少年の表面

少年の表面のアニメーション

幾何学において、ボーイ面とは、実射影平面を三次元空間に浸漬させたものである。これは1901年、ドイツの数学者ヴェルナー・ボーイによって発見された。ボーイは、博士論文指導教官のダヴィッド・ヒルベルトから、射影平面を三次元空間に浸漬させることはできないことを証明するよう課題を与えられた。

ボーイズ曲面は1978年にバーナード・モランによって初めて明示的にパラメータ化されました。 ^{[ 1 ]}別のパラメータ化はロブ・クスナーとロバート・ブライアントによって発見されました。^{[ 2 ]}ボーイズ曲面は、実射影平面の2つの可能な浸漬のうちの1つであり、1つの三重点のみを持ちます。^{[ 3 ]}

ローマン曲面やクロスキャップとは異なり、自己交差以外の特異点はありません（つまり、ピンチポイントはありません）。

パラメータ化

ボーイ面のクスナー・ブライアントパラメータ化の図

ボーイ曲面はいくつかの方法で媒介変数表示できる。ロブ・クスナーとロバート・ブライアント[ ^{4 ]によって発見された媒介変数表示の}一つは次のようなものである。大きさが1以下の複素数w（）が与えられたとき、 ${\displaystyle \|w\|\leq 1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Im} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\operatorname {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}$$

そして設定する $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}}$$

次に、 ボーイの表面上の点の 直交座標x、y、zを取得します。

この媒介変数化を三重点を中心として反転させると、3つの端を持つ完全な極小曲面が得られます（この媒介変数化はこのように自然に発見されました）。これは、ボーイ曲面のブライアント・クスナー媒介変数化が、射影平面を三次元空間に「最も曲がっていない」浸漬という意味で「最適」であることを意味します。

ブライアント・クスナー媒介変数化の性質

w をその複素共役の負の逆数に置き換えた場合、wの関数g ₁、g ₂、およびg ₃は変更されません。 ${\textstyle -{1 \over w^{\star }},}$

w をその実部と虚部w = s + itに置き換え、得られたパラメータ化を展開することで、 sとtの有理関数によるボーイ曲面のパラメータ化を得ることができます。これは、ボーイ曲面が代数曲面であるだけでなく、有理曲面でもあることを示しています。前の段落の記述は、このパラメータ化の一般的なファイバーが2つの点から構成されていることを示しています（つまり、ボーイ曲面のほぼすべての点は、2つのパラメータ値によって得られるということです）。

実射影平面との関係

をボーイ曲面のブライアント・クスナー媒介変数化とする。 すると${\displaystyle P(w)=(x(w),y(w),z(w))}$ $${\displaystyle P(w)=P\left(-{1 \over w^{\star }}\right).}$$

これは、パラメータ の条件を説明しています。の場合、 となります。ただし、 の場合、状況は少し複雑になります。 この場合、 となります。これは、ボーイ曲面の点が 2 つのパラメータ値から得られる場合、次のことを意味します。言い換えれば、ボーイ曲面は、円板の周囲にある正反対の点のペアが等価となるように、円板によってパラメータ化されています。 これは、ボーイ曲面が、滑らかな写像による実射影平面RP ²の像であることを示しています。 つまり、ボーイ曲面のパラメータ化は、実射影平面をユークリッド空間に浸すことです。 ${\displaystyle \left\|w\right\|\leq 1}$ ${\displaystyle \left\|w\right\|<1,}$ ${\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}$ ${\displaystyle \left\|w\right\|=1.}$ ${\textstyle -{1 \over w^{\star }}=-w.}$ ${\displaystyle \left\|w\right\|=1,}$ ${\displaystyle P(w)=P(-w).}$

対称性

少年の表面のSTL 3Dモデル

ボーイズ曲面は3回対称性を持つ。これは、ボーイズ曲面が離散的な回転対称軸を持つことを意味する。この軸を中心に120°回転させても、曲面は全く同じ形状を保つ。ボーイズ曲面は互いに合同な3つの部分に分割できる。

アプリケーション

ボーイの曲面は、球面反転において中間モデルとして用いることができる。中間モデルとは、回転によって球面の内側と外側が入れ替わる性質を持つ球面の浸漬であり、球面を反転（裏返し）するために用いることができる。ボーイの曲面（p = 3の場合）とモーリンの曲面（p = 2の場合）は、ジョージ・フランシスによって初めて提案された、偶数2pでインデックス付けされた、より高い対称性を持つ中間モデルの系列の始まりである（pが奇数の場合、これらの浸漬は射影平面を通して因数分解できる）。クズナーの媒介変数化により、これらすべてが得られる。

モデル

オーバーヴォルフアッハ数学研究所の少年面の模型

オーバーヴォルフアッハのモデル

オーバーヴォルフアッハ数学研究所の入口の外には、1991年1月にメルセデス・ベンツ社が製作、寄贈したボーイズ面の大型模型がある。この模型は3回回転対称で、面のウィルモアエネルギーを最小化する。ロバート・ブライアントとロブ・クスナーによるパラメータ化に基づく極座標グリッドのイメージを表す鋼帯で構成されている。子午線（光線）は通常のメビウスの帯、つまり180度ねじれたものになる。緯度の円（原点の周りの放射状の円）に対応する帯は1つを除いてねじれていないが、単位円の境界に対応する帯は、研究所の紋章と同様に、3回180度ねじれたメビウスの帯となっている（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011）。

クリフォード・ストールのために作られたモデル

ガラス吹き職人のルーカス・クラークは、アダム・サヴェージの協力を得てガラス模型を製作し、クリフォード・ストールに贈呈した。この模型はアダム・サヴェージのYouTubeチャンネル「Tested 」で紹介され、 3人全員が動画に登場して議論を交わした。^{[ 5 ]}

参考文献

引用

1. バーナード・モーリン (1978 年 11 月 13 日)。"Équations du retournement de la sphere" [球の外転の方程式] (PDF)。科学アカデミーのコンテス。セリエA（フランス語）。287 : 879 – 882.
2. Kusner, Rob (1987). 「共形幾何学と完全極小面」(PDF) .アメリカ数学会報. 新シリーズ. 17 (2): 291– 295. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15564-9 .。
3. グッドマン、スー、マレク・コソウスキー (2009). 「一つの三重点を持つ射影平面の浸漬」 .微分幾何学とその応用. 27 (4): 527– 542. doi : 10.1016/j.difgeo.2009.01.011 . ISSN 0926-2245 . 
4. レイモンド・オニール・ウェルズ (1988). 「共形幾何学における曲面 (ロバート・ブライアント)」.ヘルマン・ワイルの数学的遺産 (1987年5月12日～16日、デューク大学、ノースカロライナ州ダーラム) . Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 48. American Mathematical Soc. pp.  227– 240. doi : 10.1090/pspum/048/974338 . ISBN 978-0-8218-1482-6。
5. サベージ、アダム (2023年6月21日). 「この物体は作れないはずだった」 . YouTube . 2023年6月22日閲覧。

出典

• カービー、ロブ（2007年11月）「ボーイズサーフェスとは何か？」（PDF）、AMSの通知、54（10）：1306–1307これは、Boy 曲面の区分線形モデルを記述します。
  • キャッセルマン、ビル（2007年11月）「折りたたまれた少年の傘」（PDF）、AMSの通知、54（10）：1356Rob Kirby の記事に付随する表紙イラストに関する記事。
• Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011)、Oberwolfach の少年表面(PDF)。
• サンダーソン、B. Boy's は Boy's になります(日付なし、2006 年以前)。
• ワイスタイン、エリック W. 「ボーイズサーフェス」。MathWorld 。

外部リンク

• MathCurveのBoy's surface 。さまざまな視覚化、さまざまな方程式、便利なリンクと参考文献が含まれています。
• 少年の表面の平面展開– Plus Magazineからのアプレット。
• Boy の曲面リソース(元の記事を含む)と、Oberwolfach Boy の曲面への位相学者の埋め込み。
• レゴボーイの表面
• ボーイズサーフェスの紙製モデル– パターンと説明
• 構成的立体幾何学におけるボーイ面のモデルと組み立て説明書
• セルビア芸術科学アカデミー数学研究所の少年の表面可視化ビデオ
• この物体は作れないはずだった。アダム・サヴェッジが表面のガラス模型用の博物館スタンドを製作中