形
タッパーウェア社製の「シェイプオー」という子供用のおもちゃで、さまざまな形を学ぶのに使われます。

図形とは、物体の形状、あるいはその外形、輪郭、あるいは外面をグラフィカルに表現したものです。色、質感、材質といった他の物体の特性とは区別されます。幾何学において、図形は物体の位置、大きさ、向き、そし​​て対比に関する情報を含みません。[ 1 ] 図とは、形状と大きさの両方を含む表現です（例えば、地球の図）。

平面図形は、立体的な3次元図形とは異なり、平面上に限定されます。2次元図形（ 2次元形状、2次元図形とも呼ばれます）は、より一般的な曲面（2次元空間）上に配置されることもあります。

単純な形状の分類

さまざまな多角形

いくつかの単純な図形は、大まかなカテゴリに分類できます。例えば、多角形は辺の数によって三角形、四角形、五角形などに分類されます。これらの多角形はさらに細かいカテゴリに分類されます。三角形は正三角形、二等辺三角形、鈍角三角形、鋭角三角形、不等辺三角形などに分類され、四角形は長方形、菱形、台形、正方形など に分類されます。

その他の一般的な形状としては、点、線、平面、楕円、円、放物線などの円錐曲線などがあります。

最も一般的な 3 次元形状には、平らな面を持つ多面体、卵形または球形の楕円体、円柱、円錐などがあります。

物体がこれらのカテゴリのいずれかに正確、あるいは近似的に当てはまる場合、その形状を用いてその物体の形状を記述することができます。例えば、マンホールの蓋の形状は円盤状であると言えます。これは、実際の幾何学的円盤とほぼ同じ幾何学的物体だからです。

幾何学では

2次元の幾何学的図形のセット：平行四辺形、三角形、円
3次元の幾何学的形状のセット：ピラミッド、球、立方体

幾何学的形状は、幾何学的物体の記述から位置、スケール、方向、反射を除いた残りの幾何学的情報から構成されます。[ 1 ]つまり、形状を移動したり、拡大したり、回転させたり、鏡に映したりした結果は、元の形状と同じ形状であり、異なる形状ではありません。

多くの二次元幾何学的形状は、点または頂点の集合と、それらの点を閉鎖状に結ぶ線、およびそれらの内部点によって定義できます。このような形状は多角形と呼ばれ、三角形、正方形、五角形などが含まれます。円や楕円など、曲線で囲まれた形状もあります。

多くの三次元幾何学的形状は、頂点の集合、頂点を結ぶ線、それらの線で囲まれた二次元面、そしてそれらの内部点によって定義されます。このような形状は多面体と呼ばれ 、立方体や四面体などのピラミッドが含まれます。楕円体や球体など、曲面で囲まれた三次元形状もあります。

図形内の任意の 2 つの点の間の線分上のすべての点もその図形の一部である場合、 その図形は凸型であると言われます。

プロパティ

2 つのオブジェクトの形状を比較する方法は複数あります。

  • 合同: 2 つのオブジェクトは、一連の回転、平行移動、および/または反射によって一方が他方に変換できる場合、合同です。
  • 類似性: 2 つのオブジェクトは、回転、平行移動、反射のシーケンスとともに均一なスケーリングによって、一方のオブジェクトをもう一方のオブジェクトに変換できる場合、類似しているといえます。
  • 同位体: 2 つの物体のうちの1 つが、その物体を破いたり穴を開けたりしない一連の変形によって他の物体に変換できる場合、その 2 つの物体は同位体です。
同じ色で示された図形は互いに同じ形をしており、相似であるといわれます。

2 つの類似または合同な物体が、一方を他方に変換するために鏡映変換が必要な場合、異なる形状を持つとみなされることがあります。たとえば、文字「b」と「d」は互いの鏡映しであるため、合同で類似していますが、状況によっては、同じ形状を持つとはみなされません。物体の形状を決定するために、物体の輪郭または外部境界のみが考慮されます。たとえば、中空の球体は、固体の球体と同じ形状を持つとみなされる場合があります。プロクラステス分析は、多くの科学において、2 つの物体が同じ形状であるかどうかを判断したり、2 つの形状の違いを測定したりするために使用されています。高度な数学では、準等長法は、2 つの形状がほぼ同じであると述べる基準として使用できます。

単純な図形は、多くの場合、直線、曲線、平面、平面図形（例：正方形や円）、立体図形（例：立方体や球）といった基本的な幾何学的対象に分類できます。しかし、現実世界に存在する図形のほとんどは複雑です。植物の構造や海岸線など、従来の数学的記述では説明できないほど複雑な図形もあります。そのような図形は、微分幾何学やフラクタルとして解析することができます。

一般的な形状には、円、正方形、三角形、長方形、楕円、星形（多角形）、ひし形、半円などがあります。五角形から始まる正多角形は、ギリシャ語由来の接頭辞に「-gon」を接尾辞とする命名規則に従います。五角形、六角形、七角形、八角形、九角形、十角形…多角形を参照してください。

図形の等価性

幾何学において、ユークリッド空間の二つの部分集合が同じ形状を持つとは、一方が他方へ並進、回転（これらをまとめて剛体変換とも呼ぶ）、一様スケーリングの組み合わせによって変換できる場合を言う。言い換えれば、点集合の形状とは、並進、回転、およびサイズ変更に対して不変な幾何学的情報すべてである。同じ形状を持つことは同値関係であり、したがって、形状の概念の正確な数学的定義は、ユークリッド空間の同じ形状を持つ部分集合の 同値類として与えられる。

数学者で統計学者のデイビッド・ジョージ・ケンドールは次のように書いている: [ 2 ]

この論文では、「形状」は一般的な意味で使用されており、通常予想される意味を意味します。[...] ここでは、「形状」を「位置、スケール[ 3 ]、回転の影響をオブジェクトから除去した後に残るすべての幾何学的情報」と非公式に定義します。

物理的物体の形状は、それらの物体が占める空間のサブセットが上記の定義を満たす場合、等しいとみなされます。特に、形状は物体のサイズや空間における配置に依存しません。例えば、「d」と「p」は同じ形状です。「d」を所定​​の距離だけ右に移動し、上下を反転させ、所定の倍率で拡大すれば、完全に重ね合わせることができるからです（詳細は「プロクルステスの重ね合わせ」を参照）。しかし、鏡像は異なる形状と呼ぶことができます。例えば、「b」と「p」は、少なくともそれらが書かれているページのような2次元空間内での移動に制限されている場合は、異なる形状になります。たとえ同じサイズであっても、ページに沿って移動したり回転させたりしても、完全に重ね合わせることはできません。同様に、3次元空間では、右手と左手は互いの鏡像であっても、異なる形状になります。物体が不均一に拡大縮小されると、形状が変化することがあります。例えば、球体は縦方向と横方向で異なるスケールにすると楕円体になります。言い換えれば、対称軸（もし存在するなら）を維持することは、形状を保つ上で重要です。また、形状はオブジェクトの外側の境界によってのみ決定されます。

合同と相似

剛体変換と鏡映変換（拡大縮小は不可）によって互いに変形できるオブジェクトは、合同です。したがって、オブジェクトは鏡像とは合同ですが（対称でなくても）、拡大縮小版とは合同ではありません。合同な2つのオブジェクトは常に同じ形状または鏡像の形状を持ち、同じサイズになります。

同じ形状または鏡像形状を持つ物体は、大きさが同じかどうかに関わらず、幾何学的に相似であると呼ばれます。したがって、剛体変換、鏡映変換、均一な拡大縮小によって互いに変形できる物体は相似です。相似性は、物体の一方を均一に拡大縮小した場合に維持されますが、合同性は維持されません。したがって、合同な物体は常に幾何学的に相似ですが、相似な物体であっても、大きさが異なる場合があるため、必ずしも合同であるとは限りません。

同相写像

より柔軟な形状の定義では、さまざまな姿勢の人物、風で曲がる木、さまざまな指の位置にある手など、現実的な形状は変形可能であることが多いという事実を考慮に入れます。

非剛体運動をモデル化する一つの方法は、同相写像です。大まかに言えば、同相写像とは、物体を連続的に伸ばしたり曲げたりして新しい形状にすることです。例えば、正方形と円は互いに同相ですが、球とドーナツは同相ではありません。よく聞かれる数学的なジョークに、位相幾何学者はコーヒーカップとドーナツの区別がつかないというものがあります[ 4 ]。なぜなら、十分に柔軟なドーナツであれば、くぼみを作って徐々に大きくすることでコーヒーカップの形に変形できる一方で、カップの取っ手のドーナツの穴はそのまま残せるからです。

記述された図形には、外見上も見える線があり、それが図形を構成しています。座標グラフに座標を入力する場合、図形が見える場所を示す線を引くことができますが、座標をグラフに入力しても必ずしも図形を描けるとは限りません。この図形には輪郭と境界線があり、目で見て確認できるものであり、普通の紙の上の単なる点ではありません。

形状分析

上述の剛体形状と非剛体形状の数学的定義は、統計的形状解析の分野で生まれたものです。特に、プロクラステス解析は、類似した物体（例えば、異なる動物の骨）の形状を比較したり、変形可能な物体の変形を測定したりするために使用される手法です。他の手法は、非剛体（曲げ可能な）物体を対象としており、例えば姿勢に依存しない形状検索などに用いられます（例えば、スペクトル形状解析を参照）。

類似度クラス

相似な三角形はすべて同じ形をしています。これらの形は、 JA Lester [ 5 ]とRafael Artzyが提唱した方法で、頂点に複素数u、v、wを使用して分類できます。たとえば、正三角形は、頂点を表す 複素数 0、1、(1 + i√3)/2で表すことができます。Lester と Artzy はこの比を三角形( u、v、w )の 形状と呼びます。すると、正三角形の形状は 次のようになります。複素平面の任意のアフィン変換 に対して、   三角形は変換されますが、形状は変化しません。したがって、形状はアフィン幾何学の不変量です。形状p = S( u、v、w )は関数 S の引数の順序に依存しますが、順列によって関連する値が得られます。たとえば、 次のようになります。また、 これらの順列を組み合わせると、次のようになります。さらに、 これらの関係は三角形の形状の「変換規則」です。 S（あなた、v、わ）＝あなた−わあなた−v{\displaystyle S(u,v,w)={\frac {uw}{uv}}}0−1+私320−1＝1+私32＝コス⁡（60∘）+私罪⁡（60∘）＝e私π/3。{\displaystyle {\frac {0-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}}{0-1}}={\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}=\cos(60^{\circ })+i\sin(60^{\circ })=e^{i\pi /3}.}z↦1つのz+b、1つの≠0、{\displaystyle z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,}1−p＝1−あなた−わあなた−v＝わ−vあなた−v＝v−わv−あなた＝S（v、あなた、わ）。{\displaystyle 1-p=1-{\frac {uw}{uv}}={\frac {wv}{uv}}={\frac {vw}{vu}}=S(v,u,w).}p−1＝S（あなた、わ、v）。{\displaystyle p^{-1}=S(u,w,v).}S（v、わ、あなた）＝（1−p）−1。{\displaystyle S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.}p（1−p）−1＝S（あなた、v、わ）S（v、わ、あなた）＝あなた−わv−わ＝S（わ、v、あなた）。{\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)={\frac {uw}{vw}}=S(w,v,u).}

四辺形の形状は、2つの複素数p、qに関連付けられています。四辺形の頂点がu、v、w、xである場合、p = S( u、v、w )かつq = S( v、w、x )となります。Artzyは四辺形に関する以下の命題を証明しています。

  1. すると四辺形は平行四辺形になります。p＝（1−q）−1、{\displaystyle p=(1-q)^{-1},}
  2. 平行四辺形が| arg p | = | arg q |である場合、それは菱形です。
  3. p = 1 + iかつq = (1 + i)/2のとき、四辺形は正方形になります。
  4. かつsgn r = sgn(Im p )の場合、四辺形は台形になります。p＝r（1−q−1）{\displaystyle p=r(1-q^{-1})}

多角形はn − 2個の複素数で定義される形状を持ち、その形状要素の虚数成分がすべて同じ符号のとき、その多角形は凸集合を囲みます。 [ 6 ]（z1、z2、。。。zn）{\displaystyle (z_{1},z_{2},...z_{n})}S（zj、zj+1、zj+2）、 j＝1、。。。、n−2.{\displaystyle S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,...,n-2.}

人間の形状認識

人間の視覚は、広範囲にわたる形状表現に依存しています。[ 7 ] [ 8 ]心理学者の中には、人間は精神的に画像をジオンと呼ばれる単純な幾何学的形状（円錐や球など）に分解すると理論づけた人もいます。[ 9 ]一方、形状は、その分節性、コンパクトさ、とがり具合など、形状が変化する傾向にあることを説明する特徴または次元に分解されると示唆する人もいます。[ 10 ] ただし、形状の類似性を比較する場合、自然な形状の変化を説明するには、少なくとも22の独立した次元が必要です。[ 7 ]

実験的研究によると、物体の輪郭は、鋭角であろうと曲線であろうと、その物体に対する人々の態度に決定的な影響を与えることが示唆されている。[ 11 ]包装に印刷されたデザインに関する研究では、消費者は「丸みを帯びた形状を好む」ことが報告されており、これはラベル付き製品の全体的な評価を変える可能性がある。[ 12 ]他の研究でも同様に、ロゴや包装が属性の判断を変える可能性があることが示されている（例えば、円形は「柔らかさ」、角張った形は「硬さ」といった印象を与える）。[ 13 ]

形が人間の注意を誘導するという明確な証拠もあります。[ 14 ]

参照

参考文献

  1. ^ a b Kendall, DG (1984). 「形状多様体、プロクルステス計量、複素射影空間」.ロンドン数学会報. 16 (2): 81– 121. doi : 10.1112/blms/16.2.81 .
  2. ^ Kendall, DG (1984). 「形状多様体、プロクルステス計量、複素射影空間」(PDF) .ロンドン数学会報. 16 (2): 81– 121. doi : 10.1112/blms/16.2.81 .
  3. ^ここで、スケールとは均一なスケーリングのみを意味します。均一でないスケーリングではオブジェクトの形状が変わってしまうためです (たとえば、正方形が長方形になってしまいます)。
  4. ^ハバード, ジョン・H.; ウェスト, ビバリー・H. (1995).微分方程式：動的システムアプローチ 第2部：高次元システム. 応用数学テキスト 第18巻. シュプリンガー. p. 204. ISBN 978-0-387-94377-0。
  5. ^ JA Lester (1996) 「Triangles I: Shapes」、 Aequationes Mathematicae 52:30–54
  6. ^ラファエル・アルツィ(1994)「多角形の形状」、 Journal of Geometry 50(1–2):11–15
  7. ^ a b Morgenstern, Yaniv; Hartmann, Frieder; Schmidt, Filipp; Tiedemann, Henning; Prokott, Eugen; Maiello, Guido; Fleming, Roland (2021). 「画像計算可能な視覚形状類似性モデル」 . PLOS Computational Biology . 17 (6): 34. doi : 10.1371/journal.pcbi.1008981 . PMC 8195351. PMID 34061825 .  
  8. ^ Andreopoulos, Alexander; Tsotsos, John K. (2013). 「物体認識の50年：今後の方向性」.コンピュータビジョンと画像理解. 117 (8): 827– 891. Bibcode : 2013CVIU..117..827A . doi : 10.1016/j.cviu.2013.04.005 .
  9. ^ Marr, D., & Nishihara, H. (1978). 三次元形状の空間的構成の表現と認識. Proceedings of the Royal Society of London, 200, 269–294.
  10. ^ Huang, Liqiang (2020). 「前注意的形状特徴空間」 . Journal of Vision . 20 (4): 10. doi : 10.1167/jov.20.4.10 . PMC 7405702. PMID 32315405 .  
  11. ^ Bar, Moshe; Neta, Maital (2006). 「人間は曲線状の視覚的対象を好む」. Psychological Science . 17 (8): 645– 648. doi : 10.1111/j.1467-9280.2006.01759.x . PMID 16913943.視覚的対象がどのような輪郭を持つか（鋭角か曲線か）は、人々がその対象に対して抱く態度に決定的な影響を与える。 
  12. ^ Westerman, Stephen J.; Sutherland, Elaine J.; Gardner, Paul H. (2013). 「消費者向けパッケージのデザイン：形状、向き、グラフィックの配置の操作が消費者の評価に及ぼす影響」. Food Quality and Preference . 27 (1): 8– 17. doi : 10.1016/j.foodqual.2012.05.007 .参加者の評価は、丸みを帯びた形状を好むことを示唆した…
  13. ^ Jiang, Yuwei; Gorn, Gerald J.; Galli, Maria; Chattopadhyay, Amitava (2016). 「あなたの会社のロゴは正しいですか？円形と角形のロゴ形状がブランド属性判断にどのように、そしてなぜ影響を与えるか」. Journal of Consumer Research . 42 (5): 709– 726. doi : 10.1093/jcr/ucv049 .円形ロゴと角形ロゴは、それぞれ「柔らかさ」と「硬さ」の連想を喚起する
  14. ^ Alexander, RG; Schmidt, J.; Zelinsky, GZ (2014). 「要約統計量は十分か？視覚探索を導く上での形状の重要性を示す証拠」 . Visual Cognition . 22 ( 3–4 ): 595– 609. doi : 10.1080/13506285.2014.890989 . PMC 4500174. PMID 26180505 .  
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