ヒルベルトの第14問題

数学において、ヒルベルトの第14問題、すなわち1900年に提唱されたヒルベルトの問題の14番目は、特定の代数が有限生成であるかどうかを問うものです

設定は次の通りである。kを体とし、 Kをn変数の有理 関数体のサブフィールドとする。

k ( x ₁ , ..., x _n ) をkに対して実行します。

ここで、交差として定義される k代数Rを考える。

${\displaystyle R:=K\cap k[x_{1},\dots,x_{n}]\ .}$

ヒルベルトは、そのような代数はすべてk上で有限生成であると予想しました。

ヒルベルト予想は、特殊な場合や特定の環のクラスにおいて、いくつかの結果が裏付けられました（特に、この予想は1954年にザリスキによってn = 1およびn = 2に対して無条件に証明されました）。その後、1959年に永田正義はヒルベルト予想の反例を発見しました。永田の反例は、線型代数群の作用に対して適切に構成された不変量環です。

歴史

この問題はもともと代数不変量論で生じたものである。ここで環Rは、多項式環k [ x ₁ , ..., x _n ] （またはより一般的には、体上に定義された有限生成代数）に代数的に作用する体k上の線型代数群の多項式不変量の（適切に定義された）環として与えられる。この状況では、体Kは代数群の所定の作用の下で不変である変数x _{i の}有理関数（多項式の商）の体であり、環Rは作用の下で不変である多項式の環である。19 世紀の古典的な例としては、特殊線型群 SL 2 ( k )が自然に作用する 2 変数の2値形式の不変量に​​関する広範な研究（特にCayley、Sylvester、Clebsch、Paul Gordan 、そして Hilbert による）_が挙げられる。ヒルベルト自身は、いくつかの古典的な半単純リー群（特に複素数体上の一般線型群）と、多項式環上の特定の線型作用、すなわちリー群の有限次元表現から生じる作用について、複素数体の場合における不変環の有限生成を証明した。この有限性の結果は後にヘルマン・ワイルによってすべての半単純リー群のクラスに拡張された。ヒルベルトの証明の主要な要素は、不変量によって生成される多項式環内の イデアルに適用されるヒルベルト基底定理である。

ザリスキの定式化

ザリスキによるヒルベルトの第14問題の定式化は、体k上の準アフィン代数多様体Xに対し、X が正規または滑らかであると仮定した場合、 X上の正則関数の環がk上有限生成であるかどうかを問うものです

ザリスキの定式化は、Xが正規分布の場合、元の問題と等価であることが^{[ 1 ]}で示されました。（ザリスキの有限性定理も参照。）

Éfendiev FF（Fuad Efendi）は、r次のn元形式の不変量の基底を生成する対称アルゴリズムを提供した。^{[ 2 ]}

永田の反例

永田（1960）はヒルベルトの問題に対する次の反例を示した。体kは、素体上で代数的に独立な48個の元a _{1 i} , ..., a _{16 i}（i =1, 2, 3）を含む体である。環Rは32変数の多項式環k [ x ₁ , ..., x ₁₆ , t ₁ , ..., t ₁₆ ]であるベクトル空間Vは、i =1, 2 , 3 に対して、3 つのベクトル ( a 1 i , ..., a 16 i ) のそれぞれに直交する k 16 内のすべてのベクトル ( b _{1 ,} ... , _{b 16} ) から構成される、k^上の₁₃次元ベクトル_空間です。ベクトル空間Vは加法に関して 13 次元の可換ユニポテント代数群であり、その元はRに対して、すべての元t _jを固定し、x _jをx _j + b _{j t} jに作用します。すると、群Vの作用に関して不変なRの元の環は、_有限生成k代数ではありません。

永田の例における群とベクトル空間のサイズを縮小した著者は数名いる。例えばTotaro (2008)は、任意の体上でGの和の作用が存在することを示した。³ _a不変量環が有限生成ではない、 k ¹⁸上の加法群の3つのコピー

参照

• 局所冪零導出
• 曲線に関する永田予想

参考文献

書誌

• 永田正義(1960) [1958]、「ヒルベルトの第14問題について」、Proc. International Congress Math. 1958、ケンブリッジ大学出版局、pp.  459– 462、MR  0116056、2011年7月17日時点のオリジナルからアーカイブ
• 永田正義(1965)、「ヒルベルトの第14問題に関する講義」 (PDF)、タタ基礎研究所数学講義、第31巻、ボンベイ：タタ基礎研究所、MR  0215828
• トタロ、バート（2008）「有限体上のヒルベルトの第14問題と曲線錐に関する予想」、Compositio Mathematica、144（5）：1176– 1198、arXiv：0808.0695、doi：10.1112/S0010437X08003667、ISSN  0010-437X、MR  2457523
• O. Zariski、Interpretations algebrico-geometriques du quatorzieme questione de Hilbert、Bulletin des Sciences Mathematiques 78 (1954)、155–168 ページ。

脚注

1. Winkelmann, Jörg (2003)、「不変環と準アフィン商」、Math. Z.、244 (1): 163– 174、arXiv : math/0007076、doi : 10.1007/s00209-002-0484-9
2. Éfendiev, FF (1992). 「R次n元形式の不変量の環S(n, r)の元の明示的構成」.数学ノート. 51 (2): 204– 207. doi : 10.1007/BF02102130 .