地球物理調査

地球物理調査とは、空間研究のための地球物理学的データの体系的な収集です。地球物理信号の検出と解析は、地球物理信号処理の中核を成します。地球内部から発生する磁場と重力場は、地震活動や内部構造に関する重要な情報を保持しています。したがって、電場と磁場の検出と解析は非常に重要です。電磁波と重力波は多次元信号であるため、あらゆる1次元変換技術をこれらの信号の解析にも拡張できます。したがって、本稿では多次元信号処理技術についても説明します。

地球物理調査には、地球表面の上または下から、あるいは航空機、衛星、船舶などのプラットフォームから収集されたデータを使用する、幅広いセンサー機器が用いられます。地球物理調査は、地質学、考古学、鉱物・エネルギー探査、海洋学、工学など、幅広い分野で応用されています。地球物理調査は、学術研究だけでなく、産業界でも利用されています。

重力計、重力波センサー、磁力計などのセンシング機器は、重力場と磁場の変動を検出します。地球物理調査で収集されたデータは分析され、そこから有意義な結論が導き出されます。信号のスペクトル密度と時間周波数の局在を分析することは、石油探査や地震計などの用途において重要です。

物理探査の種類

物理探査には様々な方法と種類の機器が用いられる。物理探査に用いられる技術には以下のものがある：^{[ 1 ]}

1. 反射法地震学、屈折法地震学、地震トモグラフィーといった地震学的手法。この種の調査は、地球の地表下にある岩石層の詳細な構造を明らかにするために行われます。
2. 地震電気法
3. 測地学と重力測定技術（重力測定法と重力勾配測定法を含む）。この種の調査は、地球表面下の岩石層の構造を明らかにするために行われます。
4. 航空磁気調査や磁力計などの磁気技術。
5. 電気抵抗トモグラフィー、誘導分極、自発電位、海洋制御源電磁波（mCSEM）またはEM海底検層などの電気的手法。 ^{[ 2 ]}このタイプの調査は主に地下水の存在を調べるために行われます。
6. 電磁気学的手法、例えばマグネトテルリックス、地中レーダー、過渡/時間領域電磁気学、地表核磁気共鳴（磁気共鳴探査とも呼ばれる）など。^{[ 3 ]}
7. ボーリング孔地球物理学、坑井検層とも呼ばれます。
8. ハイパースペクトルを含むリモートセンシング技術。

地球物理学的信号検出

このセクションでは、地球物理波の測定原理について説明します。磁場と重力場は、地球物理信号の重要な構成要素です。

重力場の変化を測定するために使用される機器は重力計です。この計器は、地下の地層や堆積物による重力の変化を測定します。磁場の変化を測定するには磁力計が使用されます。磁力計には2種類あり、1つは磁場の垂直成分のみを測定し、もう1つは磁場全体を測定しま す。

これらのメーターを用いて、様々な地点における重力値、または地球の磁場の値を測定します。その後、これらの測定値は様々な補正値で補正され、異常マップが作成されます。これらの異常マップを分析することで、その地域の岩石層の構造について理解を深めることができます。そのためには、様々なアナログまたはデジタルフィルターを使用する必要があります。

地球の磁場の測定

磁力計は、地球の磁場や磁気異常を測定するために使用されます。磁力計の感度は、要求される条件によって異なります。例えば、地磁気の変動は数aT（1aT = 10 ^{−18 T）のオーダーに達することがあります。このような場合、}超伝導量子干渉素子（SQUID）などの特殊な磁力計が使用されます。

ジム・ジマーマンはフォード研究所在職中に、高周波超伝導量子干渉素子（SQUID）の共同開発者となった。^{[ 4 ]}しかし、SQUIDの発明につながった出来事は、実のところ偶然の産物であった。ジョン・ラム^{[ 4 ]}は、核磁気共鳴に関する実験中に、インジウムの電気的特性が数nTオーダーの磁場変化によって変化することに気づいた。しかし、ラムはSQUIDの有用性を完全には認識していなかった。

SQUIDは極めて低い磁場を検出する能力を有しています。これはジョセフソン接合の効用によるものです。ジム・ジマーマンは、ジョセフソン接合の作製に新たな手法を提案することで、SQUID開発の先駆者となりました。彼はニオブ線とニオブリボンを用いて、並列に接続された2つのジョセフソン接合を形成しました。リボンは、線を流れる超伝導電流を遮断する役割を果たします。この接合は磁場に対して非常に敏感であるため、10 ^{^-18T}程度 の磁場の測定に非常に有用です。

重力波センサーを用いた地震波測定

重力波センサーは、より重い天体の影響による重力場の微小な変化さえも検出することができます。大きな地震波は重力波に干渉し、原子の変位を引き起こす可能性があります。したがって、地震波の振幅は重力波の相対的な変位によって検出することができます。^{[ 5 ]}

原子干渉計を用いた地震波の測定

あらゆる質量の運動は重力場の影響を受けます。^{[ 6 ]}惑星の運動は太陽の巨大な重力場の影響を受けます。同様に、重い物体は、その近くにあるより質量の小さい他の物体の運動に影響を与えます。しかし、この運動の変化は天体の運動と比較すると非常に小さいです。そのため、このような微小な変化を測定するには特別な機器が必要です。

原子干渉計の原理を説明する

原子干渉計は回折の原理に基づいて動作します。回折格子は、光の4分の1波長の間隔を持つナノ構造の材料です。原子ビームが回折格子を通過すると、原子本来の波動性により、原子は分裂し、スクリーン上に干渉縞を形成します。原子干渉計は原子の位置の変化に非常に敏感です。重い物体が近くの原子の位置を変えると、干渉縞のずれを検出することで原子の変位を測定することができます。

地球物理学的信号認識における既存のアプローチ

このセクションでは、信号認識と信号解析の背後にある手法と数学的手法について解説します。信号の時間領域解析と周波数領域解析について考察します。また、様々な変換と、多次元波の解析におけるそれらの有用性についても説明します。

3Dサンプリング

サンプリング

あらゆる信号処理アプローチの最初のステップは、アナログからデジタルへの変換です。アナログ領域の地球物理学的信号は、更なる処理のためにデジタル領域に変換する必要があります。ほとんどのフィルターは、1Dと2Dの両方で利用可能です。

アナログからデジタルへの変換

名前が示すように、アナログ領域の重力波と電磁波を検出、サンプリングし、保存して、さらに分析を行います。信号は時間領域と周波数領域の両方でサンプリングできます。信号成分は時間と空間の両方の間隔で測定されます。例えば、時間領域サンプリングとは、信号成分を複数の時間的瞬間で測定することを指します。同様に、空間サンプリングとは、信号を空間内の異なる場所で測定することを指します。

1次元の時間変動信号の従来のサンプリングは、対象信号の振幅を離散的な時間間隔で測定することによって行われます。同様に、時空間信号（3次元空間と時間の4変数の関数である信号）のサンプリングは、異なる時刻および空間内の異なる位置における信号の振幅を測定することによって行われます。例えば、地球の重力データは、重力波センサーまたはグラジオメーター^{[ 7 ]}を異なる時刻に異なる場所に設置することで測定されます。

スペクトル分析

多次元フーリエ変換

時間領域信号のフーリエ展開とは、信号をその周波数成分の和、具体的には正弦と余弦の和として表現することです。ジョセフ・フーリエは、物体の熱分布を推定するためにフーリエ表現を考案しました。重力波や電磁波などの多次元信号の解析にも同じアプローチを適用できます。

このような信号の4次元フーリエ表現は次のように表される。

${\displaystyle S(K,\omega )=\iint s(x,t)e^{-j(\omega tk'x)}\,dx\,dt}$

• ωは時間周波数を表し、k は空間周波数を表します。
• s ( x , t ) は4次元の時空信号であり、進行する平面波として考えることができる。このような平面波の場合、伝播面は対象とする波の伝播方向に垂直である。^{[ 8 ]}

ウェーブレット変換

ウェーブレット変換の開発の動機は、短時間フーリエ変換でした。解析対象となる信号（例えばf ( t )）は、特定の時刻において窓関数w ( t )と乗算されます。この信号のフーリエ係数を解析することで、特定の時刻における信号の周波数成分に関する情報が得られます。^{[ 9 ]}

STFT は数学的には次のように表されます。

${\displaystyle \{x(t)\}(\tau,\omega)\equiv X(\tau,\omega)=\int _{-\infty}^{\infty}x(t)w(t-\tau)e^{-j\omega t}\,dt}$

ウェーブレット変換は次のように定義される。

${\displaystyle X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int \limits _{\ }\Psi ({\frac {tb}{a}})x(t)dt}$

解析には様々なウィンドウ関数を用いることができる。ウェーブレット関数は時間と周波数の両方の局在化に用いられる。例えば、フーリエ係数の計算に用いられるウィンドウの一つに、時間と周波数に最適に集中したガウスウィンドウがある。この最適な性質は、時間スケーリングと時間シフトパラメータaと bをそれぞれ考慮することで説明できる。aとbの適切な値を選択することで、その信号に関連する周波数と時間を決定することができる。任意の信号をウェーブレット関数の線形結合として表すことで、時間領域と周波数領域の両方で信号を局在化することができる。したがって、ウェーブレット変換は、空間的および時間的な周波数の局在化が重要な地球物理学的応用において重要である。^{[ 10 ]}

ウェーブレットを用いた時間周波数の局在

地球物理学的信号は、空間と時間の関数として連続的に変化します。ウェーブレット変換技術は、信号を基底関数のシフトおよびスケールの線形結合として分解する方法を提供します。「シフト」と「スケール」の量を調整することで、信号を時間と周波数において局所化することができます。

ビームフォーミング

簡単に言えば、時空間信号フィルタリング問題^{[ 11 ]}は、特定の信号の速度と方向を局所化する問題と考えることができます。^{[ 12 ]}時空間信号用のフィルタ設計は、1次元信号の場合と同様のアプローチに従います。1次元信号用のフィルタは、フィルタの要件が特定の非ゼロ周波数範囲の周波数成分を抽出することである場合、適切な通過帯域と阻止帯域周波数を持つバンドパスフィルタが決定されるように設計されます。同様に、多次元システムの場合、フィルタの波数-周波数応答は、設計された領域 ( k , ω )、つまり波数-周波数で1になり、それ以外の場所では0になるように設計されます。^{[ 12 ]}

地球物理学的信号をフィルタリングするためのフェーズドアレイの空間分布

このアプローチは、時空間信号のフィルタリングに適用される。^{[ 12 ]}これは、特定の方向に伝搬する信号を分離する設計となっている。最も単純なフィルタの一つは、重み付け遅延和ビームフォーマーである。出力は、遅延信号の線形結合の平均である。言い換えれば、ビームフォーマーの出力は、受信信号の重み付けおよび遅延バージョンを平均化することによって形成される。遅延は、ビームフォーマーの通過帯域が空間内の特定の方向に向けられるように選択される。^{[ 12 ]}

古典的な推定理論

この節では、多次元信号のパワースペクトル密度の推定について述べる。スペクトル密度関数は、ランダム信号の自己相関関数の多次元フーリエ変換として定義できる。^{[ 13 ]}

${\displaystyle P\left(K_{x},w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\ e^{-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt}$

${\displaystyle \varphi _{ss}\left(x,t\right)=s\left[\left(\xi ,\tau \right)s*\left(\xi -x,\tau -t\right)\right]}$

スペクトル推定値は、フーリエ変換（ピリオドグラムとも呼ばれる）の振幅の2乗を求めることで得られます。ピリオドグラムから得られるスペクトル推定値は、連続するピリオドグラムサンプル間、または波数間で振幅が大きく変動します。この問題は、古典的推定理論を構成する手法を用いて解決されます。これらの手法は以下のとおりです。

1.バートレットは、スペクトル推定値を平均化してパワースペクトルを計算する方法を提案した。時間間隔にわたるスペクトル推定値を平均化することで、より良い推定値が得られる。^{[ 14 ]}

${\displaystyle P_{B}\left(w\right)={\frac {1}{\mathrm {det} \,N}}\sum _{l}|\sum _{n}\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ バートレット事件^{[ 13 ]}

2. ウェルチの方法は、データウィンドウ関数を用いて測定値を分割し、ピリオドグラムを計算し、それらを平均してスペクトル推定値を得、高速フーリエ変換を用いてパワースペクトルを計算することを提案した。これにより計算速度が向上した。^{[ 15 ]}

${\displaystyle P_{W}\left(w\right)={\frac {1}{\mathrm {det} \,N}}\sum _{l}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ ウェルチ事件^{[ 13 ]}

4. 検討中のピリオドグラムは、窓関数を乗じることで修正できます。平滑化窓は推定値を滑らかにするのに役立ちます。平滑化スペクトルのメインローブが広いほど、周波数分解能は低下しますが、より滑らかになります。^{[ 13 ]}

${\displaystyle P_{M}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ 修正ピリオドグラム^{[ 13 ]}

スペクトル推定の詳細については、「多次元信号のスペクトル解析」を参照してください。

アプリケーション

地下物体の位置の推定

ここで説明する方法は、対象となる地下物体の質量分布が既にわかっていることを前提としているため、その位置を推定する問題は、パラメトリックな位置特定に帰着します。質量の中心 (CM ₁、CM ₂ ...CM _n ) を持つ地下物体が地表下の位置 p ₁、p ₂ ...p _nにあるとします。重力勾配 (重力場の成分) は、重力勾配計とも呼ばれる加速度計付きの回転ホイールを使用して測定されます。^{[ 7 ]}この計器は、重力場のそれぞれの成分を測定するために、さまざまな方向に配置されます。重力勾配テンソルの値が計算され、分析されます。分析には、検討中の各物体の寄与の観測が含まれます。最大尤度手順に従い、Cramér–Rao 境界(CRB) を計算して位置推定の品質を評価します。

地震計アプリケーションのためのアレイ処理

地球表面に等間隔に設置された様々なセンサーが地震波を受信します。地震波は地球の様々な層を通過し、振幅の変化、到達時間、位相のずれといった特性の変化を受けます。これらの信号特性を分析することで、地球内部の活動をモデル化することができます。

3Dデータの可視化

ボリュームレンダリング法は、スカラー場を解析するための重要なツールです。ボリュームレンダリングは3次元空間の表現を簡素化します。3次元空間内の各点はボクセルと呼ばれます。3次元データセット内のデータは、様々な手法を用いて2次元空間（表示画面）に投影されます。MRIや地震探査など、様々なアプリケーション向けに、異なるデータ符号化方式が存在します。

参考文献

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