ナノインデンテーション

ナノインデンテーション（計装化インデンテーション試験とも呼ばれる）^{[ 1 ]}は、微小体積に適用されるインデンテーション硬さ試験の一種です。インデンテーションは、材料の機械的特性を試験する上でおそらく最も一般的に用いられる方法です。ナノインデンテーション技術は、微小体積の材料の硬度を測定するために1970年代半ばに開発されました。^{[ 2 ]}

背景

従来のインデンテーション試験（マクロインデンテーションまたはマイクロインデンテーション）では、機械的特性が既知の硬い先端（多くの場合、ダイヤモンドのような非常に硬い材料で作られている）を、特性が未知のサンプルに押し付けます。先端が試料に深く入り込むにつれて、インデンターの先端にかかる荷重が増加し、すぐにユーザーが定義した値に達します。この時点で、荷重は一定時間一定に保持されるか、または除去されます。サンプルに残留する圧痕の面積を測定し、硬度は最大荷重を残留圧痕面積で割​​った値として定義されます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P_{\text{max}}}$ ${\displaystyle A_{\text{r}}}$

${\displaystyle H={\frac {P_{\text{max}}}{A_{\text{r}}}}.}}$

ほとんどの技術では、投影面積は光学顕微鏡を用いて直接測定できます。この式からわかるように、一定の荷重は「硬い」材料に「柔らかい」材料よりも小さなへこみを作ります。

この技術は、先端形状が大きく多様であること、そしてインデンター装置の空間分解能があまり高くないこと（インデントする領域の位置を正確に特定することが非常に困難であること）により限界があります。通常、異なる研究室で行われる実験間の比較は困難であり、多くの場合意味がありません。ナノインデンテーションは、非常に精密な先端形状と高い空間分解能でインデントを配置し、インデント処理中にリアルタイムの荷重-変位（表面）データを提供することで、これらのマクロおよびマイクロインデンテーション試験を改良します。

図1. 計装化ナノインデンテーション試験における荷重-変位曲線の概略図

In nanoindentation small loads and tip sizes are used, so the indentation area may only be a few square micrometres or even nanometres. This presents problems in determining the hardness, as the contact area is not easily found. Atomic force microscopy or scanning electron microscopy techniques may be utilized to image the indentation, but can be quite cumbersome. Instead, an indenter with a geometry known to high precision (usually a Berkovich tip, which has a three-sided pyramid geometry) is employed. During the course of the instrumented indentation process, a record of the depth of penetration is made, and then the area of the indent is determined using the known geometry of the indentation tip. While indenting, various parameters such as load and depth of penetration can be measured. A record of these values can be plotted on a graph to create a load-displacement curve (such as the one shown in Figure 1). These curves can be used to extract mechanical properties of the material.^[3]

Young's modulus

The slope of the curve, ${\displaystyle dP/dh}$ , upon unloading is indicative of the stiffness${\displaystyle S}$ of the contact. This value generally includes a contribution from both the material being tested and the response of the test device itself. The stiffness of the contact can be used to calculate the reduced Young's modulus${\displaystyle E_{\text{r}}}$ :

${\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{\beta }}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\frac {S}{\sqrt {A_{p}(h_{\text{c}})}}},}$

where ${\displaystyle A_{p}(h_{\text{c}})}$ is the projected area of the indentation at the contact depth ${\displaystyle h_{c}}$ , and ${\displaystyle \beta }$ is a geometrical constant on the order of unity. ${\displaystyle A_{\text{p}}(h_{\text{c}})}$ is often approximated by a fitting polynomial as shown below for a Berkovich tip:

${\displaystyle A_{p}(h_{\text{c}})=C_{0}h_{\text{c}}^{2}+C_{1}h_{\text{c}}^{1}+C_{2}h_{\text{c}}^{1/2}+C_{3}h_{\text{c}}^{1/4}+\ldots +C_{8}h_{\text{c}}^{1/128}}$

where ${\displaystyle C_{0}}$ for a Berkovich tip is 24.5 while for a cube corner (90°) tip is 2.598. The reduced modulus ${\displaystyle E_{\text{r}}}$ is related to Young's modulus ${\displaystyle E_{\text{s}}}$ of the test specimen through the following relationship from contact mechanics:

${\displaystyle 1/E_{\text{r}}=(1-\nu _{i}^{2})/E_{i}+(1-\nu _{s}^{2})/E_{\text{s}}.}$

Here, the subscript ${\displaystyle i}$ indicates a property of the indenter material and ${\displaystyle \nu }$ is Poisson's ratio. For a diamond indenter tip, ${\displaystyle E_{i}}$ is 1140 GPa and ${\displaystyle \nu _{i}}$ is 0.07. Poisson's ratio of the specimen, ${\displaystyle \nu _{s}}$ , generally varies between 0 and 0.5 for most materials (though it can be negative) and is typically around 0.3.

An atomic force microscope image of an indent left by a Berkovich tip in a Zr-Cu-Al metallic glass; the plastic flow of the material around the indenter is apparent.

ナノインデンターから得られる硬度には 2 つの種類があります。1 つは従来のマクロインデンテーション テストと同様に、実験ごとに 1 つの硬度値を取得します。もう 1 つは材料が押し込まれたときの硬度に基づき、深さの関数として硬度を算出します。

${\displaystyle H={\frac {P_{\text{max}}}{A_{\text{r}}}}.}$

硬度

硬度は、最大荷重と圧痕面積を関連付けた上記の式で与えられます。圧痕面積は、圧痕形成後にその場原子間力顕微鏡（ in-situ AFM）または「事後」光学顕微鏡（または電子顕微鏡）で測定できます。圧痕面積を測定できる圧痕画像の例を右に示します。

一部のナノインデンターは、先端の形状に基づいた面積関数を用いて試験中の弾性荷重を補正します。この面積関数を用いることで、荷重-変位グラフからリアルタイムのナノ硬度値を得ることができます。しかし、面積関数を用いて残留面積を推定することと、直接測定することのどちらが良いかは議論の的となっています。面積関数は通常、インデントの投影面積をインデンターの深さの2次多項式関数として表します。係数が多すぎると、関数はデータ内のノイズに近づき始め、変曲点が生じます。2つの係数だけで曲線がうまく近似できる場合、これが最適です。しかし、多くのデータポイントを使用する場合、良好な面積関数を得るために6つの係数すべてを使用する必要がある場合もあります。通常、3つまたは4つの係数で十分です。サービス文書 プローブ校正; CSV-T-003 v3.0; 材料の応答に関する十分な知識がないまま面積関数のみを適用すると、結果データの解釈を誤る可能性があります。顕微鏡による領域のクロスチェックが推奨されます。 ${\displaystyle A_{p}(h_{c})}$ ${\displaystyle h}$

ひずみ速度感度

流動応力のひずみ速度感度は次のように定義される。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m={\frac {\partial \ln {\sigma }}{\partial \ln {\dot {\varepsilon }}}},}$

ここで、は流動応力、は圧子下で生じるひずみ速度である。一定荷重（すなわち荷重-変位曲線の平坦な上部領域）での保持期間を含むナノインデンテーション実験の場合、は次のように決定される。 ${\displaystyle \sigma =\sigma ({\dot {\varepsilon }})}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle d\ln {H}=md\ln {\dot {\varepsilon _{p}}}+nd\ln {h_{p}}.}$

下付き文字は、これらの値がプラスチック部品のみから決定されることを示します。 ${\displaystyle p}$

アクティベーションボリューム

熱活性化中に転位によって押し流された体積として大まかに解釈すると、活性化体積 は ${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V^{*}=9k_{\text{B}}T{\frac {\partial \ln {\dot {\varepsilon }}}{\partial H}},}$

ここでは温度、k _Bはボルツマン定数です。 の定義から、 であることが容易にわかります。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V^{*}\propto (Hm)^{-1}}$

ハードウェア

センサー

深さ検知型インデンテーションシステムの構築は、非常に高感度な変位・荷重検知システムを組み込むことで可能になります。荷重トランスデューサーはマイクロニュートン単位の力を測定できなければならず、変位センサーは多くの場合、サブナノメートルの分解能を備えています。装置の動作には環境からの隔離が不可欠です。装置に伝わる振動、大気の温度と圧力の変動、そして実験中の部品の熱変動は、重大な誤差を引き起こす可能性があります。

連続剛性測定（CSM）

連続剛性測定（CSM）を備えた動的ナノインデンテーション

1989 年に導入された動的ナノインデンテーションまたは連続剛性測定（CSM、CMX やダイナミクスなどとしても市販されている）^{[ 4 ]}は、上記の準静的モードを大幅に改善したものです。これは、非常に小さく高速な（> 40 Hz）振動を主な負荷信号に重ね合わせ、結果として生じる部分的な除荷の大きさをロックイン アンプで評価することで、接触剛性を準連続的に判定します。これにより、インデントの深さにわたって材料の硬度とヤング率を連続的に評価できるため、コーティングや傾斜材料の場合に大きな利点があります。CSM 法は、材料の局所クリープやひずみ速度に依存する機械的特性、および粘弾性材料の局所減衰を実験的に判定する上でも極めて重要です。振動の高調波振幅は通常2nm（RMS）程度に選択されるが、これは軟質金属などの弾性塑性比（E / H > 150）が異常に高い材料の測定中に「動的除荷誤差」 ^{[ 5 ]}または「塑性誤差」^{[ 6 ]}による剛性の過小評価を回避するためのトレードオフ値である 。

原子間力顕微鏡

標準的なAFM装置を用いることで、ナノメートルの深さとサブナノニュートンの力分解能でナノインデンテーション研究を実施することも可能です。AFMを用いることで、専用の装置を用いることなく、ナノメカニクス研究と地形解析を並行して行うことができます。AFMチップよりも柔らかい材料であれば、様々な材料について同様に荷重-変位曲線を収集することができ、これらの曲線から機械的特性を直接計算することができます。^{[ 7 ]}一方、市販のナノインデンテーションシステムの中には、ピエゾ駆動ステージを用いてナノインデンターチップで残留インデントの地形を画像化できるものもあります。

光干渉法

光ファイバーファブリペロー干渉計を利用することで、比類のない精度でナノインデンテーション研究を実施し、柔らかい生体材料のマイクロメカニカル特性評価を実現できます。^{[ 8 ]}光干渉計は、専用の機器を必要とせずに、生体材料のナノメカニカル研究と地形解析を同時に行うことができます。この技術は、特に柔らかい生体材料のマイクロメカニカル分析に適しています。多様な材料の荷重-変位曲線を収集し、これらの曲線から機械的特性を直接推測することができます。さらに、一部の高度なシステムでは、光学イメージングとマイクロメカニカル特性評価を統合する機能が提供されており、生体材料の構造と剛性の関係を包括的に理解することができます。

ソフトウェア

実験的なソフトウェア

インデンテーション曲線には、多くの場合、少なくとも数千のデータポイントがあります。硬度と弾性率は、プログラミング言語またはスプレッドシートを使用して簡単に計算できます。計装化されたインデンテーション試験機には、その機械のインデンテーションデータを分析するために特別に設計されたソフトウェアが付属しています。Indentation Grapher (Dureza) ソフトウェアは、いくつかの市販の機械またはカスタムメイドの装置からテキストデータをインポートできます。^{[ 9 ]} MS-ExcelやOpenOffice Calculateなどのスプレッドシートプログラムには、インデンテーションデータから非線形べき乗法則方程式にフィッティングする機能がありません。データが原点を通るようにオフセット変位を行うことで、線形フィッティングを行うことができます。次に、グラフ作成オプションからべき乗法則方程式を選択します。 ${\displaystyle (-h(P_{0}))}$ ${\displaystyle XY}$

マルテンス硬度 は、プログラミング経験のほとんどないプログラマーでも簡単に開発できるシンプルなソフトウェアです。このソフトウェアは、最大変位と最大荷重を探索することから始まります。 ${\displaystyle HM}$ ${\displaystyle h_{\text{max}}}$ ${\displaystyle P_{\text{max}}}$

${\displaystyle HM={\frac {P_{\text{max}}}{A_{s}}}.}$

変位は、圧子の形状に基づいて接触面積 を計算するために使用されます。完全なベルコビッチ圧子の場合、関係は となります。 ${\displaystyle A_{\text{s}}}$ ${\displaystyle A_{\text{s}}=24.5h_{\text{max}}^{2}}$

押し込み硬度は若干異なる定義になります。 ${\displaystyle H_{\text{IT}}}$

${\displaystyle H_{\text{IT}}={\frac {P_{\text{max}}}{A_{\text{p}}}}.}$

ここで、硬度は投影された接触面積に関係します。 ${\displaystyle A_{\text{p}}}$

インデントのサイズが小さくなると、先端の丸みによって生じる誤差が増加します。先端の摩耗は、ソフトウェア内で単純な多項式関数を用いて考慮できます。インデンターの先端が摩耗するにつれて、この値は増加します。ユーザーは、インデンターの先端のSEM画像やAFM画像などの直接測定に基づいて、または弾性率が既知の材料やインデントの原子間力顕微鏡（AFM）画像を使用して間接的に、およびの値を入力します。 ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}}$

${\displaystyle A_{\text{p}}=C_{0}h_{\text{max}}^{2}+C_{1}h_{\text{max}}.}$

ソフトウェアによる弾性率の計算では、ソフトウェアフィルタリング技術を用いて、重要な除荷データをその他の荷重-変位データから分離します。開始点と終了点は通常、ユーザー定義のパーセンテージを用いて決定されます。このユーザー入力は、人為的エラーの可能性を考慮し、ばらつきを増加させます。より一貫した結果を得るには、計算プロセス全体を自動化することが望ましいでしょう。優れたナノインデンテーション装置は、荷重-除荷曲線データを、荷重、上部保持、除荷、下部保持、再荷重などの各セグメントにラベルを付けて出力します。複数のサイクルを使用する場合は、それぞれにラベルを付ける必要があります。しかし、多くのナノインデンターは、荷重-除荷曲線の生データのみを提供します。自動ソフトウェア技術は、上部保持時間から除荷開始までの急激な変化を検出します。これは、上部保持時間データに線形近似を行うことで検出できます。除荷データは、荷重が保持時間荷重の標準偏差の1.5倍未満になった時点から始まります。最小データポイントは、除荷データの終了点です。コンピュータは、このデータを用いてオリバー・ファー（非線形）法に基づいて弾性係数を計算します。Doerner-Nix法は、選択された最小値から最大値までのデータに線形曲線を当てはめるため、プログラムが比較的簡単です。しかし、除荷曲線に沿ってデータ点が増加するにつれて、計算される弾性係数が減少するという制約があります。オリバー・ファーの非線形曲線近似法は、除荷曲線データに適用され、は水深変数、は最終水深、および は定数と係数です。ソフトウェアは、 を解くために非線形収束法を使用し、除荷データに最もよく適合する を求める必要があります。傾きは、最大変位で 微分することによって計算されます。${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h_{\text{f}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h_{\text{f}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle dP/dh}$

${\displaystyle P=k\left(h-h_{f}\right)^{m}.}$

インデントの画像はソフトウェアを用いて測定することもできます。原子間力顕微鏡（AFM）でインデントをスキャンします。まず、インデントの最低点を見つけます。インデントの中心からインデント表面に沿って直線を引いて、その周囲にラインの配列を作成します。切断線が 表面ノイズから数標準偏差（> 3）以上離れた場所にアウトラインポイントが作成されます。次に、すべてのアウトラインポイントを結んで、インデント全体のアウトラインを作成します。このアウトラインには、パイルアップ接触領域が自動的に含まれます。 ${\displaystyle \sigma }$

基板上または多層サンプル上に堆積した薄膜上で円錐状の圧子を用いてナノインデンテーション実験を行う場合、NIMS Matlabツールボックス^{[ 10 ]}は、荷重-変位曲線の解析やコーティングのヤング率と硬度の計算に役立ちます。^{[ 10 ]}ポップインの場合、PopIn Matlabツールボックス^{[ 11 ]}は、ポップイン分布を統計的に解析し、ポップイン直前の臨界荷重または臨界インデンテーション深さを抽出するソリューションです。^{[ 11 ]}最後に、グリッドインデンテーション技術に従って得られたインデンテーションマップの場合、TriDiMap Matlabツールボックス^{[ 12 ]}を使用すると、2Dまたは3Dマップをプロットし、不均質材料の場合は確率密度関数のデコンボリューションを行うことで各成分の機械的特性分布を統計的に解析できます。^{[ 12 ]}

計算ソフトウェア

分子動力学（MD）は、原子スケールでナノインデンテーションを調査するための非常に強力な手法です。たとえば、Alexey et al ^{[ 13 ]}はMDを使用してチタン結晶のナノインデンテーションプロセスをシミュレートし、結晶構造の変形がインデンターのタイプに依存することを観察しましたが、これは実験で収集するのが非常に困難です。Tao et al ^{[ 14 ]}は、球状インデンターを使用してCu / Niナノツイン多層膜のナノインデンテーションのMDシミュレーションを実行し、ヘテロツイン界面とツインの厚さが硬度に及ぼす影響を調査しました。最近、Carlos et al ^{[ 15 ]}によるナノインデンテーションの原子論的研究に関するレビュー論文が発表されました。このレビューでは、さまざまなナノインデンテーションのメカニズムと、表面配向、結晶学（fcc、bcc、hcpなど）、表面およびバルクの損傷が塑性に及ぼす影響について説明しています。MDで得られた結果はすべて、構造特性評価手法の解像度の制限により、実験で達成するのが非常に困難です。 GROMACS、Xenoview、Amberなど様々なMDシミュレーションソフトウェアの中で、サンディア国立研究所が開発したLAMMPS（大規模原子分子超並列シミュレータ）は、シミュレーションに最も広く利用されている。相互作用ポテンシャルと、原子ID、座標、電荷、アンサンブル、タイムステップなどの情報を含む入力ファイルをシミュレータに入力し、実行することができる。指定されたタイムステップの実行後、エネルギー、原子の軌道、構造情報（配位数など）などの情報が出力され、さらなる解析が可能となる。これにより、原子スケールでのナノインデンテーション機構の調査が可能となる。もう一つの興味深いMatlabツールボックスであるSTABiXは、双結晶におけるインデンテーション実験を解析することで、粒界におけるすべり伝達を定量化するために開発されている。^{[ 16 ]}

アプリケーション

ナノインデンテーションは機械的特性の測定に堅牢な技術である。低荷重の適用、結果として生じる変位の測定、および圧子の先端とサンプル間の接触面積の測定を組み合わせることにより、広範囲の機械的特性を測定できる。^{[ 17 ] [ 18 ]}この技術の革新を牽引した用途は、従来の試験が実行不可能な薄膜特性の試験である。引張試験や動的機械分析（DMA）などの従来の機械的試験では、サンプル全体の変動を示すことなく平均的な特性しか返すことができない。しかし、ナノインデンテーションは均質材料だけでなく異質材料の局所的特性の測定に使用できる。^{[ 19 ] [ 20 ]} サンプルサイズ要件の削減により、製造状態では微小硬度試験に十分な材料が提供されない製品にこの技術を広く適用できるようになった。この分野の用途には、医療用インプラント、消費財、包装などがある。^{[ 21 ]}この技術の別の用途としては、ナノインデンターが実現可能な低荷重と小さな変位を利用してMEMSデバイスを 試験するために使用される。 ^{[ 22 ]}

制限事項

従来のナノインデンテーション法による弾性係数の計算（除荷曲線に基づく）は、線形の等方性材料に限定されています。

積み重ねて沈み込む

インデンテーションプロセス中にインデントのエッジに材料が「堆積」または「沈み込み」する問題は、依然として調査が進められている問題である。インデントの原子間力顕微鏡（AFM）画像をコンピュータ画像解析することで、堆積接触面積を測定することが可能である。^{[ 23 ]}このプロセスは、インデントの再構築において線形等方性弾性回復にも依存している。

軟質材料のナノインデンテーション

軟質材料のナノインデンテーションは、接着、表面検出、そして結果のチップ依存性といった固有の課題を抱えています。これらの問題を克服するための研究が現在進められています。^{[ 24 ]}

柔らかい材料に対してナノインデンテーション測定を行う際には、剛性と粘弾性という2 つの重要な問題を考慮する必要があります。

1つ目は、あらゆる力-変位測定プラットフォームにおいて、機械の剛性（）がサンプルの剛性（）と少なくとも桁違いに近似していなければならないという要件です。が高すぎると、インデンタープローブはサンプルを貫通するだけで、力を測定できなくなります。一方、 が低すぎると、プローブはサンプルに押し込むことができず、プローブの変位を読み取ることができません。非常に柔らかいサンプルの場合、これら2つの可能性のうち最初の可能性が考えられます。 ${\displaystyle k_{\text{machine}}}$ ${\displaystyle k_{\text{sample}}}$ ${\displaystyle k_{\text{machine}}}$ ${\displaystyle k_{\text{machine}}}$

サンプルの剛性は次のように表される。

${\displaystyle k_{\text{sample}}}$ ≈ ×${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E_{\text{sample}}}$

ここで、 は圧子とサンプルの接触領域のサイズ、 はサンプルの弾性率です。一般的な原子間力顕微鏡 (AFM) カンチレバーの弾性率は0.05 ～ 50 N/m の範囲で、プローブ サイズは ~10 nm ～ 1 μm の範囲です。市販のナノインデンターも同様です。したがって、≈の場合、一般的な AFM カンチレバー チップまたは市販のナノインデンターでは~kPa ～ GPa の範囲でしか測定できません。この範囲は十分に広く、ポリマー、金属、セラミックスなどのほとんどの合成材料や、組織や接着細胞などのさまざまな生物学的材料をカバーできます。ただし、浮遊細胞など、弾性率が Pa の範囲にある柔らかい材料もあり、これらは AFM や市販のナノインデンターでは測定できません。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k_{\text{machine}}}$ ${\displaystyle k_{\text{machine}}}$ ${\displaystyle k_{\text{sample}}}$ ${\displaystyle E_{\text{sample}}}$

Pa範囲での測定には、光ピンセットシステムを用いた「ピコインデンテーション」が適しています。この方法では、レーザービームを用いて半透明のビーズを捕捉し、これを柔らかい試料に接触させて押し込みを行います。^{[ 25 ]}トラップの剛性（）はレーザー出力とビーズの材質に依存し、典型的な値は約50 pN/μmです。プローブのサイズは1ミクロン程度です。この光トラップにより、Pa範囲での （≈  / ）測定が可能になります。${\displaystyle E_{\text{sample}}}$ ${\displaystyle k_{\text{machine}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle E_{\text{sample}}}$ ${\displaystyle k_{\text{machine}}}$ ${\displaystyle a}$

柔らかい試料に関する2つ目の問題は、粘弾性です。粘弾性を扱う方法には以下のようなものがあります。

粘弾性の古典的な取り扱いでは、サンプルから測定された荷重-変位（Ph ）応答は、バネ要素とダッシュポット要素を含む材料の仮定された構成モデル（例えば、マクスウェルモデル）からの予測に適合される。 ^{[ 26 ]}このようなアプローチは非常に時間がかかり、一般に仮定された構成法則を明白に証明することはできない。

振動荷重による動的インデンテーションを行うことができ、サンプルの粘弾性挙動は、結果として得られる貯蔵弾性率と損失弾性率によって表され、多くの場合、荷重周波数に対する変化として表されます。^{[ 27 ]}しかし、この方法で得られる貯蔵弾性率と損失弾性率は固有の材料定数ではなく、振動周波数とインデンタープローブの形状に依存します。

速度ジャンプ法は、試験条件に依存しないサンプルの固有弾性係数を求めるために使用できる。^{[ 28 ]}この方法では、（一般に）非線形ダッシュポットと線形弾性バネのネットワークからなる構成法則が、サンプルに負荷速度の急激なステップ変化が加えられる時刻 tc を中心とした非常に短い時間枠内で成立すると仮定する。ダッシュポットは_ij = _ij ( _kl ) の関係式で表されるが、応力_{kl は}t _cにおける応力速度場_klのステップ変化 ∆ _ijにわたって連続であるため、ダッシュポットを横切るひずみ速度場_{ijには対応する変化は生じない。しかし、線形弾性バネはij}  =  S _{ikjl kl}の関係式で表されるため（S ikjl_は弾性コンプライアンス）、バネを横切る ステップ変化 ∆ _ijは、${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$ ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$

∆ _ij = S _ikjl ∆ _kl${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$

最後の式は、∆ _klおよび ∆ _ijが、ダッシュポット要素を無視した元の粘弾性ネットワークモデルの弾性バネ要素を用いた線形弾性問題として解けることを示しています。与えられた試験形状に対する解は、tc における荷重速度と変位速度のステップ変化間の線形関係であり、リンク比例定数は元の粘弾性モデルの弾性定数の集中値です。この関係を実験結果に当てはめることで、この集中値を材料の固有弾性率として測定することができます。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$

レートジャンプ法

この速度ジャンプ法に基づく具体的な方程式は、特定の試験プラットフォーム向けに開発されている。例えば、深さセンシングナノインデンテーションでは、荷重保持段階に続く除荷段階の開始時に弾性率と硬度が評価される。このような除荷開始点は速度ジャンプ点であり、この点を横切って方程式_ij = S _{ikjl kl}を解くと、粘弾性補正のTang-Ngan法が得られる^{[ 29 ]。}${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\frac {1}{S_{\text{e}}}}={\frac {1}{2E_{r}a}}={\frac {\Delta {\dot {h}}}{\Delta {\dot {P}}}}={\frac {1}{S}}-{\frac {{\dot {h}}_{\text{h}}}{{\dot {P}}_{\text{u}}}}}$

ここで、S = dP / dhは除荷開始時の見かけの先端-試料接触剛性、は除荷直前の変位速度、は除荷速度、は真の（すなわち粘度補正された）先端-試料接触剛性であり、これはスネドンの関係式によって縮減弾性率および先端-試料接触寸法と関連付けられる。接触寸法 a は、事前に較正された先端形状関数から推定でき 、接触深さは、見かけの接触剛性を真の剛性に置き換えたオリバー-ファー関係式を用いて得られる。 ${\displaystyle {\dot {h}}_{\text{h}}}$ ${\displaystyle {\dot {P}}_{\text{u}}}$ ${\displaystyle S_{\text{e}}}$ ${\displaystyle E_{\text{r}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(h_{\text{c}})=\pi a^{2}}$ ${\displaystyle h_{\text{c}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{\text{e}}}$

${\displaystyle h_{\text{c}}=h_{\text{max}}-\epsilon {\frac {P_{\text{max}}}{S_{\text{e}}}}=h_{\text{max}}-\epsilon P_{\text{max}}\left({\frac {1}{S}}-{\frac {{\dot {h}}_{\text{h}}}{{\dot {P}}_{\text{u}}}}\right)}$

ここで、 はチップに依存する係数です (たとえば、Berkovich チップの場合は 0.72)。 ${\displaystyle \epsilon }$

チップ依存

ナノインデンテーション試験は比較的簡便ですが、結果の解釈は困難です。主な課題の一つは、用途に応じて適切なチップを使用し、結果を適切に解釈することです。例えば、弾性率はチップに依存する可能性があることが示されています。^{[ 24 ]}

スケール効果

ナノインデンテーションにおけるインデントの深さは、数nmから約1ミクロンまで変化します。この範囲では、強い「サイズ効果」が見られます。つまり、推定される機械的特性は深さに依存します。いくつかのレビュー^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}では、これらの効果について取り上げられています。これらの効果は通常、材料が浅い深さで硬くなるという形で現れます。例えば、純金の硬度は、深さ5nmで約2GPa、深さ100nmで0.5GPaまで変化することが分かっています^{[ 31 ]}。一方、このような金の大規模なインデンテーションにおける「正しい」値は約0.1GPaです。この効果の原因については、多くの研究が行われています。仮説的な説明としては、小さなインデントで非常に高い塑性ひずみ勾配を作り出す必要があり、「幾何学的に必要な転位」が必要であることが挙げられます。^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} もう一つの説^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}は、変形領域に転位が存在しない可能性があり、転位の核生成には塑性変形を開始するためのより高い応力が必要となる（荷重-変位プロットにおける「ポップイン」特性につながる）というものです。しかし、このような「サイズ効果」を体系的かつ普遍的に補正することはできず、ナノインデンターでバルク材料を代表するほどの大きさの体積を変形させることは通常不可能です。典型的な多結晶試料の場合、そのような体積には、粒径、組織、粒界構造などの影響を捉えるために、比較的多数の結晶粒が含まれていなければなりません。実際には、変形領域の寸法は通常、数百ミクロンオーダーである必要があります。また、ナノインデンテーションの微細スケールは、表面粗さ^{[ 39 ]}や酸化層などの表面汚染物質の存在に結果が敏感になる可能性があることにも留意する必要があります。

参考文献

1. Hay, JL; Pharr, GM (2000). 「計装化インデンテーション試験」 . ASMハンドブック, 第8巻, 機械試験および評価. ASM International. pp.  231– 242. ISBN 978-0-87170-389-7. 2022年1月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2019年8月12日閲覧。
2. Poon, B; Rittel, D; Ravichandran, G (2008). 「線形弾性固体におけるナノインデンテーションの解析」. International Journal of Solids and Structures . 45 (24): 6018. doi : 10.1016/j.ijsolstr.2008.07.021 .
3. WC Oliver and GM Pharr (2011). 「計測インデンテーションによる硬度と弾性率の測定：理解の進歩と方法論の改良」(PDF) . Journal of Materials Research . 19 : 3– 20. CiteSeerX 10.1.1.602.414 . doi : 10.1557/jmr.2004.19.1.3 . S2CID 135628097.オリジナル(PDF)から2012年9月7日にアーカイブ. 2011年12月10日閲覧.  
4. US 4848141、WC OliverとJB Pethica、「2つの物体間の接触の弾性剛性を連続的に測定する方法」、1989年7月18日公開 
5. Pharr, GM; Strader, JH; Oliver, WC (2009). 「ナノインデンテーションによる連続剛性測定における微小深さの機械的特性測定における重要な課題」. Journal of Materials Research . 24 (3): 653– 656. Bibcode : 2009JMatR..24..653P . doi : 10.1557/jmr.2009.0096 . S2CID 136771489 . 
6. Merle, B.; Maier-Kiener, V.; Pharr, GM (2017). 「ナノインデンテーション中の連続剛性測定における弾性率と硬度の比および調和パラメータの影響」 . Acta Materialia . 134 : 167–176 . Bibcode : 2017AcMat.134..167M . doi : 10.1016/j.actamat.2017.05.036 .
7. Kurland, NE; Drira, Z; Yadavalli, VK (2011). 「原子間力顕微鏡を用いた生体分子のナノメカニカル特性の測定」. Micron . 43 ( 2–3 ): 116–28 . doi : 10.1016/j.micron.2011.07.017 . PMID 21890365 . 
8. 「歴史と技術」 . Optics11 Life . 2023年9月15日閲覧。
9. David Shuman; Indent Grapher (Dureza) ソフトウェア
10. 「NIMS Matlab ツールボックス — NIMS ツールボックス 3.2.0 ドキュメント」。
11. 「PopIn Matlab ツールボックス — PopIn ツールボックス 3.2.0 ドキュメント」。
12. 「TriDiMap Matlab ツールボックス — TriDiMap ツールボックス 3.0.0 ドキュメント」。
13. V. Verkhovtsev, Alexey; V. Yakubovich, Alexander; B. Sushko, Gennady; Hanauske, Matthias; V. Solov'yov, Andrey (2013). 「チタン結晶のナノインデンテーション過程の分子動力学シミュレーション」.計算材料科学. 76 : 20–26 . doi : 10.1016/j.commatsci.2013.02.015 .
14. フー、タオ;彭、祥河。チェン、シャン。ウェン・シャユアン。胡、寧。リー、キビン。王中昌 (2016-10-21)。「球状圧子を使用したCu/Niナノ双晶多層膜上のナノインデンテーションの分子動力学シミュレーション」。科学的報告書。6 35665。Bibcode : 2016NatSR...635665F。土井：10.1038/srep35665。PMC 5073369。PMID 27767046。  
15. J. Ruestes, Carlos; Alabd Alhafez, lyad; M. Urbassek, Herbert (2017-09-29). 「ナノインデンテーションの原子論的研究—最近の進歩のレビュー」 . Crystals . 7 (10): 293. doi : 10.3390/cryst7100293 . hdl : 11336/43158 .
16. 「スリップ伝送Matlabツールボックス — スリップ伝達解析ツールボックス2.0.0ドキュメント」。stabix.readthedocs.org 。
17. Pharr, GM (1998). 「超低荷重インデンテーションによる機械的特性の測定」. Materials Science and Engineering: A. 253 ( 1): 151– 159. doi : 10.1016/S0921-5093(98)00724-2 .
18. Espinoza, Wilson F.; Zhang, Fengshou; Dai, Sheng (2022年6月). 「計測ナノインデンテーションを用いたLongmaxi頁岩露頭の機械的特性に対する温度の影響」 . Geomechanics for Energy and the Environment . 30 100348. doi : 10.1016/j.gete.2022.100348 .
19. Sanei, Seyed Hamid Reza; Fertig, Ray S. (2016). 「複合プリプレグから抽出されたエポキシ弾性率の変動性の長さスケール依存性」.ポリマー試験. 50 : 297–300 . doi : 10.1016/j.polymertesting.2015.12.015 .
20. Espinoza, Wilson F.; Pereira, Jean-Michel; Kneafsey, Timothy; Dai, Sheng (2023年6月). 「高温におけるアルバイト、黒雲母、石英の花崗岩質鉱物の機械的性質とクリープ特性」 .エネルギーと環境のための地質力学. 34 100465. doi : 10.1016/j.gete.2023.100465 .
21. 「ナノインデンテーションによる硬度・弾性率試験の産業応用」 Nanomechanics , Inc. 2017年6月28日閲覧。
22. 「構造と形状 | ナノメカニクス：InSEMナノインデンテーションとiNanoナノインデンター」 Nanomechanics , Inc. 2017年6月28日閲覧。
23. Shuman, David (2005). 「AFMによるインデント測定のためのコンピュータ画像解析ソフトウェア」. Microscopy and Analysis . 107 : 21.
24. Han, Chung-Souk; Sanei, Seyed HR; Alisafaei, Farid (2016). 「弾性ポリマーのインデンテーションサイズ効果と深さ依存の機械的特性の起源について」 . Journal of Polymer Engineering . 36 : 103–111. doi : 10.1515 /polyeng-2015-0030 . S2CID 138385791. 2017年7月1日閲覧。 
25. Zhou, ZL; Hui, TH; Tang, B.; Ngan, AHW (2014). 「光トラップを用いたレートジャンプ法による白血病細胞および白血球の硬さの正確な測定」RSC Advances . 4 (17): 8453. Bibcode : 2014RSCAd...4.8453Z . doi : 10.1039/C3RA45835K . hdl : 10722/211503 .
26. Oyen, Michelle L. (2005). 「ランプ荷重後の球状インデンテーションクリープ」. Journal of Materials Research . 20 (8): 2094– 2100. Bibcode : 2005JMatR..20.2094O . doi : 10.1557/JMR.2005.0259 . S2CID 138070498 . 
27. Bouaita, N.; Bull, SJ; Palacio, J. Fernandez; White, JR (2006). 「いくつかのポリオレフィンの動的ナノインデンテーション」.ポリマー工学と科学. 46 (9): 1160– 1172. doi : 10.1002/pen.20596 .
28. ンガン、AHW;タン、B. (2009)。 「べき乗則粘弾性および時間依存材料のレートジャンプへの応答」。材料研究ジャーナル。24 (3): 853–862。書誌コード: 2009JMatR..24..853N。土井：10.1557/jmr.2009.0111。S2CID 137689971。 
29. ウズン、オルハン;バスマン、ネカティ。アルカン、ジェミル。コールメン、ウーグル;ユルマズ、フィクレット (2010)。 「電気化学的に合成されたポリチオフェンの深さセンシング押し込み分析」。材料化学と物理学。124 : 196–202。土井: 10.1016/j.matchemphys.2010.06.019。
30. Wei, Y (2004). 「ナノインデンテーション試験におけるサイズ効果の測定と特性評価」 . Journal of Materials Research . 19 (1): 208– 217. Bibcode : 2004JMatR..19..208W . doi : 10.1557/jmr.2004.19.1.208 . S2CID 231528821 . 
31. Golovin, Y (2008). 「ナノインデンテーションとサブマイクロボリューム固体、表面近傍の薄い層、および薄膜の機械的特性：レビュー」.固体物理学. 50 (12): 2205– 2236. Bibcode : 2008PhSS...50.2205G . doi : 10.1134/S1063783408120019 . S2CID 122979462 . 
32. Voyiadjis, GZ; Yaghoobi, M. (2017). 「ナノインデンテーションのサイズ効果のレビュー：実験と原子論的シミュレーション」 . Crystals . 7 (10): 321. doi : 10.3390/cryst7100321 .
33. Zhao, M (2003). 「ひずみ勾配塑性による材料長さスケール制御ナノインデンテーションサイズ効果」. Acta Materialia . 51 (15): 4461– 4469. Bibcode : 2003AcMat..51.4461Z . doi : 10.1016/S1359-6454(03)00281-7 .
34. Elmustafa, A (2003). 「ナノインデンテーションとインデンテーションサイズ効果：変形の動力学とひずみ勾配塑性」. Journal of the Mechanics and Physics of Solids . 51 (2): 357– 381. Bibcode : 2003JMPSo..51..357E . doi : 10.1016/S0022-5096(02)00033-9 .
35. Lee, H (2005). 「ひずみ勾配塑性を用いたナノインデンテーションサイズ効果の新たな解析」. Scripta Materialia . 53 (10): 1135– 1139. doi : 10.1016/j.scriptamat.2005.07.027 .
36. Morris, J (2011). 「ナノインデンテーションポップインのサイズ効果と確率的挙動」 . Physical Review Letters . 106 (16) 165502. Bibcode : 2011PhRvL.106p5502M . doi : 10.1103/PhysRevLett.106.165502 . PMID 21599381. S2CID 21133738 .  
37. Lorenz, D. (2003). 「ナノインデンテーション中の転位の均一核生成としてのポップイン効果」. Physical Review B. 67 ( 17) 172101. Bibcode : 2003PhRvB..67q2101L . doi : 10.1103/PhysRevB.67.172101 .
38. Barnoush, A (2010). 「ナノインデンテーションと電子チャネリングコントラストイメージングによるアルミニウムの転位密度とポップイン現象の相関関係の研究」Scripta Materialia 63 ( 5): 465– 468. doi : 10.1016/j.scriptamat.2010.04.048 .
39. Wang, Z (2011). 「単結晶Moにおけるナノインデンテーションポップインに対する表面処理の影響」. Scripta Materialia . 65 (6): 469– 472. doi : 10.1016/j.scriptamat.2011.05.030 .

さらに読む

• フィッシャー・クリップス、AC (2004)。ナノインデンテーション。ニューヨーク：スプリンガー。
• Oliver, WC; Pharr, GM (1992). 「荷重および変位センシングインデンテーション実験を用いた硬度および弾性率測定のための改良法」. J. Mater. Res . 7 (6): 1564. Bibcode : 1992JMatR...7.1564O . doi : 10.1557/JMR.1992.1564 . S2CID  137098960 .
• Cheng, Y.-T.; Cheng, C.-M. (2004). 「スケーリング、寸法解析、およびインデンテーション測定」. Mater. Sci. Eng. R: Rep . 44 ( 4–5 ): 91. doi : 10.1016/j.mser.2004.05.001 .
• Malzbender, J.; den Toonder, JMJ; Balkenende, AR; de With, G. (2002). 「薄膜の機械的特性を決定する方法論、ナノ粒子充填メチルトリメトキシシランゾルゲルコーティングへの応用」Mater. Sci. Eng. R: Rep . 36 : 47. doi : 10.1016/S0927-796X(01)00040-7 .
• Dey, A.; Mukhopadhyay, AK (2014).脆性固体のナノインデンテーション. CRC Press / Taylor & Francis .
• Tiwari, A.編 (2014). 「高性能材料のナノメカニクス解析」.固体力学とその応用. 第203巻. Springer.
• コンテ, マルチェロ; トゥルニエ＝フィヨン, オーレリアン; フランク, エヴェリン. (2021). 「インストルメンテッド・インデンテーション. 理論から実践ガイドラインへ: 世界をインデントする」. オーストリア: アントン・パール社. ISBN 978-2-9701543-0-3