最初の魅力

初期魅力度は、バラバシ・アルバートモデル（優先的接続モデル）の拡張として考えられます。バラバシ・アルバートモデルは、次数分布が純粋なべき乗則で記述できるスケールフリーネットワークを生成します。しかし、現実のネットワークの次数分布は、ほとんどの場合、べき乗則だけで記述することはできません。現実のネットワークで見られる次数分布に関する最も一般的な矛盾は、高次カットオフ（または構造的カットオフ）と低次飽和です。バラバシ・アルバートモデルに初期魅力度を組み込むことで、低次飽和現象に対処できます。

直感的にも、新しい都市に引っ越したとしても、知り合いが誰もいなくても新しいつながりを作ることができるので、これは理にかなっています。しかし、バラバシ＝アルバートモデルでは、次数ゼロのノードが新しいつながりを獲得する確率は0です。初期の魅力度があれば、既にどれだけのつながりを持っているかに関係なく、常に残余の「魅力度」が存在します。

意味

バラバシ・アルバートモデルは、以下の線形優先接続規則を定義する：。これは、新しいノードが次数ゼロのノードに接続される確率がゼロ – であることを意味する。バラバシ・アルバートモデルの優先接続関数は、 Dorogovtsev-Mendes-Samukhin [ 1 ]によって提案されたように、以下のように修正することができる。定数はノードの初期の魅力度を表す。このことから、初期の魅力度に関する優先接続規則は以下のようになる： Π（け私）＝け私∑jけj{\displaystyle \Pi \left(k_{i}\right)={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}}Π（0）＝0{\displaystyle \Pi (0)=0}Π（け）＝あ+け{\displaystyle \Pi (k)=A+k}あ{\displaystyle A}

Π（け私）＝あ+け私∑j（あ+けj）{\displaystyle \Pi (k_{i})={\frac {A+k_{i}}{\sum \limits _{j}(A+k_{j})}}}

この接続規則に基づいて、次のことが推測できます。これは、孤立したノードであっても、新しく到着したノードとの接続を獲得するチャンスがあることを意味します。 Π（0）〜あ{\displaystyle \Pi (0)\sim A}Π（0）{\displaystyle \Pi (0)}

結果

初期魅力度の存在は、2つの重要な結果をもたらします。1つは、次数カットオフ（または次数飽和）が小さいことです。次数飽和は、初期魅力度を用いることで低次数ノードへの接続確率が上昇し、次数分布におけるそれらの確率が平坦化されるため発生します。

もう一つの結果は、次数分布の次数指数の増加である。[ 2 ] これはネットワークの特性を変化させるため重要である。ネットワークはより均質になり、ランダムネットワークに近づき、ハブのサイズと頻度は減少する。

小さな度のカットオフ/飽和

低次数飽和は経験的な規則性です。つまり、次数分布をべき乗法則で記述すると予想されるよりも、低次数ノードの数は少なくなります。この現象が発生する理由は、初期の魅力度が、ノードが到着ノードとの接続を獲得する確率を高めるためです。この接続確率の増加は、ノードがより多くの接続を獲得するにつれて限界的なものとなり、分布の右裾には影響を与えません。初期の魅力度を持つモデルの次数分布は、次のように記述できます。 pけ＝C⋅（け+あ）−γ{\displaystyle p_{k}=C\cdot (k+A)^{-\gamma}

例

対数対数スケールの初期の魅力により、次数のカットオフが小さくなります。

現実のネットワークでは、次数分布が何らかの小さなカットオフを示すケースが数多く存在します。以下にその例を挙げます。

高次指数

重要なのは、バラバシ–アルバートモデルの場合、次数分布の指数（ここでは と表記）の値が 3 である点です。初期魅力度を持つバラバシ–アルバートモデルの場合、次数指数は となります。ここで はネットワーク内の初期のリンク数を表します。 が3 より大きい場合、ネットワークはランダムネットワーク領域にあり、初期ノードの数が増えるにつれてスケールフリー領域に収束します。初期魅力度の値についても同様で、 が大きいほどネットワークがランダムネットワーク領域にあることを意味します。これは、比較的高い次数を持つノードの数がバラバシ–アルバートモデルの場合よりも少なくなることを意味します。次数指数が高いということは、一般にネットワークがより均質であることを意味します。ほとんどのノードは平均的にリンクされています。[ 7 ] [ 8 ]γ{\displaystyle \gamma}γ＝3+あメートル{\displaystyle \gamma =3+{\frac {A}{m}}}メートル{\displaystyle m}γ{\displaystyle \gamma}あ{\displaystyle A}

参照

参考文献

  1. ^ Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF; Samukhin, AN (2000). 「優先的結合を伴う成長するネットワークの構造」. Phys. Rev. Lett . 85 (21): 4633– 4636. arXiv : cond-mat/0004434 . Bibcode : 2000PhRvL..85.4633D . doi : 10.1103 /physrevlett.85.4633 . PMID  11082614. S2CID  118876189 .
  2. ^アラバマ州バラバシ (2015)。ネットワーク科学。
  3. ^ Ying, D. (2011). 「科学的コラボレーションとエンドースメント：共著と引用ネットワークのネットワーク分析」 . Journal of Informetrics . 5 (1): 187– 203. doi : 10.1016/j.joi.2010.10.008 . PMC 3041944. PMID 21344057 .  
  4. ^ Watts, DJ; Strogatz, SH (1998) . 「『スモールワールド』ネットワークの集団ダイナミクス」. Nature . 393 (6684): 440– 444. Bibcode : 1998Natur.393..440W . doi : 10.1038/30918 . PMID 9623998. S2CID 4429113 .  
  5. ^ Barabasi, A.-L.; Albert, R. (1999). 「ランダムネットワークにおけるスケーリングの出現」. Science . 286 (5439): 509– 512. arXiv : cond-mat/9910332 . Bibcode : 1999Sci ...286..509B . doi : 10.1126/science.286.5439.509 . PMID 10521342. S2CID 524106 .  
  6. ^ Ying, D. (2011). 「科学的コラボレーションとエンドースメント：共著と引用ネットワークのネットワーク分析」 . Journal of Informetrics . 5 (1): 187– 203. doi : 10.1016/j.joi.2010.10.008 . PMC 3041944. PMID 21344057 .  
  7. ^ Dorogovtsev, SN; Mendes, JFF; Samukhin, AN (2000). 「優先的結合を伴う成長するネットワークの構造」. Phys. Rev. Lett . 85 (21): 4633– 4636. arXiv : cond-mat/0004434 . Bibcode : 2000PhRvL..85.4633D . doi : 10.1103 /physrevlett.85.4633 . PMID 11082614. S2CID 118876189 .  
  8. ^ Godreche, C.; Grandclaude, H.; Luck, Luck (2009). 「成長するネットワークの次数統計における有限時間変動」. Journal of Statistical Physics . 137 ( 5–6 ): 1117–1146 . arXiv : 0907.1470 . Bibcode : 2009JSP ...137.1117G . doi : 10.1007/s10955-009-9847-5 . S2CID 14010514 . 
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