広中の例

代数幾何学において、広中の例は、広中平助 （1960、1962 ）によって発見されたケーラー多様体の変形である非ケーラー複素多様体です。広中の例は、高々2次元の滑らかな多様体に対して成り立つ他のいくつかの妥当な命題が、少なくとも3次元の滑らかな多様体に対しては成り立たないことを示すために使用できます

広中の例

滑らかな 3 次元射影多様体Pの2 つの滑らかな曲線CとDを取ります。これらの曲線は、約分曲線 のノードである2 点cとdで交差します。いくつかの用途では、曲線CとDを交換し、点cとdも交換する、固定点のない自己同型が存在するように、これらを選択する必要があります。弘中の例Vは、2 つの準射影多様体とを接着することによって得られます。に沿って展開してから の厳密な変換 に沿って展開することによって得られる多様体とし、はDに沿って展開してからCの厳密な変換に沿って展開することによって得られる多様体とします。これらは 上で同型であるため、接着することができ、その結果、適切な多様体Vが得られます。すると、Vには、 cおよびd上にある2 つの滑らかな有理曲線LとMがあり、 は代数的に 0 と同値であるため、V は射影的ではありません。 ${\displaystyle C\cup D}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle P\setminus c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P\setminus d}$ ${\displaystyle P\setminus \{c,d\}}$ ${\displaystyle L+M}$

この構成の明示的な例として、t を楕円曲線Eの位数 2 の点、Pを、CとDを、つまりcとd が点 (0,0,0) と となるような形式の点の集合とし、反転 σ を に取るものとしましょう。 ${\displaystyle E\times E/(t)\times E/(t)}$ ${\displaystyle (x,x,0)}$ ${\displaystyle (x,0,x)}$ ${\displaystyle (t,0,0)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (x+t,z,y)}$

射影的ではない完全な抽象多様体

広中多様体は滑らかな3次元完備多様体ですが、0と代数的に同値な非自明な曲線を持つため、射影多様体ではありません。任意の2次元滑らかな完備多様体は射影多様体であるため、そのような例では3次元が最小の次元となります。ホップ面（非ケーラー）や非代数的トーラス（ケーラー）など、代数的ではない2次元複素多様体は数多く存在します。

代数的に0と等価な有効サイクル

射影多様体では、非ゼロの有効サイクルは非ゼロの次数を持つため、代数的には 0 と同値になりません。弘中の例では、2 つの例外的な曲線からなる有効サイクルは代数的には 0 と同値です。

ケーラー多様体の変形であるがケーラー多様体ではないもの

広中構成における曲線Dの1つが、族のほとんどの曲線がD と交わらないような族内で変化することを許すならば、大部分が射影的であるが1つは射影的でない多様体の族が得られる。複素数上では、これはケーラー多様体ではない滑らかな（実際には射影的な）ケーラー多様体の変形を与える。この族は滑らかなカテゴリにおいて自明であるため、特にケーラー多様体と非ケーラー多様体の滑らかなコンパクト3次元複素多様体で微分同相なものがある。

スキームではない滑らかな代数空間

CとD を、 P がPに自由に作用し、 CとDを交換し、またcとdも交換する位数 2 の自己同型 σ を持つように選ぶ。すると、 σ の作用によるVの商は、0 と代数的に同値な既約曲線を持つ滑らかな 3 次元代数空間となる。これは、商がスキームではない滑らかな 3 次元代数空間であることを意味する。

抽象多様体ではないモイシェゾン多様体

前の構成を代数空間ではなく複素多様体を用いて行うと、抽象多様体ではない滑らかな3次元コンパクト・モイシェゾン多様体の例が得られる。最大2次元のモイシェゾン多様体は必然的に射影的であるため、この例では3次元が最小の次元となる。

有限群の自由作用によるスキームの商はスキームである必要はない

これは前の2つの例と本質的に同じです。すべての軌道がアフィン開部分スキームに含まれる場合、商はスキームとして存在します。上記の反例は、この技術的条件を無視できないことを示しています。

多様体の有限部分集合は開アフィン部分多様体に含まれる必要はない

準射影多様体の場合、任意の有限部分集合は開アフィン部分多様体に含まれることは明らかである。しかし、この性質は弘中の例では成り立たない。すなわち、例外曲線のそれぞれの点からなる2点集合は、いかなる開アフィン部分多様体にも含まれない。

ヒルベルトスキームを持たない多様体

上記のように位数2の自己同型を持つ複素数上の広中多様体Vに対して、閉部分スキームのヒルベルト関数 Hilb _{V / C}はスキームによって表現できない。これは本質的に、位数2の群による商がスキームとして存在しないためである ( Nitsure 2005 , p.112 )。言い換えれば、これはヒルベルトスキームが存在しない滑らかな完備多様体の例である。グロタンディークは、射影多様体に対してはヒルベルトスキームが常に存在することを示した。

適切なスキームの適切な滑らかな射影に対しては降下が失敗する可能性がある

非自明なZ /2 ZトルソルB  →  Aを選びます。たとえば、特性が 2 でない場合に、AおよびB を、 BからAへの写像がx  →  x ²で与えられるアフィン直線から原点を引いたものとすることができます。 Bを、エタール位相Uの開被覆と考えます。Vが位数 2 のグループの不動点自由作用を持つ完全なスキームである場合、写像V  ×  B  →  Bの降下データは、 C  =  B × _A B =  B  ×  Z /2 Zである、 V × Cからそれ自身への適切な同型によって与えられます。このような同型は、Z /2 ZのVおよびCへの作用によって与えられます。この降下データが有効であれば、 U上の降下ファイバーは、Z /2 Zの作用によるVの商を与えます。したがって、この商がスキームとして存在しない場合 (上記の例のように)、降下データは無効です。 Vistoli ( 2005、103ページ) を参照してください。

すべての直線束が因子から来るわけではない体上の有限型のスキーム

X が体上の有限型の図式である場合、因子から直線束への自然な写像が存在する。Xが射影的または被約的である場合、この写像は射影的である。Kleiman は、この写像が射影的でない、非約かつ非射影的なXの例を次のように発見した。広中の例、すなわちA + B が数値的に 0 に等しい2 つの有理曲線AとBを持つ多様体を考える。この場合、 XはAとB上の点aとbを取り、これらの点に冪零元を導入することによって与えられる。

参考文献

• 広中平輔 (1960)、「双有理的爆発理論について」、ハーバード大学学位論文
• 広中平輔 (1962) 「ケーラー複素構造の非ケーラー複素解析的変形の例」,数学会誌, 2, 75 (1): 190– 208, doi : 10.2307/1970426 , JSTOR  1970426 , MR  0139182
• Nitsure, Nitin (2005), 「ヒルベルトおよびクォートスキームの構築」, Fundamental algebraic geometry , Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp.  105– 137, arXiv : math/0504590 , Bibcode : 2005math......4590N , MR  2223407
• Vistoli, Angelo (2005), 「Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory」, Fundamental algebraic geometry , Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp.  1– 104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V , MR  2223406

外部リンク

• Thiel (2007)、広中による完備だが非射影多様体の例(PDF)