ハウトゥス・レマ

制御理論、特に状態空間形式の線形時間不変システムの特性を研究する場合、ハウトゥスの補題（Malo LJ Hautusに由来）は、一般的にポポフ-ベレビッチ-ハウトゥステストまたはPBHテストとしても知られ、^{[ 1 ] [ 2 ]}は、制御システムの特定の特性に対して同等の条件を与えます。

この結果の特殊なケースは、1963年にエルマー・G・ギルバートの論文で初めて登場し、^{[ 1 ]}、その後、1966年にヴァシル・M・ポポフ、 ^{[ 3 ] [ 4 ]} 、1968年にヴィトルド・ベレヴィッチ、 ^{[ 5 ]}、1969年にマロ・ハウトゥス^{[ 5 ]}の貢献により、現在のPBHテストに拡張され、線形時間不変システムの結果を証明する際の適用可能性が強調されました。

声明

この補題には複数の形式が存在する:

制御可能性に関するハウトゥス補題

制御可能性に関するハウトゥスの補題によれば、正方行列とが与えられた場合、以下は同等になります。 ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$

1. ペアは制御可能${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$
2. それは、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$
3. の固有値であるすべてのものに対して、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$

安定化可能性に関するハウトゥス補題

安定化可能性に関するハウトゥスの補題によれば、正方行列とが与えられた場合、以下は同等である。 ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \in M_{n\times m}(\Re )}$

1. このペアは安定可能${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )}$
2. の固有値であり、次式が成り立つすべてのものについて、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ,\mathbf {B} ]=n}$

観測可能性に関するハウトゥス補題

観測可能性に関するハウトゥスの補題によれば、正方行列とが与えられた場合、以下は同等である。 ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )}$

1. このペアは観測可能です。${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {C} )}$
2. それは、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n}$
3. の固有値であるすべてのものに対して、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n}$

検出可能性に関するハウトゥス・レンマ

検出可能性に関するハウトゥスの補題によれば、正方行列とが与えられた場合、以下は同等です。 ${\displaystyle \mathbf {A} \in M_{n}(\Re )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \in M_{m\times n}(\Re )}$

1. このペアは検出可能${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {C} )}$
2. の固有値であり、次式が成り立つすべてのものについて、${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \Re (\lambda )\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} [\lambda \mathbf {I} -\mathbf {A} ;\mathbf {C} ]=n}$

参考文献

• ソンタグ、エドゥアルド・D. (1998). 『数理制御理論：決定論的有限次元システム』ニューヨーク：シュプリンガー. ISBN 0-387-98489-5。
• ザブチク、イェジ（1995）『数理制御理論入門』ボストン：バークハウザー社、ISBN 3-7643-3645-5。

注記

1. ヘスパニャ、ジョアン (2018).線形システム理論(第 2 版)。プリンストン大学出版局。ISBN 9780691179575。
2. バーンスタイン、デニス・S. (2018). 『スカラー、ベクトル、行列数学：理論、事実、公式』（改訂増補版）. プリンストン大学出版局. ISBN 9780691151205。
3. ポポフ、ヴァシーレ・ミハイ (1966)。ハイパースタビリティシステムの自動化[制御システムのハイパースタビリティ]。 Editura Academiei Republicii Socialiste România。
4. Popov, VM (1973).制御システムの超安定性ベルリン: Springer-Verlag.
5. ベレヴィッチ、V. (1968).古典ネットワーク理論. サンフランシスコ: ホールデン・デイ.