ヒルベルト・ファン変換

ヒルベルト・ファン変換（HHT ）は、信号をトレンドに沿っていわゆる固有モード関数（IMF）に分解し、瞬時周波数データを取得する方法です。非定常かつ非線形なデータに適した設計となっています。

NASA指定名のヒルベルト・ファン変換 (HHT) [ 1 ]は、 Norden E. Huangによって提案されました。これは、経験的モード分解 (EMD) とヒルベルト スペクトル解析(HSA)の結果です。HHT は、EMD 法を使用して、信号をトレンドを持ついわゆる固有モード関数( IMF ) に分解し、HSA 法を IMF に適用して瞬間周波数データを取得します。信号は時間領域で分解され、IMF の長さは元の信号と同じであるため、HHT は変化する周波数の特性を保持します。実際の信号では通常、異なる時間間隔で複数の原因が発生するため、これは HHT の重要な利点です。HHT は、非定常で非線形の時系列データを分析する新しい方法を提供します。

意味

経験的モード分解

HHTの基本的な部分は、経験的モード分解（EMD）法です。信号を様々な成分に分解するEMDは、フーリエ変換やウェーブレット変換といった他の解析手法と比較することができます。EMD法を用いることで、複雑なデータセットを有限かつ多くの場合少数の成分に分解することができます。これらの成分は、元の信号に対して完全かつほぼ直交する基底を形成します。さらに、それらは固有モード関数（IMF）として記述することができます。[ 2 ]

最初のIMFは通常最も振動する（高周波）成分を運ぶので、高周波成分（例えばランダムノイズ）を除去するためにそれを拒否することができる。[ 3 ] [ 4 ] EMDに基づく平滑化アルゴリズムは、高品質の地震記録が強く求められる地震データ処理で広く使用されている。[ 5 ] [ 6 ]

EMDは時間領域を離れることなく適応的で非常に効率的である。[ 7 ]分解はデータの局所的な特性時間スケールに基づいて行われるため、非線形および非定常プロセスに適用できる。[ 7 ]

固有モード関数

固有モード関数(IMF) は、次の要件を満たす関数として定義されます。

  1. データ セット全体では、極値の数とゼロ交差の数は等しいか、最大で 1 だけ異なる必要があります。
  2. どの点でも、局所的最大値によって定義されるエンベロープと局所的最小値によって定義されるエンベロープの平均値はゼロです。

これは、単純な調和関数に対応する、一般的に単純な振動モードを表します。定義により、IMFとは、極値と零点交差の数が同じで、包絡線が零点に関して対称な関数です。 [ 7 ]この定義は、IMFの ヒルベルト変換の振る舞いを保証するものです。

ヒルベルトスペクトル解析

ヒルベルトスペクトル解析（HSA）は、各IMFの瞬間周波数を時間の関数として解析する手法です。最終結果は、ヒルベルトスペクトルと呼ばれる信号振幅（またはエネルギー）の周波数時間分布であり、これにより局所的な特徴を識別することができます。

テクニック

固有モード関数 (IMF) の振幅と周波数は時間とともに変化する可能性があり、以下の規則を満たす必要があります。

  1. 極値の数 (極大値と極小値) とゼロ交差の数は、等しいか、最大で 1 だけ異なる必要があります。
  2. どの点でも、局所的最大値によって定義されるエンベロープの平均値と局所的最小値によって定義されるエンベロープの平均値はゼロに近くなります。

経験的モード分解

経験的モード分解のふるい分けプロセスの図解。

経験的モード分解 (EMD) 法は、任意のデータをヒルベルト スペクトル解析を適用できる 固有モード関数 (IMF) の集合に縮小するために必要なステップです。

IMF は、単純な調和関数に対応する単純な振動モードを表しますが、より一般的なものです。単純な調和成分の一定の振幅と周波数の代わりに、IMF は時間軸に沿って可変の振幅と周波数を持つことができます。

IMFを抽出する手順は「ふるい分け」と呼ばれます。ふるい分けのプロセスは以下のとおりです。

  1. テスト データ内のすべての局所的極値を特定します。
  2. すべての局所最大値を、上側エンベロープとして3 次スプライン ラインで接続します。
  3. 局所的最小値に対してこの手順を繰り返して、下限エンベロープを生成します。

上側と下側の包絡線は、その間にあるすべてのデータをカバーする。それらの平均はm 1である。データとm 1の差が最初の成分h 1である。

X（t）−メートル1＝h1。{\displaystyle X(t)-m_{1}=h_{1}.\,}

理想的には、h 1 はIMFの定義を満たすはずです。なぜなら、上述のh 1の構成により、h 1 は対称的になり、すべての最大値が正ですべての最小値が負になるはずだからです。最初のふるい分けの後、山は局所的最大値になることがあります。このようにして生成された新たな極値は、実際には最初の検討で見落とされた適切なモードを明らかにします。その後のふるい分けプロセスでは、h 1 はプロトIMFとしてのみ扱うことができます。次のステップでは、h 1はデータとして扱われます。

h1−メートル11＝h11。{\displaystyle h_{1}-m_{11}=h_{11}.\,}

k回まで繰り返してふるいにかけると、h 1 はIMFとなり、

h1(k−1)−m1k=h1k.{\displaystyle h_{1(k-1)}-m_{1k}=h_{1k}.\,}

次に、h 1k をデータの最初の IMF コンポーネントとして指定します。

c1=h1k.{\displaystyle c_{1}=h_{1k}.\,}

ふるい分け工程の停止基準

停止基準は、IMFを生成するためのふるい分けステップ数を決定します。現在存在する停止基準は以下の4つです。

標準偏差

この基準はHuangら（1998）によって提案された。これはコーシー収束検定に似ており、差の和SDを次のように定義する。

SDk=∑t=0T|hk−1(t)−hk(t)|2hk−12(t).{\displaystyle SD_{k}=\sum _{t=0}^{T}{\frac {|h_{k-1}(t)-h_{k}(t)|^{2}}{h_{k-1}^{2}(t)}}.\,}
その後、SD が事前に指定された値より小さくなると、ふるい分けプロセスは停止します。

S番号基準

この基準は、いわゆるS数に基づいています。S数は、ゼロ交差の数と極値の数が等しいか、最大で1の差となる連続ふるい分け回数として定義されます。具体的には、S数は事前に選択されます。ふるい分け処理は、S回の連続ふるい分けにおいて、ゼロ交差の数と極値の数が等しく、かつ最大で1の差となる場合にのみ停止します。

閾値法

リリング、フランドリン、ゴンサルベスによって提案された閾値法は、局所的に大きな偏差を考慮しながら、平均値の全体的な小さな変動を保証するために2つの閾値を設定する。[ 8 ]

エネルギー差の追跡

Cheng、Yu、Yangによって提案されたエネルギー差追跡法は、元の信号が直交信号の合成であるという仮定を利用し、その仮定に基づいてエネルギーを計算する。EMDの結果が元の信号の直交基底でない場合、エネルギー量は元のエネルギーと異なる。[ 9 ]

停止基準が選択されると、最初のIMF c 1が得られます。全体として、 c 1 は信号の最も細かいスケール、つまり最短周期の成分を含むはずです。次に、 c 1 を残りのデータから分離します。残差 r 1には依然としてデータ内のより長い周期の変動が含まれているため、これを新しいデータとして扱い、上記と同じふるい分け処理を行います。 X(t)−c1=r1.{\displaystyle X(t)-c_{1}=r_{1}.\,}

この手順は、後続のすべてのr jに対して繰り返すことができ、結果は次のようになる。

rn−1−cn=rn.{\displaystyle r_{n-1}-c_{n}=r_{n}.\,}

ふるい分けのプロセスは、残余r nが単調関数となり、そこからIMFをこれ以上抽出できなくなると最終的に停止する。上記の式から、

X(t)=∑j=1ncj+rn.{\displaystyle X(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}+r_{n}.\,}

このようにして、データはn-経験的モードに分解される。EMDの構成要素は通常、物理的に意味を持つ。なぜなら、特性尺度は物理データによって定義されるからである。Flandrin et al. (2003) とWu and Huang (2004) は、EMDが2項フィルタバンクと等価であることを示した。[ 6 ] [ 10 ]

ヒルベルトスペクトル解析

固有モード関数の成分が得られたら、ヒルベルト変換を用いて瞬時周波数を計算できます。各IMF成分に対してヒルベルト変換を実行すると、元のデータは実部Realとして以下の形式で表されます。

X(t)=Real∑j=1naj(t)ei∫ωj(t)dt.{\displaystyle X(t)={\text{Real}}{\sum _{j=1}^{n}a_{j}(t)e^{i\int \omega _{j}(t)dt}}.\,}

現在のアプリケーション

2次元EMD

上記の例では、すべての信号は 1 次元信号であり、2 次元信号の場合は、次の方法でヒルベルト・ファン変換を画像およびビデオ処理に適用できます。

  1. 擬似2次元EMD（擬似2次元経験的モード分解） :
    2次元信号を2組の1次元信号に直接分割し、それぞれにヒルベルト・ファン変換を適用します。その後、2つの信号を再び2次元信号に再配置します。
    この結果、優れたパターンが得られ、長波長波における局所的な急速振動を観測できます。しかし、この手法には多くの欠点があります。最も顕著な欠点は、処理された2組の固有モード関数（IMF）を元の2次元信号に再結合する際に発生する不連続性です。この問題に対処するには、以下の手法が利用可能です。
  2. 擬似2次元EEMD（擬似2次元アンサンブル経験的モード分解） :
    擬似2次元EMDと比較すると、EMDの代わりにEEMDを使用すると不連続性の問題を効果的に改善できます。ただし、この手法には限界があり、北大西洋の温度検出のように時間スケールが非常に明確な場合にのみ有効です。信号の時間スケールが不明瞭な状況には適していません。
  3. 真の2次元EMD（真の2次元経験的モード分解） :
    本物の 2 次元 EMD は 2 次元信号を直接処理するため、定義上の課題がいくつか生じます。
  • 最大値をどのように決定するか。画像の端を考慮する必要がありますか、それとも別の方法を使用して最大値を定義する必要がありますか?
  • 最大値を特定した後、漸進的な方法を選択する方法。ベジェ曲線は1次元信号では効果的かもしれませんが、2次元信号には直接適用できない場合があります。
そのため、Nunesらはラジアル基底関数とリース変換を用いて真の2次元EMDを扱いました。リース変換の形は次のとおりです。複素関数fが の場合、Rd{\displaystyle R^{d}}
j  = 1,2,..., dの場合。
定数は次元正規化された定数です。Cd{\displaystyle C_{d}}
cd=1πωd−1=Γ[(d+1)/2]π(d+1)/2.{\displaystyle c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}.}
Linderhedは画像圧縮にGenuine Two-Dimensional EMD法を採用しました。他の圧縮手法と比較して、この手法は歪み率​​が低くなっています。Song and Zhang [2001]、Damerval et al. [2005]、Yuan et al. [2008]は、画像の上限と下限を求めるためにDelaunay三角形分割法を使用しました。最大値の定義要件や段階的手法の選択によって、得られる効果は異なります。

その他のアプリケーション

制限事項

ChenとFeng [2003]は、HHT手順を改良する手法を提案した。[ 34 ]著者らは、EMDは狭帯域信号中の異なる成分を区別するのに限界があると指摘した。狭帯域信号には、(a) 隣接する周波数成分、または(b) 周波数は隣接していないものの、一方の成分のエネルギー強度が他の成分よりもはるかに高い成分が含まれる可能性がある。改良された手法は、ビート現象波に基づいている。

DatigとSchlurmann [2004] [ 35 ]は、不規則波への応用を中心とするHHTの性能と限界に関する包括的な研究を行った。著者らはスプライン補間について広範囲に調査を行い、より良いエンベロープを決定するために前方と後方の両方で追加点を使用する方法について議論した。また、提案された改善に関するパラメトリックスタディを実施し、EMD計算全体において大幅な改善を示した。著者らは、HHTは任意のデータから時間変動成分を区別できることを指摘した。また、この研究ではHHTが乗波と搬送波を区別できることも示された。

HuangとWu [2008] [ 36 ]は、ヒルベルト・フアン変換の応用を概説し、HHTの理論的根拠は純粋に経験的であることを強調し、「EMDの主な欠点の一つはモード混合である」と指摘した。彼らはまた、HHTの未解決の問題として、EMDの端効果、スプライン問題、最適なIMFの選択と一意性などを挙げている。ただし、後者の問題はアンサンブルEMD（EEMD）によって軽減される可能性がある。

最終効果

信号の始点と終点には、最初のデータポイントの前と最後のデータポイントの後にまとめて考慮する点がないため、終点効果が発生します。しかし、ほとんどの場合、これらの終点は信号の極値ではありません。そのため、HHTのEMD処理を実行すると、極値エンベロープは終点で発散し、重大な誤差が発生します。

この誤差は、IMF波形の両端において歪みを引き起こします。さらに、分解結果の誤差は、ふるい分け処理を繰り返すごとに蓄積されます。[ 37 ] IMFの瞬間周波数と振幅を計算する際、高速フーリエ変換（FFT）の結果はギブス現象や周波数漏洩を引き起こし、情報の損失につながる可能性があります。

HHT の終端効果を解決するために提案されているいくつかの方法を以下に示します。

1. 特徴的な波の延長方法

この方法は、信号固有の変化傾向を活用して信号自体を拡張し、元のデータの特性に近い拡張を実現します。

  • 波形マッチング拡張: [ 38 ]
この拡張は、信号内で類似の波形が繰り返されるという仮定に基づいています。したがって、信号波形内において、信号の境界に最も一致する三角波形が特定されます。そして、三角波形の対応する局所値に基づいて、信号境界内の局所値を予測することができます。
  • ミラー拡張方法:
多くの信号は内部に繰り返しパターンを示します。この特性を利用して、ミラー拡張法は元の信号の両端にミラーコピーを追加します。このシンプルで効率的なアプローチは、周期信号に対する固有モード関数（IMF）の精度を大幅に向上させます。しかし、非周期信号には適しておらず、副作用が生じる可能性があります。これらの制限に対処するために、いくつかの代替戦略が提案されています。[ 39 ]

2. データ拡張方法

特定の数学モデルを構築するために、元の信号から必要なパラメータを設計・計算します。その後、モデルは2つのエンドポイントのトレンドを予測します。

  • サポートベクター回帰マシン（SVRM）予測：[ 40 ]
この手法は、機械学習技術を用いてHHTにおける終端効果に対処します。適応性、柔軟性、高精度、そして周期信号と非周期信号の両方に有効という利点があります。計算の複雑さが懸念される場合もありますが、この要素を除けば、SVRMはHHTにおける終端効果を軽減するための堅牢かつ効果的なソリューションであることがわかります。
  • 自己回帰（AR）モデル：[ 41 ]
ARモデリングは、入出力関係を時間変動係数を持つ線形方程式として定式化することで、信号の終点における欠損値の統計的予測を可能にします。この手法は最小限の計算リソースを必要とし、特に定常信号の解析に有効です。しかし、非定常信号では精度が低下し、適切なモデル次数の選択が効果に大きな影響を与える可能性があります。
  • ニューラルネットワーク予測:
これらの手法は、ニューラルネットワーク学習の力を活用し、HHTにおけるエンド効果を軽減するための多用途かつ堅牢なアプローチを提供します。RBF-NN [ 42 ]やGRNN [ 43 ]を含む様々なネットワークアーキテクチャが登場し、信号内の複雑な関係性を捉え、大規模なデータセットから学習する能力を実証しています。

モード混合問題

モード混合問題はEMD処理中に発生する。ふるい分け手順を単純に実装すると、IMFモード整流によりモード混合が発生する。特定の信号が毎回同じIMFに分離されるわけではない。この問題により、特徴が1つのラベリングインデックスに固定されなくなるため、特徴抽出、モデル学習、パターン認識の実装が困難になる。モード混合問題は、HHT処理中に断続性テストを組み込むことで回避できる。[ 44 ]

マスキング方法

出典: [ 45 ]

マスキング法は、次の手順で類似の周波数成分を分離できるようにすることで、EMD を改善します。

  1. マスキング信号の構築：
    元データの周波数情報からマスキング信号を構築します。このマスキング信号は、EMDによって得られたIMFの低周波成分を防ぐように設計されています。s(n){\displaystyle s(n)}x(n){\displaystyle x(n)}
  2. マスキング信号を使用してEMDを実行します。
    修正信号 x+(n) = x(n) + s(n) に対してEMDを再度実行し、IMF z+(n) を得ます。同様に、 x-(n) = x(n) - s(n) に対してもEMDを実行し、IMF z-(n) を得ます。IMFはz(n) = (z+(n) + z-(n))/2 と定義されます。
  3. コンポーネントの分離:
    マスキング信号周波数を適切に選択することで、類似した周波数成分を分離できます。マスキング信号はモード混合を防ぎ、EMDは近接した周波数成分を区別することができます。
  4. エラー最小化:
    振幅などのマスキング信号のパラメータの選択は、アルゴリズムのパフォーマンスに影響します。

振幅の最適な選択は周波数に依存する。全体的に、マスキング法はモード混合を防ぐ手段を提供することでEMDを強化し、信号解析におけるEMDの精度と適用性を向上させる。

アンサンブル経験的モード分解（EEMD）

出典: [ 46 ]

EEMDは、元の信号に有限振幅のホワイトノイズを付加します。その後、EMDを用いて信号をIMFに分解します。EEMDの処理手順は以下のように展開されます。

  1. 元の信号に有限振幅のホワイトノイズを追加します。
  2. EMD を使用してノイズの多い信号を IMF に分解します。
  3. 手順 1 と 2 を複数回繰り返して、IMF のアンサンブルを作成します。
  4. アンサンブル全体の各 IMF の平均を計算して、最終的な IMF コンポーネントを取得します。

EEMDを用いた分解の効果は、追加されたホワイトノイズ系列が互いに打ち消し合う（またはスケール空間全体を均一に埋める）ことです。また、このノイズによって、EMD法はあらゆるデータに対して真の2項フィルタバンクとして機能することが可能になります。つまり、ノイズの多いデータセットにおいて、類似スケールの信号を1つのIMF成分に包含できるため、モード混合の可能性が大幅に低減されます。このアプローチは、分解の物理的な独自性を維持し、EMD法に対する大きな改善点となります。

関連する固有モード関数の選択

EMDにおいて適切なIMFを選択することは重要です。なぜなら、すべてのIMFが特定のタスクにとって意味のある有用な情報を持つとは限らないからです。一部のIMFはノイズ、モード混合、あるいは望ましくない残差トレンドに対応する可能性があります。EMDはデータ駆動型で適応型であるため、信号を高周波数から低周波数までのIMFに分解しますが、各IMFが物理的に解釈可能な、あるいは重要な成分を表すという保証はありません。低次のIMFは高周波数ノイズを捕捉することが多く、高次のIMFは低周波数のトレンドやアーティファクトを反映する可能性があります。したがって、ノイズの再導入や有益な信号成分の破棄を避けるために、どのIMFを保持するかを特定することが不可欠です。 IMFの選択を導くための方法はいくつかあり、エネルギーベースの閾値（例えば、信号のエネルギーに大きく寄与するIMFまたは特定のIMFのサブセットを保持する[ 47 ]）、エントロピーベースの尺度（順列エントロピーやサンプルエントロピーなど[ 48 ]）、元の信号との相関[ 49 ] 、相互情報量[ 50 ]、または教師あり学習を使用したタスク固有の関連性（例えば、分類タスクにおける特徴の重要性）などがある。

他の変換との比較

変身フーリエウェーブレットヒルベルト
基礎先験的に先験的に適応型
頻度畳み込み：グローバル、不確実性畳み込み：地域、不確実性差別化：ローカル、確実性
プレゼンテーションエネルギー周波数エネルギー-時間-周波数エネルギー-時間-周波数
非線形いいえいいえはい
非定常いいえはいはい
特徴抽出いいえ離散的: いいえ、連続的: はいはい
理論的根拠理論は完了理論は完了経験的

参照

参考文献

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