局所冪零導出

数学において、のすべての要素が の何らかのべき乗によって消滅する場合、可換環の微分は局所的冪零微分( LND )と呼ばれます。 ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial }$

局所冪零微分を研究する動機の1つは、ヒルベルトの第14問題に対する反例のいくつかが多項式環上の微分核として得られるという事実から来ている。^{[ 1 ]}

特性零の体上において、その体上有限生成な整域 上の局所冪零微分を与えることは、加法群の作用をアフィン多様体 に与えることと同値である。大まかに言えば、加法群 の作用を「多数」許容するアフィン多様体は、アフィン空間に類似していると考えられる。^{[ 2 ]}${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (k,+)}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$

意味

を環とする。の微分は任意の に対してライプニッツ則を満たす写像であることを思い出してください。が体上の代数である場合、さらにが-線型であることが必要となるため、 となります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial \colon \,A\to A}$ ${\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)}$ ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\subseteq \ker \partial }$

任意の に対して となる正の整数が存在する場合、 その微分は局所的冪零微分(LND)と呼ばれます。 ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial ^{n}(a)=0}$

が次数である場合、任意のに対して、局所冪零微分は同次(次数)であるという。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \deg \partial a=\deg a+d}$ ${\displaystyle a\in A}$

環の局所冪零微分全体の集合は と表記される。この集合には明らかな構造がないことに留意されたい。つまり、 の加法に対して閉じていない（例えば ならば だがなので）、また の元による乗法に対しても閉じていない（例えばだが なので）。しかし、ならば は^{[ 3 ]}を、 ならばはを意味する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle \partial _{1}=y{\tfrac {\partial }{\partial x}}}$ ${\displaystyle \partial _{2}=x{\tfrac {\partial }{\partial y}}}$ ${\displaystyle \partial _{1},\partial _{2}\in \operatorname {LND} (k[x,y])}$ ${\displaystyle (\partial _{1}+\partial _{2})^{2}(x)=x}$ ${\displaystyle \partial _{1}+\partial _{2}\not \in \operatorname {LND} (k[x,y])}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}\in \operatorname {LND} (k[x])}$ ${\displaystyle x{\tfrac {\partial }{\partial x}}\not \in \operatorname {LND} (k[x])}$ ${\displaystyle [\partial _{1},\partial _{2}]=0}$ ${\displaystyle \partial _{1},\partial _{2}\in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle \partial _{1}+\partial _{2}\in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle h\in \ker \partial }$ ${\displaystyle h\partial \in \operatorname {LND} (A)}$

G _aアクションとの関係

を特性ゼロの体（例えば）上の代数とする。すると、上の局所冪零微分と、の加法群のアフィン多様体への作用との間には、次のように一対一対応関係がある。 ^{[ 3 ]}上の -作用は 、代数準同型に対応する。そのような は、の零点での微分、すなわち を求めることによっての局所冪零微分を決定する。ここで はにおける評価を表す。逆に、任意の局所冪零微分は、による準同型を決定する。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \rho \colon A\to A[t]}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial =\epsilon \circ {\tfrac {d}{dt}}\circ \rho ,}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \rho \colon A\to A[t]}$ ${\displaystyle \rho =\exp(t\partial )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\partial ^{n}.}$

共役作用が共役微分に対応していることは容易に分かる。つまり、そしてならば、そして${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Aut} A}$ ${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle \alpha \circ \partial \circ \alpha ^{-1}\in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle \exp(t\cdot \alpha \circ \partial \circ \alpha ^{-1})=\alpha \circ \exp(t\partial )\circ \alpha ^{-1}}$

カーネルアルゴリズム

代数は対応する -作用の不変量から構成される。これは において代数的かつ階乗的に閉じている。^{[ 3 ]}ヒルベルトの第14問題の特別な場合として、が有限生成であるかどうか、あるいは の場合に商がアフィンであるかどうかを問うものがある。ザリスキの有限性定理により、^{[ 4 ]}はの場合には真である。一方、この問題は の場合でも極めて非自明である。なぜなら、一般に答えは負であるからである。^{[ 5 ]}この問題は未解決である。^{[ 3 ]}${\displaystyle \ker \partial }$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ker \partial }$ ${\displaystyle A=k[X]}$ ${\displaystyle X/\!/\mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \dim X\leq 3}$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle n=4}$

しかし、実際には が有限生成であることが知られていることがよくあります。特に、マウラー・ヴァイツェンベックの定理^{[ 6 ]}によれば、特性 0 の体上の多項式代数の線型LNDの場合がそうです(線型とは、標準的な次数付けに関して次数 0 の同次性を意味する)。 ${\displaystyle \ker \partial }$

が有限生成であると仮定する。 が特性ゼロの体上の有限生成代数である場合、 は van den Essen のアルゴリズム^{[ 7 ]}を用いて以下のように計算できる。局所スライス、すなわち元を選び、 を置く。が によって与えられるディクスミア写像であるとする。ここで任意の に対して、となるような最小の整数を選び、 を置き、が によって生成されるの部分環であると帰納的に定義する。帰納法により、が有限生成であり、 ならば ならば、いくつかの に対してであることが証明される。それぞれの の生成元を見つけて であるかどうかを確認することは、グレブナー基底を用いた標準的な計算である^{[ 7 ]}。${\displaystyle \ker \partial }$ ${\displaystyle A=k[g_{1},\dots ,g_{n}]}$ ${\displaystyle \ker \partial }$ ${\displaystyle r\in \ker \partial ^{2}\setminus \ker \partial }$ ${\displaystyle f=\partial r\in \ker \partial }$ ${\displaystyle \pi _{r}\colon \,A\to (\ker \partial )_{f}}$ ${\displaystyle \pi _{r}(a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\partial ^{n}(a){\frac {r^{n}}{f^{n}}}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle h_{i}\colon =f^{m_{i}}\pi _{r}(g_{i})\in \ker \partial }$ ${\displaystyle B_{0}=k[h_{1},\dots ,h_{n},f]\subseteq \ker \partial }$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{h\in A:fh\in B_{i-1}\}}$ ${\displaystyle B_{0}\subset B_{1}\subset \dots \subset \ker \partial }$ ${\displaystyle B_{i}=B_{i+1}}$ ${\displaystyle B_{i}=\ker \partial }$ ${\displaystyle B_{N}=\ker \partial }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle B_{i}=B_{i+1}}$

スライス定理

がスライス、つまり となるようなスライスを許容すると仮定する。スライス定理^{[ 3 ]}は、が多項式代数であり であると主張している。 ${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle s\in A}$ ${\displaystyle \partial s=1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\ker \partial )[s]}$ ${\displaystyle \partial ={\tfrac {d}{ds}}}$

任意の局所スライス に対して、スライス定理を局所化に適用することで、 が局所的に標準微分を持つ多項式代数となることがわかります。幾何学的に言えば、幾何商がアフィンである場合（例えば、ザリスキー定理により のとき）、 は 上で同型となるザリスキー開部分集合を持ちます。ここで、は第2因子に平行移動として作用します。 ${\displaystyle r\in \ker \partial \setminus \ker \partial ^{2}}$ ${\displaystyle A_{\partial r}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi \colon \,X\to X//\mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \dim X\leq 3}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

しかし、一般には が局所的に自明であるということは成り立ちません。例えば、^{[ 8 ]}で とします。するとは特異多様体の座標環となり、特異点上の商写像のファイバーは2次元になります。 ${\displaystyle X\to X//\mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \partial =u{\tfrac {\partial }{\partial x}}+v{\tfrac {\partial }{\partial y}}+(1+uy^{2}){\tfrac {\partial }{\partial z}}\in \operatorname {LND} (\mathbb {C} [x,y,z,u,v])}$ ${\displaystyle \ker \partial }$

のとき、は曲線である。-作用を記述するためには、幾何学 を理解することが重要だ。さらに、および が滑らかで縮約可能であると仮定し（この場合も滑らかで縮約可能である^{[ 9 ]}）、 が最小となるように選択する（包含に関して）。次に、カリマンは^{[ 10 ]}の各既約成分が多項式曲線である、つまりその正規化が に同型であることを証明した。フロイデンブルグの (2,5)-微分（下記 を参照）によって与えられる作用 の曲線は の2本の直線の和集合であるため、既約ではない可能性がある。しかし、 は常に縮約可能であると予想されている。^{[ 11 ]}${\displaystyle \dim X=3}$ ${\displaystyle \Gamma =X\setminus U}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

例

例1

多項式代数の標準的な座標微分は局所冪零である。対応する-作用は並進運動である：に対して である。 ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle t\cdot x_{i}=x_{i}+t}$ ${\displaystyle t\cdot x_{j}=x_{j}}$ ${\displaystyle j\neq i}$

例 2 (フロイデンブルクの (2,5)-同次導出)

出典: ^{[ 12 ]}

, , とし、ヤコビ微分 とする。するととなり（下記 を参照）、つまり はどの変数も消滅させない。対応する -作用 の不動点集合はとなる。 ${\displaystyle f_{1}=x_{1}x_{3}-x_{2}^{2}}$ ${\displaystyle f_{2}=x_{3}f_{1}^{2}+2x_{1}^{2}x_{2}f_{1}+x^{5}}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\textstyle \partial (f_{3})=\det \left[{\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j=1,2,3}}$ ${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (k[x_{1},x_{2},x_{3}])}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} \partial =3}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \{x_{1}=x_{2}=0\}}$

例3

を考える。その座標環の局所冪零微分は、上三角行列の右乗法を介したへの自然な作用に対応する。この作用は上の非自明な -バンドルを与える。しかし、 ならば、このバンドルは滑らかなカテゴリ^{[ 13 ]において自明である。}${\displaystyle Sl_{2}(k)=\{ad-bc=1\}\subseteq k^{4}}$ ${\displaystyle a{\tfrac {\partial }{\partial b}}+c{\tfrac {\partial }{\partial d}}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle Sl_{2}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

多項式代数のLND

を特性ゼロの体とし（神林の定理を用いると、ほとんどの結果を^{[ 14 ]}の場合に帰着できる）、を多項式代数とする。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle A=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

n = 2 (アフィン平面上のG _a作用)

レンチュラーの定理—の任意のLNDは、ある に対してに共役である。この結果は、アフィン平面の任意の自己同型がtame であり、高次元では成立しないという事実と密接に関連している。 ^{[ 15 ]}${\displaystyle k[x_{1},x_{2}]}$ ${\displaystyle f(x_{1}){\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}}$ ${\displaystyle f(x_{1})\in k[x_{1}]}$

n = 3 (アフィン3次元空間上のG _a作用)

宮西の定理—の任意の非自明なLNDの核は2変数の多項式環に同型である。つまり、上の任意の非自明な -作用に同型である。 ^{[ 16 ] [ 17 ]}${\displaystyle A=k[x_{1},x_{2},x_{3}]}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$

言い換えれば、任意の に対してとなるような が存在する（ただし の場合とは対照的に、は 上の多項式環とは必ずしもならない）。この場合、はヤコビ微分である：。^{[ 18 ]}${\displaystyle 0\neq \partial \in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in A}$ ${\displaystyle \ker \partial =k[f_{1},f_{2}]}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ker \partial }$ ${\displaystyle \partial }$ ${\textstyle \partial (f_{3})=\det \left[{\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j=1,2,3}}$

ズルコフスキーの定理—およびが、が同次であるような の正の次数に対して同次であると仮定する。すると、同次な に対して同次となる。さらに、^{[ 18 ]}が互いに素であれば、も互いに素となる。^{[ 19 ] [ 3 ]}${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle \ker \partial =k[f,g]}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \deg x_{1},\deg x_{2},\deg x_{3}}$ ${\displaystyle \deg f,\deg g}$

ボネの定理— -作用の商射は射影的である。言い換えれば、任意の に対して、埋め込みによって射影的射が誘導される。^{[ 20 ] [ 10 ]}${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\to \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle 0\neq \partial \in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle \ker \partial \subseteq A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} \ker \partial }$

これは には当てはまらなくなります。例えば、作用による商写像の像（これは によって与えられた LND に相当し、 は に等しくなります。 ${\displaystyle n\geqslant 4}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}\to \mathbb {A} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle t\cdot (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{1},x_{2},x_{3}-tx_{2},x_{4}+tx_{1})}$ ${\displaystyle x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{4}}}-x_{2}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}})}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\setminus \{(x_{1},x_{2},x_{3}):x_{1}=x_{2}=0,x_{3}\neq 0\}}$

カリマンの定理—の任意の不動点自由作用は並進と共役である。言い換えれば、の像が単位イデアルを生成する（あるいは、同値に、どこにも存在しない消滅ベクトル場を定義する）ような任意のものは、スライスを許容する。この結果は、クラフトのリストの予想の1つに答えるものである。 ^{[ 10 ]}${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \partial }$

また、この結果は については成り立ちません。^{[ 21 ]}例えば を考えてみましょう。 と の点が対応する -作用の同じ軌道上にあるのは の場合のみであり、したがって (位相的) 商は に同相などころか、ハウスドルフでもありません。 ${\displaystyle n\geqslant 4}$ ${\displaystyle x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+x_{2}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}}+(x_{2}^{2}-2x_{1}x_{3}-1){\tfrac {\partial }{\partial x_{4}}}\in \operatorname {LND} (\mathbb {C} [x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}])}$ ${\displaystyle (x_{1},1,0,0)}$ ${\displaystyle (x_{1},-1,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle x_{1}\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

主イデアル定理—とする。すると は上で忠実に平坦となる。さらに、は において主イデアルである。^{[ 14 ]}${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ker \partial }$ ${\displaystyle \ker \partial \cap \operatorname {im} \partial }$ ${\displaystyle A}$

三角形の導出

を の任意の変数系とします。つまり です。 の微分は、かつに対して であるとき、この変数系に関して三角微分と呼ばれます。微分は、三角微分と共役であるとき、あるいはそれと同値として、ある変数系に関して三角微分であるとき、三角可能微分と呼ばれます。すべての三角微分は局所的に冪零です。上記のレンチュラーの定理により、 については逆が成り立ちますが、 については成り立ちません。 ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=k[f_{1},\dots ,f_{n}]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial f_{1}\in k}$ ${\displaystyle \partial f_{i}\in k[f_{1},\dots ,f_{i-1}]}$ ${\displaystyle i=2,\dots ,n}$ ${\displaystyle \leq 2}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

バスの例

によって与えられるの導出は三角形化可能ではない。^{[ 22 ]}確かに、対応する -作用の不動点集合は二次円錐であるが、ポポフの結果によれば、^{[ 23 ]}三角形化可能な -作用の不動点集合はあるアフィン多様体 に対してと同型であり、したがって孤立した特異点を持つことはできない。 ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},x_{3}]}$ ${\displaystyle x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+2x_{2}x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle x_{2}x_{3}=x_{2}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle Z\times \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle Z}$

フロイデンブルグの定理—上記の必要な幾何学的条件は後にフロイデンブルグによって一般化されました。^{[ 24 ]}彼の結果を述べるには、次の定義が必要です。

のコランクとは、となる変数系が存在するような極大数です。から のコランクを引いた値として定義します。 ${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{j}\in \ker \partial }$ ${\displaystyle \operatorname {rank} \partial }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial }$

および が成り立つ場合、かつ が成り立つ場合に限り、 がある座標においてに対して成り立つ。^{[ 24 ]}${\displaystyle 1\leq \operatorname {rank} \partial \leq n}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (\partial )=1}$ ${\displaystyle \partial =h{\tfrac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle h\in k[x_{1},\dots ,x_{n-1}]}$

定理：が三角分割可能である場合、対応する -作用の不動点集合に含まれる任意の超曲面はと同型である。^{[ 24 ]}${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle Z\times \mathbb {A} ^{\operatorname {rank} \partial }}$

特に、最大ランクのLNDは三角形化できません。そのような導出は に対して存在します。最初の例は(2,5)同次導出（上記参照）であり、任意の に対して容易に一般化できます。^{[ 12 ]}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

マカール・リマノフ不変量

座標環のすべての局所冪零微分における核の交差、あるいは同値としてすべての- 作用の不変量の環は、「マカール・リマノフ不変量」と呼ばれ、アフィン多様体の重要な代数的不変量である。例えば、アフィン空間では自明であるが、 と微分同相であるコラス・ラッセル三次多様体 では自明ではない。^{[ 25 ]}${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

参考文献

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さらに読む

• A Nowicki、多項式導出に関するヒルベルトの第14の問題