ハンバーガーモーメント問題

数学において、ハンス・ルートヴィヒ・ハンブルガーにちなんで名付けられたハンブルガーモーメント問題は、次のように定式化される。系列（m ₀、m ₁、m ₂、…）が与えられたとき 、実数直線上に正のボレル測度μ（例えば、確率変数の累積分布関数によって決定される測度）が存在し、

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$ ?

言い換えれば、問題に対する肯定的な答えは、( m ₀、m ₁、m ₂、...)が何らかの正のボレル測度μのモーメントのシーケンスであることを意味します。

スティルチェス モーメント問題、ボロビエフ モーメント問題、ハウスドルフ モーメント問題は似ていますが、実数直線を(スティルチェスとボロビエフ。ただしボロビエフは行列理論の観点から問題を定式化します)、または有界区間(ハウスドルフ) に置き換えます。 ${\displaystyle [0,+\infty )}$

キャラクター設定

ハンバーガーモーメント問題が解ける（つまり、（m _n）はモーメントの列である）のは、対応するハンケル核が非負整数

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots \\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots \\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)}$

は正定値である、すなわち、

${\displaystyle \sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}\geq 0}$

有限である複素数の任意のシーケンス( c _j ) _{j ≥ 0} (つまり、jの値が有限個である場合を除いてc _j = 0 ) に対して。

主張の「もし」の部分については、単に次の点に留意してください。

${\displaystyle \sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|\sum _{j\geq 0}c_{j}x^{j}\right|^{2}\,d\mu (x)}$ 、

が非負であれば、これは非負です。 ${\displaystyle \mu}$

逆の議論を概説する。Z ^{+ を}非負整数とし、F ₀ ( Z ⁺ )を有限台複素数列の族とする。正ハンケル核A は有限台複素数列の族に（おそらく退化している）セクリニア積を誘導する。これはヒルベルト空間を与える。

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$

その典型的要素は[ f ]で表される同値類である。

e _{n を}F ₀ ( Z ⁺ )の要素とし、e _n ( m ) = δ _nmで定義されるものとする。

${\displaystyle \langle [e_{n+1}],[e_{m}]\rangle =A_{m,n+1}=m_{m+n+1}=\langle [e_{n}],[e_{m+1}]\rangle }$ 。

したがって、T [ e _n ] = [ e _{n  + 1} ]のシフト演算子Tは対称です。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

一方、望ましい表現

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$

は、 μが自己随伴演算子のスペクトル測度であることを示唆している。（より正確に言えば、μは、以下に定義される演算子とベクトル[1]（Reed & Simon 1975、p.145）のスペクトル測度である。）対称演算子Tがxによる乗算であるような「関数モデル」を見つけることができれば、 Tの自己随伴拡張のスペクトル分解によってこの主張が証明される。 ${\displaystyle {\overline {T}}}$

関数モデルは、F ₀ ( Z ^{+ ) から}多項式族への自然同型写像によって与えられ、単一の実変数と複素係数を持つ。n  ≥ 0 に対して、e n を x n と同一視する。この_モデルにおいて^、演算子Tはxの乗算であり、稠密に定義された対称演算子である。Tは常に自己随伴拡張を持つことがわかる。そのうちの1つを とし、そのスペクトル測度を μとする。したがって、${\displaystyle {\overline {T}}}$

${\displaystyle \langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\int x^{n}d\mu (x)}$ 。

一方で、

${\displaystyle \langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\langle T^{n}[e_{0}],[e_{0}]\rangle =m_{n}}$ 。

スティルチェス積分のみを用いた存在の別の証明については、 ^{[ 1 ]}の特に定理3.2 も参照。

解決策の独自性

解は凸集合を形成するため、問題には無限の数の解が存在するか、または唯一の解が存在するかのいずれかになります。

( n + 1) × ( n + 1)ハンケル行列を考える

${\displaystyle \Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right]}$ 。

Aが正であるということは、各nに対してdet(Δ _n ) ≥ 0 が成り立つことを意味する。もし、あるnに対してdet(Δ _n ) = 0ならば 、

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$

は有限次元であり、Tは自己随伴である。したがって、この場合、ハンバーガーモーメント問題の解は一意であり、 Tのスペクトル測度であるμ は有限台を持つ。

より一般的には、定数CとDが存在し、任意のnに対して| m n _| ≤ CD ⁿ n !を満たすとき、解は一意である（Reed & Simon 1975 , p. 205）。これは、より一般的なCarlemanの条件から導かれる。

解が一意ではない例もある。例えば^{[ 2 ]を参照。}

多項式

ハンブルガーモーメント問題は、実数直線上の直交多項式と密接に関連している。つまり、 が上の何らかの正測度のモーメント列であると仮定する。すると、任意の多項式に対して、 ハンケル行列が半正定値となるようなモーメント列 が成り立つ 。これは、列がモーメント列となるための必要条件であり、正測度が存在するための十分条件でもある。^{[ 3 ]}${\displaystyle \{m_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle p(x)=\sum _{j=0}^{n}a_{j}x^{j}\in \mathbb {R} ,}$$ $${\displaystyle \int p(x)^{2}d\mu =\int \left(\sum _{j,k=0}^{n}a_{j}a_{k}x^{j+k}\right)d\mu =\sum _{j,k=0}^{n}a_{j}a_{k}m_{j+k}\geq 0,\quad \forall n\in \mathbb {N} _{0},}$$

グラム・シュミット法は、演算子が三角対角ヤコビ行列表現を持つ直交多項式の基底を与える。これは、正ハンケル核の三角対角モデルにつながる。 ${\displaystyle {\overline {T}}}$

Tのケーリー変換を明示的に計算すると、左半平面上の解析関数のネヴァンリンナ類と呼ばれるものとの関連性が示される。非可換な設定に移ると、これは部分等長変換の拡大を媒介変数化する クラインの公式の根拠となる。

累積分布関数と確率密度関数は、モーメント生成関数に 逆ラプラス変換を適用することで得られることが多い。

${\displaystyle m(t)=\sum _{n=0}m_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}}$ 、

ただし、この関数は収束するものとします。

注記

1. 千原 1978、p. 56.
2. 千原 1978、p. 73.
3. Schmüdgen 2017、2ページ。

参考文献

• 千原, TS (1978),直交多項式入門, Gordon and Breach, Science Publishers, ISBN 0-677-04150-0
• リード、マイケル、サイモン、バリー（1975）、フーリエ解析、自己随伴性、現代数理物理学の方法、第2巻、アカデミックプレス、pp. 145、205、ISBN 0-12-585002-6
• Schmüdgen, Konrad (2017), The Moment Problem , Graduate Texts in Mathematics, vol. 277, Cham: Springer International Publishing, doi : 10.1007/978-3-319-64546-9 , ISBN 978-3-319-64545-2、ISSN  0072-5285
• ショハット, JA; タマルキン, JD (1943), 『モーメントの問題』 , ニューヨーク: アメリカ数学協会, ISBN 0-8218-1501-6。