ゴールディの定理

数学において、ゴールディの定理は環論における基本的な構造的帰結であり、1950年代にアルフレッド・ゴールディによって証明されました。現在、右ゴールディ環と呼ばれるものは、有限一様次元（ 「有限階数」）を自身の右加群として持ち、Rの部分集合の右消滅子に関する昇順連鎖条件を満たす環Rです。

ゴールディの定理は、半素右ゴールディ環は、まさに半単純アルティン右古典商環を持つものであることを述べています。この商環の構造は、アルティン・ウェダーバーン定理によって完全に決定されます。

特に、ゴールディの定理は半素右ノイザン環に適用される。なぜなら、定義により右ノイザン環はすべての右イデアルに対して昇順連鎖条件を満たすからである。これは、右ノイザン環が右ゴールディであることを保証するのに十分である。逆は成立しない。すべての右オーレ整域は右ゴールディ整域であり、したがってすべての可換整域も右ゴールディ整域である。

ゴールディの定理の帰結として、これもまたゴールディによるものであるが、任意の半素主右イデアル環は素主右イデアル環の有限直和に同型である。任意の素主右イデアル環は、右オーレ整域上の行列環に同型である。

証明のスケッチ

これは序文で述べた人物描写の概略であり、（Lam 1999、p.324）に掲載されている。

• Rが半素右ゴールディ環である 場合、それは半単純環の右順序である:
  • Rの本質的右イデアルは、まさに正則元を含むイデアルです。
  • Rにはゼロ以外のnil イデアルは存在しません。
  • Rは右非特異環である。^{[ 1 ]}
  • これまでの観察から、Rは右Ore 環であり、したがってその商の右古典環Q ^rが存在する。また、これまでの観察から、Q ^rは半単純環である。したがって、RはQ ^rの右順序である。
• R が半単純環Qの右順序である場合、それは半素右である。Goldie:
  • ネーター環 ( Qなど) の任意の右順序は右ゴールディです。
  • ノイザン半素環 ( Qなど) 内の任意の正しい順序は、それ自体が半素です。
  • したがって、Rは半素右 Goldie です。

参考文献

1. これは、MewbornとWintonの定理から導き出せる。すなわち、環が右消滅子の最大条件を満たす場合、右特異イデアルは冪零であるというものである。( Lam 1999、p.252)

• Coutinho, SC; McConnell, JC (2003). 「（非可換ノイザン環の）商環の探求」アメリカ数学月刊誌. 110 (4): 298– 313. CiteSeerX  10.1.1.296.8947 . doi : 10.2307/3647879 . JSTOR  3647879 .
• Goldie, AW (1958). 「上昇連鎖条件下での素環の構造」. Proc. London Math. Soc . 8 (4): 589–608 . doi : 10.1112/plms/s3-8.4.589 .
• Goldie, AW (1960). 「最大条件を満たす半素環」. Proc. London Math. Soc . 10 : 201–220 . doi : 10.1112/plms/s3-10.1.201 .
• ハースタイン、インディアナ州(1969).環論の話題. シカゴ数学講義. シカゴ大学. イリノイ州シカゴ. 出版物. pp.  61–86 . ISBN 978-0-226-32802-7。
• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294

外部リンク

• PlanetMathのGoldie の定理。
• PlanetMathのGoldie Ring。