ミニマックス反転

幾何学において、ミニマックス反転は、中間モデルを使用して構築される球反転の一種です。

これは変分法であり、特殊なホモトピー（ウィルモアエネルギーに関する最短経路）で構成されます。一般的なサーストンのコルゲーションとは対照的です。

中間モデルの元の方法は最適ではありませんでした。通常のホモトピーは中間モデルを通過しましたが、球体から中間モデルへのパスは手動で構築されており、勾配上昇/下降ではありませんでした。

中間モデルによる外反は、フランシスとモーリンによってタバコ嚢外反と呼ばれています。^{[ 1 ]}

中間モデル

中間モデルとは、球面を に浸漬したものであり、球面反転の中間点となることからこう呼ばれる。このクラスの反転は時間対称性を持つ。すなわち、正規ホモトピーの前半は標準的な球面から中間モデルへと進み、後半（中間モデルから裏返しの球面へ）は同じ過程を逆にたどる。 ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

説明

ミニマックス球反転。動画の内容の説明については、動画のウィキメディアコモンズページをご覧ください。

ロブ・クスナーは、球面のすべての浸漬空間におけるウィルモアエネルギーを用いた最適反転を​​提案した。球面と裏返しの球面はウィルモアエネルギーの唯一の大域的最小値であり、ミニマックス反転は鞍点を通過することでこれらを結ぶ経路である（峠を通って2つの谷間を移動するように）。^{[ 2 ]}${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

クスナーの中間モデルはウィルモアエネルギーの鞍点であり、ブライアントの定理によれば、3次元空間における特定の完全極小曲面から生じる。ミニマックス反転は、球面から中間モデルへの勾配上昇と、そこから下方への勾配下降によって構成される（ウィルモアエネルギーの勾配下降はウィルモアフローと呼ばれる）。より対称的に、中間モデルから開始し、一方向に押してウィルモアフローを辿って球面まで下降し、反対方向に押してウィルモアフローを辿って裏返しの球面まで下降する。

中間モデルには 2 つのファミリーがあります (この観察は Francis と Morin によるものです)。

• 奇数次:ボーイ曲面の一般化: 3 倍、5 倍など、対称性。中間モデルは二重被覆射影平面(一般に 2-1 浸漬球) です。
• 偶数次：モラン面の一般化：2回対称、4回対称など。中間モデルは一般に1-1の球面であり、対称性の半分をひねると球面のシートが入れ替わる。

歴史

最初の明示的な球面反転は、1960年代初頭にシャピロとフィリップスによって行われ、ボーイ曲面を中間モデルとして用いました。後にモーリンはモーリン曲面を発見し、それを用いて他の球面反転を構築しました。クスナーは1980年代初頭にミニマックス反転を考案しました。歴史的詳細。

参考文献

1. J. スコット・カーター (2012).図式代数の旅：球を赤から青に変える. World Scientific. pp. 17–. ISBN 978-981-4374-50-7。
2. ミシェル・エマー (2005). 『The Visual Mind II』 MIT Press. pp.  485– . ISBN 978-0-262-05076-0。

• エネルギーの曲げとミニマックス反転（ジョン・M・サリバン著『The Optiverse』とその他の球面反転）