境界型（数学）

数学において、複素平面の領域上で定義された関数は、その領域で有界となる2つの解析関数の比に等しいとき、有界型であるといわれる。しかしより一般的には、関数が領域内で有界型であるためには、 が上で解析的であり、に調和的なメジャーラント（majorant）を持つ 必要がある。2つの有界解析関数の比であることは、関数が（調和的なメジャーラントによって定義される）有界型であるための十分条件であり、 が単連結である場合も、この条件は必須である。 ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \log ^{+}|f(z)|}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \log^{+}(x)=\max[0,\log(x)]}$ ${\displaystyle \オメガ}$

上のそのようなすべてのクラスの類は一般に と表記され、 のネヴァンリンナ類と呼ばれることもある。ネヴァンリンナ類には、のハーディ類すべてが含まれる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle N(\Omega )}$ ${\displaystyle \オメガ}$

有界型の関数は必ずしも有界であるわけではなく、また「型」と呼ばれる有界な性質も持ちません。この名前の由来は、円板上で定義される場合、ネヴァンリンナ標数（円板の中心からの距離の関数）が有界となるためと考えられます。

明らかに、関数が2つの有界関数の比である場合、それは1で有界となる2つの関数の比として表すことができます。

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

の対数と の対数は領域内では非負なので、 ${\displaystyle |1/P(z)|}$ ${\displaystyle |1/Q(z)|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log |f(z)|&=\log |1/Q(z)|-\log |1/P(z)|\\&\leq \log |1/Q(z)|\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log ^{+}|f(z)|&=\max[0,\log |f(z)|]\\&\leq \max(0,\log |1/Q(z)|)\\&\leq \log |1/Q(z)|\\&\leq -\Re \left(\log Q(z)\right).\end{aligned}}}$

後者は解析関数の実部なので調和関数であり、Ω に調和メジャーントがあることを示しています。 ${\displaystyle \log ^{+}|f(z)|}$

与えられた領域では、有界型の関数の和、差、積は有界型であり、分母がゼロにならない限り、そのような 2 つの関数の商も有界型です。

例

多項式は、任意の有界領域において有界型である。また、上半平面（UHP）においても有界型である。これは、 n次の多項式がUHPにおいて有界となる2つの解析関数の比として表せるためである。 ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

と

${\displaystyle P(z)=f(z)/(z+i)^{n}}$

${\displaystyle Q(z)=1/(z+i)^{n}.}$

多項式の逆関数も、任意の有理関数と同様に、領域内で有界型です。

関数はUHPにおいて有界型であるため、aは実数です。aが正であれば関数自体もUHPにおいて有界型です（したがって を使用できます）。aが負であれば、関数は 1/Q(z) に等しくなります（ ）。 ${\displaystyle \exp(aiz)}$ ${\displaystyle Q(z)=1}$ ${\displaystyle Q(z)=\exp(|a|iz)}$

UHPでは正弦と余弦は有界型です。実際、

${\displaystyle \sin(z)=P(z)/Q(z)}$

と

${\displaystyle P(z)=\sin(z)\exp(iz)}$

${\displaystyle Q(z)=\exp(iz)}$

どちらも UHP で制限されます。

上記の例はすべて、下半平面においても有界型であり、異なるP関数とQ関数を用いています。しかし、「有界型」という用語の定義で言及されている領域は、関数が定数でない限り複素平面全体となることはできません。なぜなら、領域全体で同じP関数とQ関数を用いる必要があり、リウヴィルの定理により、有界となる関数全体（つまり、複素平面全体における解析関数）は定数のみだからです。

上半平面におけるもう一つの例は「ネヴァンリンナ関数」、すなわちUHPを閉じたUHPに写す解析関数である。f ( z )がこの型であれば、

${\displaystyle f(z)=P(z)/Q(z)}$

ここで、PとQは有界関数です。

${\displaystyle P(z)={\frac {f(z)}{f(z)+i}}}$

${\displaystyle Q(z)={\frac {1}{f(z)+i}}}$

(これは明らかに、つまり、UHP において実部が非負である関数 にも当てはまります。)${\displaystyle f(z)/i}$

プロパティ

与えられた領域において、有界型関数（非ヌル関数）2つの和、積、または商も有界型である。有界型関数の集合は複素数上の代数であり、実際には体である。

上半平面上の有界型関数（0の近傍に有限個の根を持つ）は、ブラシュケ積（領域で有界な解析関数で、零点を因数分解する）の商を乗じて表すことができる。ここで、とは1で有界であり、 UHPでは零点を持たない。この商は次のように表せる。 ${\displaystyle P(z)/Q(z)}$ ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle Q(z)}$

${\displaystyle P(z)/Q(z)=\exp(-U(z))/\exp(-V(z))}$

ここで、およびは超高次元関数において非負の実部を持つ解析関数である。これらはそれぞれポアソン表現で表すことができる（ネヴァンリンナ関数を参照）。 ${\displaystyle U(z)}$ ${\displaystyle V(z)}$

${\displaystyle U(z)=c-ipz-i\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right)d\mu (\lambda )}$

${\displaystyle V(z)=d-iqz-i\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {1}{\lambda -z}}-{\frac {\lambda }{1+\lambda ^{2}}}\right)d\nu (\lambda )}$

ここで、cとdは虚数定数、pとqは非負の実定数、μとνは実変数の非減少関数（積分が収束するように振る舞う）である。差q−pはルイ・ド・ブランジュによって「平均型」と名付けられ、虚数軸に沿った関数の増加または減少を表す。

${\displaystyle qp=\limsup _{y\to \infty }y^{-1}\ln |f(iy)|}$

上半平面における平均型は、関数の絶対値の対数をゼロからの距離で割った加重平均の極限であり、の値が1になるように正規化されている：^{[ 1 ]}${\displaystyle \exp(-iz)}$

${\displaystyle qp=\lim _{r\to \infty }(2/\pi )r^{-1}\int _{0}^{\pi }\ln |f(re^{i\theta })|\sin \theta d\theta }$

整関数が上半平面と下半平面の両方において有界型である場合、それは指数型であり、それぞれの「平均型」^{[ 2 ]}のうち大きい方の値に等しい（そして大きい方は非負となる）。1より大きい位数の整関数（つまり、ある方向において指数型関数よりも速く増加する）は、どの半平面においても有界型にはならない。

したがって、適切なzの指数と任意のネヴァンリンナ関数の指数にiを掛けて、有界型の関数を作成することができます。たとえば、

${\displaystyle f(z)=\exp(iz){\frac {\exp(i{\sqrt {z}})}{\exp(-i/{\sqrt {z}})}}}$

上記の例において、多項式またはその逆関数の平均型は0です。上半平面における の平均型は − aですが、下半平面ではaです。両方の半平面における の平均型は1です。${\displaystyle \exp(aiz)}$ ${\displaystyle \sin(z)}$

上半平面上の有界型関数で、非正平均型であり、実軸に対して連続かつ2乗積分可能な拡張を持つ関数は、積分（実軸に沿って）が

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(t)dt}{tz}}}$

zが上半平面にある場合は等しく、 zが下半平面にある場合は0である。^{[ 3 ]}これは上半平面の コーシーの公式と呼ばれることがある。${\displaystyle f(z)}$

参照

• デ・ブランジュ空間
• ロルフ・ネヴァンリンナ

参考文献

1. Louis de Branges .整関数のヒルベルト空間. Prentice-Hall. p. 26.
2. Mark Kreinの定理による。de Branges著の26ページを参照。
3. de Branges の本の定理 12。

• コンウェイ, ジョン・B. (1996年6月13日).複素変数関数 II .大学院数学テキスト. 第159巻.シュプリンガー・フェアラーク. p. 273. ISBN 0-387-94460-5。
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994).ハーディ類と単葉関数に関する話題. Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks. Basel: Birkhauser Verlag.