内測

数学、特に測度論において、内測度（ないさきょうど）とは、与えられた集合の冪集合上の関数であり、拡張実数に値を持ち、いくつかの技術的な条件を満たす。直感的には、集合の内測度はその集合の大きさの下限である。

意味

内部測度は、次の条件を満たす 集合の すべての部分集合上で定義される集合関数です。$${\displaystyle \varphi :2^{X}\to [0,\infty ],}$$ ${\displaystyle X,}$

• 空集合：空集合は内部測度がゼロです（測度ゼロも参照）。つまり、$${\displaystyle \varphi (\varnothing )=0}$$
• 超加法性：任意の互いに素な集合と${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ $${\displaystyle \varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B)。}$$
• 減少する塔の極限：各集合 に対して、${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle A_{j}\supseteq A_{j+1}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \varphi (A_{1})<\infty }$ $${\displaystyle \varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})}$$
• 測度が有限でない場合、つまり となる集合が存在する場合、この無限大に近づく必要があります。より正確には、集合 に対して であれば、任意の正の実数に対して となる集合が存在することになります。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi (A)=\infty }$ ${\displaystyle \varphi (A)=\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$ $${\displaystyle r\leq \varphi (B)<\infty .}$$

尺度によって誘導される内部尺度

を集合上のσ-代数とし、を上の測度とする。すると、によって誘導される 内部測度は次のように定義される。 ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle \mu_{*}}$ ${\displaystyle \mu}$ $${\displaystyle \mu _{*}(T)=\sup\{\mu (S):S\in \Sigma {\text{ and }}S\subseteq T\}.}$$

本質的には、任意の集合の大きさの下限を与える。これは、その集合の -測度が、その -測度可能な部分集合の -測度と少なくとも同じ大きさであることを保証することによって行われる。集合関数は通常は測度ではないが、以下の性質を測度と共有する。 ${\displaystyle \mu_{*}}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu_{*}}$ ${\displaystyle \mu_{*}}$

1. ${\displaystyle \mu_{*}(\varnothing)=0,}$
2. ${\displaystyle \mu_{*}}$ は非負である、
3. もしそうなら${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle \mu _{*}(E)\leq \mu _{*}(F)。}$

測定完了

誘導された内部測度は、外部測度と組み合わせて、より大きなσ-代数に測度を拡張するためによく用いられる。がσ-代数上で定義された有限測度であり、と がそれぞれ誘導された外部測度と内部測度である場合、となる集合はを有するσ-代数を形成する。^{[ 1 ]} 全てのに対して によって定義される 集合関数は、の完備化として知られる上の測度である。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu^{*}}$ ${\displaystyle \mu_{*}}$ ${\displaystyle T\in 2^{X}}$ ${\displaystyle \mu_{*}(T)=\mu^{*}(T)}$ ${\displaystyle {\hat {\シグマ }}}$ ${\displaystyle \Sigma \subseteq {\hat {\Sigma }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ $${\displaystyle {\hat {\mu}}(T)=\mu ^{*}(T)=\mu _{*}(T)}$$ ${\displaystyle T\in {\hat {\Sigma }}}$ ${\displaystyle {\hat {\シグマ }}}$ ${\displaystyle \mu .}$

参照

• ルベーグ可測集合 – 任意の次元における面積の概念リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ

参考文献

1. ハルモス 1950、§ 14、定理 F

• ハルモス、ポール R.、「測度論」、D. ヴァン ノストランド カンパニー、Inc.、1950 年、58 ページ。
• ANコルモゴロフとSVフォミン、リチャード・A・シルバーマン訳『実解析入門』ドーバー出版、ニューヨーク、1970年、ISBN 0-486-61226-0（第7章）