群である ( Z / n Z ) ×で与えられる。^これは岩澤理論への第一歩である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$

ある特性を持つすべての可能な拡大を含めるために、ガロア群の概念は一般に代数的閉包の（無限）体拡大K / Kに適用され、絶対ガロア群G  := Gal( K / K ) または単に Gal( K )、および拡大 につながります。ガロア理論の基本定理は、間の体とその代数的閉包および Gal( K ) の閉じた部分群を結び付けます。たとえば、Gのアーベル化（最大のアーベル商）G ^{abは、最大}アーベル拡大K ^abと呼ばれる体に対応します（このように呼ばれるのは、それ以上の拡大はアーベルではない、つまり、アーベルガロア群を持たないためです）。クロネッカー・ウェーバーの定理により、 の最大アーベル拡大は1 のすべての根によって生成される拡大です。より一般的な数体については、類体論、特にアルティンの相互法則が、イデレ類群を用いてG ^{ab を}記述することで答えを与えます。また、 の最大アーベル不分岐体拡大であるヒルベルト類体も注目に値します。これは 上で有限であることが示され、 上のガロア群はの類群と同型であり、特にその次数は の類数hに等しくなります（上記参照）。 ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

状況によっては、ガロア群は他の数学的対象、たとえば群に作用します。そのような群はガロア加群とも呼ばれます。これにより、ガロア群 Gal( K ) の群コホモロジー(ガロアコホモロジーとも呼ばれます)の使用が可能になります。これは、まず第一に Gal( K ) 不変量を取る際の正確性の失敗を測定しますが、より深い洞察 (および質問) も提供します。たとえば、体拡大L / Kのガロア群Gは、 Lの非ゼロ元L ^×に作用します。このガロア加群は、ポワトゥ-テイト双対性など、多くの算術双対性で重要な役割を果たします。のBrauer 群は、もともと 上の除算代数を分類するために考え出されましたが、コホモロジー群、つまり H ² (Gal ( K , K ^× )) として書き直すことができます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

ローカル・グローバル原則

一般的に、「局所から大域へ」という用語は、大域的な問題をまず局所レベルで考察するという考え方を指し、これにより問題が単純化される傾向があります。その後、当然のことながら、局所的な解析で得られた情報をまとめて、大域的な命題へと戻さなければなりません。例えば、位相幾何学や幾何学においては、層の概念がこの考え方を具体化しています。

ローカルフィールドとグローバルフィールド

数体は、代数幾何学で多用される別の種類の体、つまり有限体上の代数曲線の函数体と多くの類似点を持っています。一例として、 K p ( T ₎が挙げられます。これらは多くの点で類似しており、たとえば、数環は 1 次元の正則環であり、曲線の座標環(その商体が問題の函数体) も 1 次元の正則環です。したがって、どちらのタイプの体もグローバル体と呼ばれます。上で説明した考え方に従えば、まず局所レベルで、つまり対応する局所体を調べることによって研究することができます。数体の場合、局所体とは、アルキメデスのものも含め、すべての場所での の完備化です (局所解析を参照)。函数体の場合、局所体とは、函数体の曲線のすべての点での局所環の完備化です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

関数体について有効な結果の多くは、少なくとも適切に再定式化すれば、数体についても成り立ちます。しかし、数体の研究はしばしば、関数体では遭遇しない困難や現象をもたらします。例えば、関数体には非アルキメデス的場所とアルキメデス的場所の二分法はありません。それでもなお、関数体はしばしば数体の場合に何を期待すべきかを直感的に知るための源泉となります。

ハッセ原理

大域レベルで提起される典型的な質問は、ある多項式方程式が において解を持つかどうかである。この場合、この解はすべての完備化においても解となる。局所-大域原理またはハッセ原理は、二次方程式についてはその逆も成り立つことを主張する。したがって、そのような方程式が解を持つかどうかのチェックは のすべての完備化について行うことができ、解析的手法（アルキメデス位での中間値定理や非アルキメデス位でのp 進解析などの古典的な解析ツール）を使用できるため、多くの場合より容易である。ただし、この含意はより一般的なタイプの方程式には当てはまらない。ただし、局所データから大域データに移行するというアイデアは類体理論において有益であることが証明されており、例えば、局所類体理論は上述の大域的な洞察を得るために使用されている。これはまた、完備化K _vのガロア群は明示的に決定できるのに対し、 のガロア群ですら大域体のガロア群はあまり理解されていない という事実にも関連している。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

アデルとイデル

に付随するすべての局所体に関する局所データを組み立てるために、アデール環が設定される。乗法的な変形はイデールと呼ばれる。 ${\displaystyle K}$

参照

一般化

• 代数関数体

代数的数論

• ディリクレの単位定理、S単位
• クマー延長
• ミンコフスキーの定理、数の幾何学
• チェボタレフの密度定理

類体理論

• レイクラスグループ
• 分解グループ
• 属フィールド

注記

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