逆散乱変換

3段階アルゴリズム：初期解を初期散乱データに変換し、初期散乱データを進化させ、進化した散乱データを進化した解に変換する

数学において、逆散乱変換（または非線形フーリエ変換）は、波の散乱に関連する数学的手法を用いて非線形偏微分方程式の初期値問題を解く手法である。^{[ 1 ] : 4960} 直接散乱変換は、関数がどのように波を散乱するか、または束縛状態を生成するかを記述する。^{[ 2 ] : 39–43} 逆散乱変換は、波の散乱データを用いて波の散乱を担う関数を構築する。^{[ 2 ] : 66–67} 直接散乱変換と逆散乱変換は、線形偏微分方程式を解くために使用される直接フーリエ変換と逆フーリエ変換に類似している。^{[ 2 ] : 66–67}

一対の微分演算子を用いた3段階アルゴリズムで非線形微分方程式を解くことができる。すなわち、初期解を散乱データに変換し（直接散乱変換）、散乱データを時間的に前進させ（時間発展）、散乱データを時間的に前進させて解を再構築する（逆散乱変換）。^{[ 2 ]：66–67}

このアルゴリズムは、非線形偏微分方程式を解くことを2つの線形常微分方程式と1つの常積分方程式を解くことに簡略化し、最終的には、解くのが困難な多くの非線形偏微分方程式の解析解を導く方法である。^{[ 2 ]：72}

逆散乱問題は、少なくとも1次元空間の方程式の場合、リーマン・ヒルベルト分解問題と等価である。 ^{[ 3 ]}この定式化は、2以上の次数の微分演算子や周期問題にも一般化できる。^{[ 4 ]} より高い空間次元では、代わりに「非局所的」リーマン・ヒルベルト分解問題（乗算の代わりに畳み込みを使用）またはdバー問題が存在する。

歴史

逆散乱変換は孤立波の研究から生まれました。J.S .ラッセルは浅瀬で発生する「並進波」または「孤立波」について説明しました。^{[ 5 ]}最初にJ.V.ブシネスクが、後にD.コルテウェグとG.デフリースが、これらの波を記述する非線形偏微分方程式であるコルテウェグ・デフリース（KdV）方程式を発見しました。 ^{[ 5 ]}その後、N.ザブスキーとM.クラスカルは、フェルミ・パスタ・ウラム・ツィンゴウ問題を 数値解析的に調べ、孤立波は衝突粒子の弾性特性を持つことを発見しました。つまり、波の初期および最終的な振幅と速度は、波の衝突後も変化しません。^{[ 5 ]}これらの粒子のような波はソリトン と呼ばれ、分散効果と非線形効果の間の弱いバランスのために非線形方程式で発生します。^{[ 5 ]}

ガードナー、グリーン、クラスカル、三浦は、コルテヴェク・ド・フリース方程式を解くための逆散乱変換を導入した。^{[ 6 ]} ラックス、アブロウィッツ、カウプ、ニューウェル、セギュールはこのアプローチを一般化し、非線形シュレーディンガー方程式、サインゴードン方程式、修正コルテヴェク・ド・フリース方程式、カドムツェフ・ペトビアシビリ方程式、石森方程式、戸田格子方程式、ダイム方程式などの他の非線形方程式を解くことに成功した。^{[ 5 ] [ 7 ] [ 8 ]} このアプローチは、微分差分方程式、偏差分方程式、多次元方程式、分数積分非線形システムなど、さまざまな種類の非線形方程式にも適用されている。^{[ 5 ]}

説明

非線形偏微分方程式

独立変数は空間変数と時間変数である。添え字または微分演算子（）は微分を表す。関数 は、初期条件（値）を持つ非線形偏微分方程式 の解である。^{[ 2 ] : 72} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\textstyle \partial _{x},\partial _{t}}$ ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\textstyle u_{t}+N(u)=0}$ ${\textstyle u(x,0)}$

要件

微分方程式の解は積分可能性とファデーエフ条件を満たす: ^{[ 2 ] : 40}

積分可能性条件:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty }$

ファデエフの状態:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|)|u(x)|\ dx\ <\infty }$

微分演算子ペア

Lax微分作用素、 、は、係数に関数またはその導関数を含む可能性のある線型常微分作用素である。自己随伴作用素は時間微分を持ち、固有関数と時定数固有値（スペクトルパラメータ）を持つ固有値（スペクトル）方程式を生成する。^{[ 1 ] : 4963 [ 2 ] : 98} ${\textstyle L}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle u(x,t)}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L_{t}}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \lambda }$

${\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi ,\ }$ そして${\textstyle \ L_{t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}$

演算子は、固有関数が時間の経過とともにどのように進化するかを記述し、の固有関数から の新しい固有関数演算子を生成します。^{[ 1 ] : 4963} ${\textstyle M}$ ${\textstyle {\widetilde {\psi }}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle L}$

${\displaystyle {\widetilde {\psi }}=\psi _{t}-M(\psi )\ }$

Lax演算子を組み合わせると、固有関数の微分演算子ではなく乗法演算子が形成されます。^{[ 1 ]：4963} ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle (L_{t}+LM-ML)\psi =0}$

Lax演算子は乗法演算子を非線形微分方程式と等しくするために選択される。^{[ 1 ]：4963}

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0}$

アブロウィッツ、カウプ、ニューウェル、セガーによって開発されたAKNS微分演算子は、ラックス微分演算子の代替であり、同様の結果を達成します。[ ^{1 ] ： 4964 [ 9 ] [ 10 ]}

直接散乱変換

直接散乱変換は初期散乱データを生成する。これには、この微分方程式の固有関数解の反射係数、透過係数、固有値データ、および正規化定数が含まれる場合がある。^{[ 2 ]：39–48}

${\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi }$

散乱データの時間発展

散乱データの時間的変化を記述する方程式は、時間に関する1階線形常微分方程式の解として現れる。様々なアプローチを用いることで、この1階線形微分方程式は、線形微分演算子（Laxペア、AKNSペア）、線形微分演算子と非線形微分方程式の組み合わせ、あるいは追加の代入、積分、または微分演算によって得られる。空間漸近方程式（）は、これらの微分方程式の解を簡素化する。^{[ 1 ]：4967–4968 [ 2 ]：68–72 [ 6 ]}${\textstyle x\to \pm \infty }$

逆散乱変換

マルチェンコ方程式は散乱データを線形フレドホルム積分方程式に統合する。この積分方程式の解は非線形微分方程式の解u(x,t)となる。^{[ 2 ] :48–57}

例: Korteweg-De Vries 方程式

非線形微分 Korteweg-De Vries 方程式は ^{[ 11 ] : 4 です。}

${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

緩い演算子

Lax演算子は以下のとおりである: ^{[ 2 ] : 97–102}

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\ }$ そして${\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}$

乗算演算子は次のとおりです。

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

直接散乱変換

この微分方程式の解は

${\textstyle L(\psi )=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }$

連続的な固有値範囲を持つ散乱解（連続スペクトル）と離散的な固有値を持つ境界状態解（離散スペクトル）が含まれる場合がある。散乱データには、透過係数、左反射係数、右反射係数、離散固有値、および左および右境界状態正規化定数（ノルム定数）が含まれる。^{[ 1 ]：4960} ${\textstyle T(k,0)}$ ${\textstyle R_{L}(k,0)}$ ${\textstyle R_{R}(k,0)}$ ${\textstyle -\kappa _{1}^{2},\ldots ,-\kappa _{N}^{2}}$

${\displaystyle c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

${\displaystyle c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

散乱データの時間発展

空間的に漸近的な左および右のジョスト関数は このステップを簡素化する。^{[ 1 ]：4965–4966} ${\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}$ ${\textstyle \psi _{R}(k,x,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{aligned}}}$

従属定数は 右と左のジョスト関数と右と左の正規化定数を関連付けます。^{[ 1 ]：4965–4966} ${\textstyle \gamma _{j}(t)}$

${\displaystyle \gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{N-j}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}}$

Lax微分演算子は、他の固有関数の時間依存線形結合として表現できる固有関数を生成する。^{[ 1 ]：4967} ${\textstyle M}$

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

これらの微分方程式の解は散乱と境界状態の空間漸近的ジョスト関数を用いて決定され、透過係数は時間一定であるが、反射係数と正規化係数は時間依存であることを示す。^{[ 1 ]：4967–4968} ${\textstyle T(k,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{aligned}}}$

逆散乱変換

マルチェンコ核は^{[ 1 ] :4968–4969で} ある。${\textstyle F(x,t)}$

${\displaystyle F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}}$

マルチェンコ積分方程式は、について解かれる線形積分方程式である。^{[ 1 ]：4968–4969} ${\textstyle K(x,y,t)}$

${\displaystyle K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0}$

マルチェンコ方程式の解は、非線形偏微分方程式の解を生成する。 ^{[ 1 ] : 4969} ${\textstyle K(x,y,t)}$ ${\textstyle u(x,t)}$

${\displaystyle u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,x,t)}{\partial x}}}$

積分可能な方程式の例

• コルテヴェク・ド・フリース方程式
• 非線形シュレーディンガー方程式
• カマッサ・ホルム方程式
• サイン・ゴルドン方程式
• 戸田格子
• 石森方程式
• Dym方程式

参照

• 量子逆散乱法
• 積分可能なシステム

引用

1. アクトサン 2009 .
2. ドラジン＆ジョンソン 1989 .
3. Ablowitz & Fokas 2003、604–620 ページ。
4. オズボーン 1995 .
5. アブロウィッツ 2023 .
6. ガードナーら 1967 .
7. コノペルチェンコ＆ドゥブロフスキー 1991 .
8. 大野 1996 .
9. アブロウィッツら 1973 .
10. アブロウィッツら 1974 .
11. アブロウィッツ＆セガー 1981 .

参考文献

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• Ablowitz, MJ; Kaup, DJ; Newell, AC; Segur, H. (1974). 「逆散乱変換―非線形問題に対するフーリエ解析」応用数学研究. 53 (4): 249– 315. doi : 10.1002/sapm1974534249 .

• アブロウィッツ、マーク・J.; セガー、ハーヴェイ (1981).ソリトンと逆散乱変換. SIAM. ISBN 978-0-89871-477-7。

• アブロウィッツ、マーク・J.; フォカス、AS (2003). 『複素変数：入門と応用』 ケンブリッジ大学出版局. pp.  604– 620. ISBN 978-0-521-53429-1。

• Ablowitz, Mark J. (2023). 「非線形波と逆散乱変換」 . Optik . 278 170710. Bibcode : 2023Optik.27870710A . doi : 10.1016/j.ijleo.2023.170710 .

• アクトスン、トゥンチャイ (2009). 「逆散乱変換とソリトン理論」.複雑系科学百科事典. シュプリンガー. pp.  4960– 4971. arXiv : 0905.4746 . doi : 10.1007/978-0-387-30440-3_295 . ISBN 978-0-387-30440-3。

• ドラジン, PG; ジョンソン, RS (1989). 『ソリトン入門』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-33655-0。

• ガードナー, クリフォード S.; グリーン, ジョン M.; クラスカル, マーティン D.; ミウラ, ロバート M. (1967). 「コルテウェグ-デフリース方程式の解法」 .フィジカル・レビュー・レターズ. 19 (19): 1095– 1097.書誌コード: 1967PhRvL..19.1095G . doi : 10.1103/PhysRevLett.19.1095 .

• Konopelchenko, BG; Dubrowsky, VG (1991). 「石森方程式の局所ソリトン」. Sattinger, David H.; Tracy, CA; Venakides, Stephanos (編). 『逆散乱とその応用』アメリカ数学会 pp.  77– 90. ISBN 978-0-8218-5129-6。

• Oono, H. (1996). 「逆散乱法によるハリー・ダイム方程式のNソリトン解」. Alfinito, E.; Boiti, M.; Martina, L. (編).非線形物理学：理論と実験. World Scientific Publishing Company Pte Limited. pp.  241– 248. ISBN 978-981-02-2559-9。

• Osborne, AR (1995). 「ソリトン物理学と周期的逆散乱変換」 . Physica D: 非線形現象. 86 (1): 81– 89. Bibcode : 1995PhyD...86...81O . doi : 10.1016/0167-2789(95)00089-M . ISSN  0167-2789 .

さらに読む

• アブロウィッツ、マーク・J.; クラークソン、PA (1991年12月12日).ソリトン、非線形発展方程式、逆散乱. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-38730-9。

• Bullough, RK; Caudrey, PJ (2013年11月11日). Solitons . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-81448-8。

• ガードナー, クリフォード S.; グリーン, ジョン M.; クラスカル, マーティン D.; ミウラ, ロバート M. (1974)「コルテウェグ-デフリース方程式とその一般化。VI. 厳密解法」, Comm. Pure Appl. Math. , 27 (1): 97– 133, Bibcode : 1974CPAM...27...97G , doi : 10.1002/cpa.3160270108 , MR  0336122

• ゲルファンド、イズライル・モイセヴィッチ (1955). 「スペクトル関数からの微分方程式の決定について」アメリカ数学会. p. 253-304.

• Marchenko, Vladimir A. (1986). Sturm-Liouville作用素とその応用. 作用素理論：進歩と応用. 第22巻. バーゼル：ビルクハウザー. doi : 10.1007/978-3-0348-5485-6 . ISBN 978-3-0348-5486-3。

• ショー, JK (2004年5月1日).光ファイバー通信の数学的原理. SIAM. ISBN 978-0-89871-556-9。

外部リンク

• 「IST に関する入門的な数学論文」(PDF)。 （300  KB）
• 逆散乱変換とソリトン理論