ほぼ確実に

確率論では、ある事象が確率1（確率測度に関して）で起こる場合、その事象はほぼ確実に起こる（と略されることもある）と言われます。 [ 1 ]言い換えれば、事象が発生しない結果の集合は、その集合が空でなくても確率は 0 になります。この概念は、測度論における「ほぼすべての場所」という概念に類似しています。各結果の確率が 0 でない有限標本空間での確率実験では、ほぼ確実にと確実にの間に違いはありません（確率が 1 ということは、すべての標本点を含めることを意味するため）。ただし、標本空間が無限集合の場合にはこの区別が重要になります。[ 2 ]無限集合には確率が 0 の空でない部分集合が含まれることがあるためです 。

この概念の使用例としては、大数の法則の強いバージョンと一様バージョン、ブラウン運動の経路の連続性、無限猿定理などが挙げられます。また、 「ほぼ確実に（ac）」や「ほぼ常に（aa）」という用語も使用されます。「ほとんど決して」は「ほぼ確実に」の反対語です。つまり、確率0で発生する事象はほとんど発生しません。[ 3 ]

正式な定義

を確率空間とする。事象がほぼ確実に発生するのは、の場合である。同様に、発生しない確率がゼロである場合、 はほぼ確実に発生する。より一般的には、任意の集合（ に含まれるとは限らない）が空集合（となる のサブセット）に含まれる場合、 はほぼ確実に発生する。[ 4 ]ほぼ確実性の概念は、確率測度 に依存する。この依存性を強調する必要がある場合、慣例的に、事象はPほぼ確実に発生する、または はほぼ確実に発生すると言う。 （Ω、F、P）{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}E∈F{\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}P（E）＝1{\displaystyle P(E)=1}E{\displaystyle E}E{\displaystyle E}P(EC)=0{\displaystyle P(E^{C})=0}E⊆Ω{\displaystyle E\subseteq \Omega }F{\displaystyle {\mathcal {F}}}EC{\displaystyle E^{C}}N{\displaystyle N}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}P(N)=0{\displaystyle P(N)=0}P{\displaystyle P}E{\displaystyle E}(P){\displaystyle \left(\!P\right)}

具体例

一般に、問題の確率空間にそのイベントに属さない結果が含まれている場合でも、イベントは「ほぼ確実に」発生する可能性があります。次の例がそれを示しています。

ダーツを投げる

単位正方形（面積が1の正方形）にダーツを投げ、ダーツが常に正方形内の特定の点に当たるようにし、正方形内の各点に当たる確率が等しくなるようにするとします。正方形の面積は1なので、ダーツが正方形内の特定の部分領域に当たる確率は、その部分領域の面積に等しくなります。例えば、ダーツが正方形の右半分に当たる確率は0.5です。右半分の面積は0.5だからです。

次に、ダーツが単位正方形の対角線上のちょうど1点に当たるという事象を考えてみましょう。正方形の対角線の面積は0なので、ダーツがちょうど対角線上に落ちる確率は0です。つまり、対角線上の点の集合が空ではなく、対角線上の点が他の点よりも確率が低いわけではないにもかかわらず、ダーツが対角線上に落ちることはほとんどありません（言い換えれば、ダーツが対角線上に落ちることはほぼありません）。

コインを繰り返し投げる

確率空間 に対応する（おそらく偏りのある）コインを投げる場合を考えてみましょう。この確率空間では、表が出れば事象が発生し、裏が出れば事象が発生します。この特定のコインでは、表が出る確率は と仮定します。したがって、裏が出るという相補事象の確率は となります。 ({H,T},2{H,T},P){\displaystyle (\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)}{H}{\displaystyle \{H\}}{T}{\displaystyle \{T\}}P(H)=p∈(0,1){\displaystyle P(H)=p\in (0,1)}P(T)=1−p{\displaystyle P(T)=1-p}

さて、コインを繰り返し投げる実験が行われ、各投げの結果が他のすべての結果と独立している（つまり、独立かつ同一分布に従う、つまり iid）という仮定のもとで行われたとします。コイン投げ空間上の確率変数の列を定義します。ここで、 はそれぞれ 番目の投げ の結果を記録します。ω1,ω2,…{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }(Xi)i∈N{\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}Xi(ω)=ωi{\displaystyle X_{i}(\omega )=\omega _{i}}Xi{\displaystyle X_{i}}i{\displaystyle i}

この場合、表と裏の無限の連続は実験の結果として起こり得る。しかし、特定の表と裏の無限の連続が、（無限の）実験の正確な結果である確率は0である。これは、iid仮定により、すべての表が出る確率は単に となるためである。仮定によりとなるため、 とすると0となる。0と1の間に厳密に制約する限り、コインをどれだけ表に偏らせても結果は同じである。実際、無限小確率が許容される非標準解析においても同じ結果が成り立つ。[ 5 ]n{\displaystyle n}P(Xi=H, i=1,2,…,n)=(P(X1=H))n=pn{\displaystyle P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}}n→∞{\displaystyle n\rightarrow \infty }p∈(0,1){\displaystyle p\in (0,1)}p{\displaystyle p}

さらに、「一連の投げに少なくとも1つの」という事象もほぼ確実に発生します（つまり、確率1）。しかし、もし無限回投げるのではなく、ある有限時間（例えば1,000,000回）で投げを止めるとしたら、すべて表が出る確率 は0ではなくなり、少なくとも1つの裏が出る確率 は1ではなくなります（つまり、この事象はもはやほぼ確実ではなくなります）。 T{\displaystyle T}p1,000,000{\displaystyle p^{1,000,000}}1−p1,000,000{\displaystyle 1-p^{1,000,000}}

漸近的にほぼ確実に

漸近解析において、ある性質が漸近的にほぼ確実に（aas）成立するとは、集合の列全体にわたって確率が1に収束することである。これは確率における収束と同等である。例えば、数論においては、素数定理により、大きな数は漸近的にほぼ確実に合成数となる。また、ランダムグラフ理論においては、「は連結である」（ は辺確率 を持つ頂点上のグラフを表す）という命題は、ある条件において、G(n,pn){\displaystyle G(n,p_{n})}G(n,p){\displaystyle G(n,p)}n{\displaystyle n}p{\displaystyle p}ε>0{\displaystyle \varepsilon >0}

pn>(1+ε)ln⁡nn.{\displaystyle p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.}   [ 6 ]

数論では、これは「ほぼすべて」、つまり「ほとんどすべての数は合成数である」という表現で表されます。同様に、グラフ理論では、これは「ほぼ確実に」という表現で表されます。[ 7 ]

参照

注記

  1. ^ Weisstein, Eric W. 「Almost Surely」 . mathworld.wolfram.com . 2019年11月16日閲覧。
  2. ^ 「ほぼ確実 - Math Central」 . mathcentral.uregina.ca . 2019年11月16日閲覧。
  3. ^ Grädel, Erich; Kolaitis, Phokion G.; Libkin, Leonid ; Marx, Maarten; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Yde; Weinstein, Scott (2007).有限モデル理論とその応用. Springer. p  . 232. ISBN 978-3-540-00428-8。
  4. ^ジャコッド、ジーン;プロッター (2004)。確率の必需品。スプリンガー。 p.  ３７．ISBN 978-3-540-438717。
  5. ^ウィリアムソン, ティモシー (2007-07-01). 「表が無限に続く確率はどれほどか？」 . Analysis . 67 (3): 173– 180. doi : 10.1093/analys/67.3.173 . ISSN 0003-2638 . 
  6. ^ Friedgut, Ehud; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (2006年1月). 「すべての辺の色付けにおいて単色三角形を持つランダムグラフの鋭い閾値」. Memoirs of the American Mathematical Society . 179 (845). AMS Bookstore: 3– 4. doi : 10.1090/memo/0845 . ISSN 0065-9266 . S2CID 9143933 .  
  7. ^スペンサー、ジョエル・H. (2001). 「0. 二つの初期例」 .ランダムグラフの奇妙な論理. アルゴリズムと組合せ論. 第22巻. シュプリンガー. p. 4. ISBN 978-3540416548。

参考文献

  • ロジャース, LCG; ウィリアムズ, デイヴィッド (2000). 『拡散、マルコフ過程、マルチンゲール』 第1巻 基礎. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521775946。
  • ウィリアムズ、デイビッド (1991).マルチンゲール法による確率論. ケンブリッジ数学教科書. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521406055。
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