設定機能

数学、特に測度論において、集合関数とは、ある与えられた集合の部分集合の族を定義域とし、（通常）実数と実数からなる拡張実数直線上に値をとる関数である。${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pm \infty .}$

集合関数は一般的に、何らかの方法で部分集合を測定することを目的としています。測度は、集合関数を「測定する」典型的な例です。そのため、「集合関数」という用語は、「測度」の数学的意味と一般的な言語的意味との混同を避けるためによく使用されます。

定義

が上の集合族（つまり が冪集合を表す）である場合、上の集合関数は定義域と余定義域を持つ関数です。ただし、ベクトル測度、複素測度、射影値測度の場合のように、余定義域がベクトル空間となることもあります。集合関数の定義域には任意の数の特性があります。よく見られる族の特性とカテゴリを下の表に示します。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (\Omega )}$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 上の集合の族${\displaystyle \オメガ}$ v t e
必ず真である${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	監督​${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	FIP
πシステム
セミリング										一度もない
半代数（半体）										一度もない
モノトーンクラス						場合にのみ${\displaystyle A_{i}\searrow }$	場合にのみ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
𝜆システム（ディンキンシステム）				場合にのみ${\displaystyle A\subseteq B}$			またはそれらが互いに素である場合のみ${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			一度もない
リング（順序理論）
環（測度論）										一度もない
δ環										一度もない
𝜎リング										一度もない
代数学（分野）										一度もない
𝜎代数（𝜎体）										一度もない
フィルター
適切なフィルター				一度もない	一度もない				一度もない
プレフィルター（フィルターベース）
フィルターサブベース
オープントポロジー							（任意であっても）${\displaystyle \cup }$			一度もない
閉じたトポロジ						（任意であっても）${\displaystyle \cap}$				一度もない
必ず真である${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ か、または次の条件を満たしている:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	下向き​	有限交差	有限結合	相対的な補語	補完する${\displaystyle \オメガ}$	可算交差点	可算和集合	含む${\displaystyle \オメガ}$	含む${\displaystyle \varnothing }$	有限交差特性
さらに、半環とはπ系であり、その補集合は π系における有限な素集合の和集合に等しい。半代数はπ系であり、その補集合はπ系における有限な素集合の和集合に等しい。半環はπ系であり、その補集合はπ系における任意の元であり、${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

一般的に、 は常にすべての に対して明確に定義されている、あるいは同値として はと の両方を値として取らない、と仮定されます。この記事では以降この仮定を用いますが、代わりに、以下の定義はすべて「和/級数が定義されるときはいつでも」といった記述で限定することもできます。これは減算によって行われることもあり、例えば次の結果は が有限加法的であるときはいつでも成り立ちます。 ${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle -\infty}$ ${\displaystyle +\infty}$ ${\displaystyle \mu}$

差分式：を満たすように定義されます。${\displaystyle \mu (F)-\mu (E)=\mu (F\setminus E){\text{ いつでも }}\mu (F)-\mu (E)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\subseteq F}$ ${\displaystyle F\setminus E\in {\mathcal {F}}.}$

ヌルセット

セットは${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ 空集合（に関して）または単に${\displaystyle \mu }$ いずれかと等しくない場合は nullとなり、通常は以下も想定されます。 ${\displaystyle \mu (F)=0.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

• null 空集合:if${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}.}$

変異と質量

その集合の全変動は 、 絶対値 表す（より一般的には、半）ノルム空間においてベクトル値を持つ場合ノルムまたは半ノルムを）。 と仮定すると、は${\displaystyle S}$ $${\displaystyle |\mu |(S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup\{|\mu (F)|:F\in {\mathcal {F}}{\text{ and }}F\subseteq S\}}$$ ${\displaystyle |\,\cdot \,|}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle |\mu |\left(\cup {\mathcal {F}}\right)}$ との合計変動は${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \left(\cup {\mathcal {F}}\right)}$ 質量​${\displaystyle \mu .}$

集合関数が呼び出される任意の値に対して有限である${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)}$ 有限（定義により、およびを意味する）;${\displaystyle \mu (F)\neq \infty }$ ${\displaystyle \mu (F)\neq -\infty }$ 無限値とは、またはに等しい値です。すべての有限集合関数は有限の質量。 ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

集合関数の共通の性質

上の集合関数は^{[ 1 ]}と呼ばれる。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• 負でない場合は、${\displaystyle [0,\infty ].}$
• 有限加法的とは、すべての対素な有限列、${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
  • が二項和集合に関して閉じている場合、すべての素なペアに対して有限加法的となるのは、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (E\cup F)=\mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}.}$
  • が有限加算的であり、の場合、を取ることは、の場合のみ、またはの場合のみ可能であることを示します(したがって、の場合のみが有用です)。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E:=F:=\varnothing }$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=\mu (\varnothing )+\mu (\varnothing )}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=\pm \infty ,}$ ${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing )=\mu (E)+(\pm \infty )=\pm \infty }$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• 可算加算的またはσ加法^{[ 2 ]}は有限加法であることに加えて、すべての対素なシーケンスに対して次のすべてが成り立つ 場合${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}},}$
  1. ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$
     • 左辺の級数は、通常の方法で極限として定義される。${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$
     • 結果として、 が任意の順列／一対一であるとき、となる。そして、この条件(a)を2回適用すると、 と の両方が成立することが保証される。定義により、この性質を持つ収束級数は無条件収束であると言われる。平易に言えば、これは集合を新しい順序に並べ替えたりラベルを付け直したりしても、それらの測度の和は影響を受けないことを意味する。これは望ましいことである。なぜなら、和がこれらの集合の順序に依存しないのと同様に、和とについても同様のことが当てはまるはずであるからである。${\displaystyle \rho :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right);}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{\rho (i)}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{\rho (i)}\right)}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots }$ ${\displaystyle F_{\rho (1)},F_{\rho (2)},\ldots }$ ${\displaystyle F~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}$ ${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots }$ ${\displaystyle \mu (F)=\mu \left(F_{\rho (1)}\right)+\mu \left(F_{\rho (2)}\right)+\cdots \,.}$
  2. が無限でない場合、この級数は必ず絶対収束する。これは定義により、 が有限でなければならないことを意味する。が非負（あるいは拡張実数で評価されるだけでも） であれば、これは自動的に真となる。${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$ ${\displaystyle \mu }$
     • 実数の任意の収束級数と同様に、リーマン級数定理によれば、級数は絶対収束するため、その和がその項の順序に依存しない（無条件収束として知られる性質）ことが求められる。無条件収束は上記(a)によって保証されているため、が${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)={\displaystyle \lim _{N\to \infty }}\mu \left(F_{1}\right)+\mu \left(F_{2}\right)+\cdots +\mu \left(F_{N}\right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$
  3. が無限大の場合、級数の少なくとも1つの値が有限であることも必要です（つまり、それらの値の合計が明確に定義される必要があります）。が非負の場合、これは自動的に真となります。${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)>0}}\mu \left(F_{i}\right)\;{\text{ and }}\;\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in \mathbb {N} }{\mu \left(F_{i}\right)<0}}\mu \left(F_{i}\right)\;}$ ${\displaystyle \mu }$
• 1つのそれが非負で、可算加法性（有限加法性）を持ち、ヌル空集合を持つかどうかを事前に測定します。
• 1つのσ-代数を定義域とする前測度の場合、測度と呼ばれます。つまり、測度とは、σ-代数上の非負の可算加法集合関数であり、その関数は空集合 を零とします。
• 1つの確率測度は、質量が${\displaystyle 1.}$
• 一つの非負で、可算部分加法性がヌルの空集合を持ち、その定義域として べき集合を持つ場合、外測度と呼ばれます。${\displaystyle \wp (\Omega )}$
  • 外測度はカラテオドリーの拡張定理に現れ、カラテオドリー測定可能な部分集合に制限されることが多い。
• 1つの可算加算可能で、ヌル空集合、を取らない場合は、符号付き測度 になります。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$
• あらゆる空集合のあらゆる部分集合が空集合であるとき、これは完全である。明示的には、これは次およびの任意の部分集合であるおよび${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ satisfies }}\mu (F)=0}$ ${\displaystyle N\subseteq F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (N)=0.}$
  • 他の多くの特性とは異なり、完全性はセットに対して（の値だけではなく）要件を課します。${\displaystyle \operatorname {domain} \mu ={\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$
• 𝜎有限とは、任意の添え字に対して有限であるような数列が存在し、${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }F_{n}=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F.}$
• 分解可能とは、任意の に対して が有限であり、（ただし）で ような、ペアワイズ分離集合の部分族が存在するときです${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (P)}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{P\in {\mathcal {P}}}\,P=\textstyle \bigcup \limits _{F\in {\mathcal {F}}}F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\operatorname {domain} \mu }$
  • 任意の𝜎有限集合関数は分解可能であるが、その逆は成り立たない。例えば、（定義域が）上の計数測度は分解可能であるが𝜎有限ではない。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$
• 1つのベクトル測度とは、定義域がσ-代数位相ベクトル空間ノルム空間など）で値を持つ可算加法集合関数である場合に、。 ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ ${\displaystyle X}$
  • がノルム空間で値を持つ場合、それが可算加法であることと、その中の任意の2つの互いに素な列に対してが有限加法であり、バナッハ空間で値を持つ場合、それが可算加法であることと、その中の任意の2つの互いに素な列に対して が有限加法であり、その中の任意の2つの互いに素な列に対して が有限加法である${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right)-\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\right\|=0.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(F_{n}\cup F_{n+1}\cup F_{n+2}\cup \cdots \right)\right\|=0.}$
• 1つの複素測度とは、定義域がσ-代数可算加法複素値集合関数。 ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {C} }$
  • 定義により、複雑なメジャーは を値として取ることはなく、したがってnull の空セットを持ちます。${\displaystyle \pm \infty }$
• 1つの測定値を持つランダム要素の場合は、ランダム測定。

任意の金額

この記事の一般化級数のセクションで説明されているように、任意のインデックス セットによってインデックス付けされた実数の任意のファミリーについて、その和を、ドメインが によって方向付けられる有限部分和のネットの極限として定義することができます。 このネットが収束するときは常に、その極限は 記号で示され、このネットが に発散する場合はと書くことで示されます。 空セット上の任意の和は 0 と定義されます。つまり、 の場合、定義により となります。 ${\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F}r_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {FiniteSubsets} (I)}$ ${\displaystyle \,\subseteq .\,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \pm \infty }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\pm \infty .}$ ${\displaystyle I=\varnothing }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \varnothing }r_{i}=0}$

例えば、任意の に対して であれば となり、である ことが証明できます。 であれば、一般化級数がで収束するのは、 が通常の意味で無条件に収束する（または、絶対的に収束する）場合のみとなります。 一般化級数がで収束する場合、 と はどちらもの元に収束し、集合は必然的に可算（つまり、有限 または可算無限）です。 を任意のノルム空間で置き換えても、このことは変わりません。^{[証明 1 ]}したがって、一般化級数がまたはで収束する ためには、最大で可算個を除くすべての がに等しくなることが必要であり、つまり は最大で可算個の非ゼロ項の和になります。言い換えると、が不可算であれば、一般化級数は収束しません。 ${\displaystyle z_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}z_{i}=0.}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}=0}}r_{i}+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=0+\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}=\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I,}{r_{i}\neq 0}}r_{i}.}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}>0}}r_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}<0}}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}}$ ${\displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}}$

要約すると、実数の性質とその位相により、収束する実数の一般級数（任意の集合で添え字付けされたもの）はすべて、可算個の実数の通常の絶対収束級数に還元できます。したがって、測度論の文脈では、非可算個の集合と一般級数を検討してもほとんど利点はありません。特に、これが「可算加法」の定義が、（通常の可算級数を含む）の可算個の集合から、任意個の集合（および一般級数を含む）に拡張されることがほとんどない理由です。 ${\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \left(F_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}\mu \left(F_{i}\right)}$

内部測定、外部測定、その他のプロパティ

集合関数は^{[ 1 ]}を満たすと言われている。${\displaystyle \mu }$

• 単調な場合はいつでも満足${\displaystyle \mu (E)\leq \mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\subseteq F.}$
• モジュラーとは、次の条件（モジュラー性）場合。${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)=\mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
  • 集合体上のすべての有限加法関数はモジュラーです。
  • 幾何学において、この性質を持つアーベル半群に値を持つ集合関数は、評価値と呼ばれます。この幾何学的な「評価値」の定義は、以下に示すより強い非同値な測度論的「評価値」の定義と混同してはならない。
• となるようなすべての場合において劣モジュラである${\displaystyle \mu (E\cup F)+\mu (E\cap F)\leq \mu (E)+\mu (F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\cup F,E\cap F\in {\mathcal {F}}.}$
• を満たす有限列に対して有限劣加法的であるとき、${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$ ${\displaystyle F,F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}F_{i}.}$
• 可算的に加法性が低い、またはを満たすすべてのシーケンスに対してσ-劣加法である${\displaystyle |\mu (F)|\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\left|\mu \left(F_{i}\right)\right|}$ ${\displaystyle F,F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\;\subseteq \;\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}.}$
  • が有限和で閉じている場合、この条件はすべての に対してである場合に限り成立します。 が負でない場合は、絶対値を削除できます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle |\mu (F\cup G)|\leq |\mu (F)|+|\mu (G)|}$ ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • が測度である場合、この条件は^{[ 3 ]}のすべての場合においてである場合に限り成立します。 が確率測度である場合、この不等式はブールの不等式です。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)\leq \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},F_{3},\ldots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • が可算劣加法であり、の場合、は有限劣加法です。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu }$
• 常に互いに素であるならば、超加法的である${\displaystyle \mu (E)+\mu (F)\leq \mu (E\cup F)}$ ${\displaystyle E,F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E\cup F\in {\mathcal {F}}.}$
• およびすべてのである、すべての非増加の集合に対して、上から連続である。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq F_{3}\cdots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$
  • ルベーグ測度は上から連続的であるが、すべての測度が最終的に有限であるという仮定を定義から省略した場合は連続的ではなくなる。次の例が示す通りである。任意の整数に対して、開区間を次のようにする。${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu \left(F_{i}\right)}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle (i,\infty )}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda \left(F_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\infty =\infty \neq 0=\lambda (\varnothing )=\lambda \left(\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}=\varnothing .}$
• 下から連続とは、任意の非減少集合に対して、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(F_{i}\right)=\mu \left(\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\right)}$ ${\displaystyle F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq F_{3}\cdots \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }F_{i}\in {\mathcal {F}}.}$
• が成り立つとき、すべての実数に対して、成り立つようなものが存在し、${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu (F)=\infty }$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle F_{r}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{r}\subseteq F}$ ${\displaystyle r\leq \mu \left(F_{r}\right)<\infty .}$
• が非負で、可算劣加法であり、ヌルの空集合を持ち、その定義域としてべき集合を持つ場合、は外部測度である。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$
• 一つのが非負で、超加法性が、上から連続しヌルの空集合を持ち、べき集合を、下から近づく場合、内部測度。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$ ${\displaystyle +\infty }$
• 測定可能な正の測度のすべての集合に原子が含まれる場合、原子。

二項演算 が定義されている場合、集合関数は次のように呼ばれる。 ${\displaystyle \,+\,}$ ${\displaystyle \mu }$

• 全てのおよびに対して、${\displaystyle \mu (\omega +F)=\mu (F)}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \omega +F\in {\mathcal {F}}.}$

トポロジ関連の定義

が 上の位相である場合、集合関数は次のようになります。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$

• 1つのボレル測度とは、すべてのボレル集合の σ-代数上で定義された測度であり、すべての開部分集合を含む（つまり、 を含む）最小の σ-代数である。${\displaystyle \tau }$
• 1つのすべてのBaire 集合の σ 代数上で定義された測度である場合、 Baire 測度。
• あらゆる点に対して、その点の近傍が存在し、それが有限である場合、その点は局所的に有限である。 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}\cap \tau }$ ${\displaystyle \mu (U)}$
  • が有限加法的、単調、かつ局所有限である場合、任意のコンパクト可測部分集合に対しては必然的に有限となる。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (K)}$ ${\displaystyle K.}$
• ${\displaystyle \tau }$ -加法的である、すなわちがに関して向けられ、${\displaystyle \mu \left({\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}\right)=\sup _{D\in {\mathcal {D}}}\mu (D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq \tau \cap {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup }\,{\mathcal {D}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\textstyle \bigcup \limits _{D\in {\mathcal {D}}}D\in {\mathcal {F}}.}$
  • ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ が に関して有向であるとき、かつそれが空でない場合、かつすべての に対してが存在し、${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle B\subseteq C.}$
• 内側の通常またはタイトな場合ごとに${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)=\sup\{\mu (K):F\supseteq K{\text{ with }}K\in {\mathcal {F}}{\text{ a compact subset of }}(\Omega ,\tau )\}.}$
• 外側の正規表現は、すべての${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mu (F)=\inf\{\mu (U):F\subseteq U{\text{ and }}U\in {\mathcal {F}}\cap \tau \}.}$
• 内部正規分布と外部正規分布の両方が満たされている場合は正規分布です。
• 1つのボレル正則測度 (ボレル正則測度、つまり、正則)。
• 1つのラドンの尺度は、規則的かつ局所的に有限な尺度である場合に使用されます。
• すべての空でない開部分集合が（厳密に）正の測度を持つ場合、厳密に正である。
• 1つの非負、単調、モジュラー、空集合が空、定義域が空の場合の評価${\displaystyle \tau .}$

集合関数間の関係

と が上の 2 つの集合関数である場合、次のようになります。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle \mu }$ と言われているに関して絶対連続で${\displaystyle \nu }$ あるか支配的${\displaystyle \nu }$ 、両方の定義域に属する任意の集合に対して と、そしてならば${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu ,}$ ${\displaystyle \nu (F)=0}$ ${\displaystyle \mu (F)=0.}$
  • とが同じ可測空間上の有限測度であり、ラドン・ニコディム微分が存在し、任意の可測空間に対して${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu \ll \nu ,}$ ${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}}$ ${\displaystyle F,}$ $${\displaystyle \mu (F)=\int _{F}{\frac {d\mu }{d\nu }}d\nu .}$$
  • ${\displaystyle \mu }$ そして呼ばれる${\displaystyle \nu }$ それぞれが他のものに対して 絶対的に連続している場合、等価である${\displaystyle \mu }$ が有限であり、それらが同値である場合の測度の支持測度^{。 [ 4 ]}${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \mu }$ そして​${\displaystyle \nu }$ 特異集合、の領域に互いに素な集合 と が存在し、の領域内のすべての に対して、の領域内のすべての に対して となる、${\displaystyle \mu \perp \nu ,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle M\cup N=\Omega ,}$ ${\displaystyle \mu (F)=0}$ ${\displaystyle F\subseteq M}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \nu (F)=0}$ ${\displaystyle F\subseteq N}$ ${\displaystyle \nu .}$

例

セット関数の例には次のものがあります。

• 十分に適切に動作するサブセットに密度を割り当てる関数は、集合関数です。$${\displaystyle d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\ldots ,n\}|}{n}},}$$ ${\displaystyle A\subseteq \{1,2,3,\ldots \},}$
• 確率測度は、σ-代数の各集合に確率を割り当てる。具体的には、空集合の確率は0であり、標本空間の確率は、他の集合が～の間の確率を与えられた場合である。${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1.}$
• 可能性測度は、ある集合の冪集合内の各集合に0から1までの数値を割り当てる。可能性理論を参照。
• ランダム集合は集合値を持つランダム変数です。 「ランダムコンパクト集合」の記事を参照してください。

ジョルダン測度は、そのすべてのジョルダン測定可能サブセットの集合上で定義される集合関数であり、ジョルダン測定可能集合をそのジョルダン測度に送信します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n};}$

ルベーグ測度

上のルベーグ測度は、ルベーグ代数に属するすべての実数集合に非負の実数を割り当てる集合関数である。^{[ 5 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma }$

その定義は、実数のすべての区間の集合から始まり、これは上の半代数です。 すべての区間に を割り当てる関数は、有限加法的な集合関数です（明示的に、 が端点を持つ場合、 ）。この集合関数は、上のルベーグ外部測度に拡張でき、 は部分集合を下限に送る並進不変な集合関数です。 ルベーグ外部測度は可算加法ではありません（したがって測度ではありません）。ただし、カラテオドリ基準を満たすすべての部分集合の𝜎-代数への制限は、 ルベーグ測度 と呼ばれる測度です。 ヴィタリ集合は、実数の 非測定集合の例です。${\displaystyle \operatorname {Intervals} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {length} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle \operatorname {length} (I)=b-a}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}:\wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {length} (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$ ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(M)=\lambda ^{\!*\!}(M\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(M\cap E^{c})\quad {\text{ for every }}S\subseteq \mathbb {R} }$$

無限次元空間

無限次元ルベーグ測度に関する記事で詳述されているように、無限次元の可分ノルム空間上で局所有限かつ並進不変なボレル測度は自明測度のみである。しかし、無限次元位相ベクトル空間上ではガウス測度を定義することが可能である。ガウス測度の構造定理は、抽象ウィーナー空間構成が、可分バナッハ空間上で厳密に正のガウス測度を得るための実質的に唯一の方法であることを示している。

有限加法的な並進不変集合関数

のすべてのコンパクト部分集合上で有限な定義域を持つ上の唯一の並進不変測度は、と等価である（つまり、すべてのを に送る）自明な集合関数である^{[ 6 ]。} しかし、可算加法性が有限加法性に弱められた場合、これらの特性を持つ非自明な集合関数が存在し、さらに、 においても値を持つものもある。実際、を他の任意のアーベル群に置き換えた場合でも、このような非自明な集合関数は存在する^{[ 7 ]。}${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \wp (\mathbb {R} )\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [0,1].}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G.}$

定理^{[ 8 ]} —が任意のアーベル群であるとき、質量の有限加法的かつ並進不変な^{[注1 ]}集合関数が存在する。${\displaystyle (G,+)}$ ${\displaystyle \mu :\wp (G)\to [0,1]}$ ${\displaystyle \mu (G)=1.}$

集合関数の拡張

半代数から代数への拡張

が上の半代数上の集合関数であるとし、 が によって生成される上の代数 であるとする。代数でもない半代数の典型的な例は、 すべてのに対して となる上の 族である ^{[ 9 ]。}重要なのは、の2 つの非厳密な不等式は厳密な不等式で置き換えることができないということである。なぜなら、半代数は である基礎集合全体を含まなければならないからであり、 は半代数の要件である ( も同様である)。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}):=\left\{F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}:n\in \mathbb {N} {\text{ and }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ are pairwise disjoint }}\right\},}$$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{d}:=\{\varnothing \}\cup \left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{1},b_{1}\right]~:~-\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty {\text{ for all }}i=1,\ldots ,d\right\}}$$ ${\displaystyle \Omega :=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle (a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a<b\leq \infty .}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle -\infty \leq a_{i}<b_{i}\leq \infty }$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d};}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\in {\mathcal {S}}_{d}}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}_{d}}$

が有限加法的である場合、 上の集合関数への一意の拡張が定義され、（ただし、 はこれらが互いに素であることを示す） を に送ることによって定義される： ^{[ 9 ]} この拡張は有限加法的である： 任意の互いに素な に対して^{[ 9 ]}${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ ${\displaystyle \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \,\sqcup \,}$ ${\displaystyle F_{i}\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(F_{1}\sqcup \cdots \sqcup F_{n}\right):=\mu \left(F_{1}\right)+\cdots +\mu \left(F_{n}\right).}$$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}}),}$ $${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\right)={\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$

加えて が拡張実数値かつ単調であるとき（特に が非負の場合にはそうなる）、 は単調かつ有限劣加法となる。^{[ 9 ]}${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ ${\displaystyle A,A_{1},\ldots ,A_{n}\in \operatorname {algebra} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle A\subseteq A_{1}\cup \cdots \cup A_{n},}$ $${\displaystyle {\overline {\mu }}\left(A\right)\leq {\overline {\mu }}\left(A_{1}\right)+\cdots +{\overline {\mu }}\left(A_{n}\right).}$$

環からσ-代数への拡張

が上の集合環（集合代数など）上の前測度である場合、はによって生成されるσ 代数上の測度への拡張を持ちます。がσ 有限である場合、この拡張は一意です。 ${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\overline {\mu }}:\sigma ({\mathcal {F}})\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mu }$

この拡張を定義するには、まずによって 上の外部測度まで拡張し 、次にそれを-可測集合の集合(つまり、カラテオドリ可測集合)に制限します。これは、となる すべての の集合です。これは-代数であり、カラテオドリの補題により、その上でシグマ加法です。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle 2^{\Omega }=\wp (\Omega )}$ $${\displaystyle \mu ^{*}(T)=\inf \left\{\sum _{n}\mu \left(S_{n}\right):T\subseteq \cup _{n}S_{n}{\text{ with }}S_{1},S_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{M}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle M\subseteq \Omega }$ $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega .}$$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

外部措置の制限

が（定義により）定義域が必然的にの冪集合となる集合上の外測度である場合、部分集合は、次のカラテオドリの基準を満たすとき、-可測またはカラテオドリ可測と呼ばれる。 ここでは の補集合である。${\displaystyle \mu ^{*}:\wp (\Omega )\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \wp (\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle M\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ $${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\mu ^{*}(S\cap M)+\mu ^{*}(S\cap M^{\mathrm {c} })\quad {\text{ for every subset }}S\subseteq \Omega ,}$$ ${\displaystyle M^{\mathrm {c} }:=\Omega \setminus M}$ ${\displaystyle M.}$

すべての- 測定可能な部分集合の族はσ-代数であり、この族への外部測定の制限は測定です。 ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

参照

• 絶対連続性（測度論）  – 関数の連続性の形式Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ブール環 – 数学における代数的構造
• シリンダーセットメジャー
• 集合体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。
• ハドヴィガーの定理 – 積分幾何学における定理
• ハーン分解定理 – 測定可能性定理
• 不変測度 – 数学における概念
• ルベーグの分解定理 – 数学的測度論における定理
• 正と負のセット
• ラドン・ニコディム定理 – ある測度を別の測度の積分として表す
• リース・マルコフ・角谷表現定理 – 線型関数と測度に関する記述
• 集合環 – 和集合と相対補集合の下で閉じた集合族
• σ-代数 – 集合代数の代数的構造
• ヴィタリ・ハーン・サックスの定理

注記

1. デュレット 2019、pp.1–37、455–470。
2. デュレット 2019、466–470頁。
3. ロイデン & フィッツパトリック 2010、p. 30.
4. カレンバーグ、オラフ(2017).ランダム測定、理論と応用. 確率理論と確率モデル. 第77巻. スイス: シュプリンガー. p. 21. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3。
5. コルモゴロフとフォミン 1975
6. ルディン1991、139ページ。
7. ルディン1991、139～140頁。
8. ルディン1991、141–142頁。
9. デュレット 2019、pp.1–9。

1. 関数が並進不変であるということは、すべての部分集合に対して${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=\mu (g+S)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G.}$

証明

1. ネットが計量化可能な位相ベクトル空間（やノルム空間など）のある点に収束すると仮定する。ここで、このネットの定義域は有向集合 であることを思い出すとよい 。すべての収束ネットと同様に、この部分和の収束ネットはコーシーネットである。これは、この特定のネットでは（定義により）における原点のの有限部分集合が存在し、すべての有限スーパーセットに対して、 これは任意の に対してなる およびをとる）。 は計量化可能であるため原点に可算な近傍基数を持ち（はハウスドルフの TVS であるため）。すべての正の整数に対して、有限部分集合を選択する。がに属する 場合、 はに属する 。したがって、可算集合 に属さないすべてのインデックスに対して、${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \lim \limits _{A\in \operatorname {Finite} (I)}}\ \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}=\lim \left\{\textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}\,:A\subseteq I,A{\text{ finite }}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle (\operatorname {Finite} (I),\subseteq ).}$ ${\displaystyle A\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in A}r_{i}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle \textstyle \sum \limits _{i\in B}r_{i}-\textstyle \sum \limits _{i\in C}r_{i}\in W}$ ${\displaystyle B,C\supseteq A_{0};}$ ${\displaystyle r_{i}\in W}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{0}}$ ${\displaystyle B:=A_{0}\cup \{i\}}$ ${\displaystyle C:=A_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle A_{n}\subseteq I}$ ${\displaystyle r_{i}\in U_{n}}$ ${\displaystyle i\in I\setminus A_{n}.}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (I\setminus A_{1})\cap (I\setminus A_{2})\cap \cdots =I\setminus \left(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \right)}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\{0\}.}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots .}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

参考文献

• リチャード・ダレット(2019).確率：理論と例(PDF) . ケンブリッジ統計・確率数学シリーズ. 第49巻 (第5版). ケンブリッジ, ニューヨーク州,ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . 2020年11月5日閲覧。
• コルモゴロフ、アンドレイ、フォミン、セルゲイ・V. (2012) [1957]. 『関数論と関数解析の要素』ドーバー数学ブックス、ニューヨーク：ドーバーブックス。ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC  912495626 .
• AN KolmogorovとSV Fomin (1975)、『実解析入門』、ドーバー。ISBN 0-486-61226-0
• ロイデン、ハルゼー、フィッツパトリック、パトリック（2010年1月15日）『実分析』（第4版）ボストン：プレンティス・ホール、ISBN 978-0-13-143747-0. OCLC  456836719 .
• ルディン、ウォルター(1991).関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

さらに読む

• ソボレフ、VI（2001）[1994]、「集合関数」、数学百科事典、EMSプレス
• 数学百科事典の正規集合関数