Yff合同中心

幾何学において、イフ合同心は三角形に関連付けられた特別な点である。この特別な点は三角形の中心であり、ピーター・イフは1987年にこの三角形の中心の研究を開始した。^{[ 1 ]}

アイソセライザー

三角形△ ABCの角Aの等角二等分線は、点P ₁、Q ₁を通る直線で、点P _{1 は}AB上にあり、点 Q ₁はAC上にあり、三角形△ AP ₁ Q ₁は二等辺三角形である。角Aの等角二等分線は、角Aの二等分線に垂直な直線である。等角二等分線は、1963年にピーター・イフによって発明された。^{[ 2 ]}

Yff中央三角形

  基準三角形△ ABC

  △ A'P ₂ Q ₃ ≅  △ Q ₁ B'P ₃ ≅  △ P ₁ Q ₂ C' ≅

  △ A'B'C' ( Yff 中央三角形)

△ ABC を任意の三角形とする。P 1 _{Q 1 を}角Aの等角三角形、P ₂ Q _{2 を}角Bの等角三角形、P ₃ Q ₃を角Cの等角三角形とする。△ A'B'C' を3つの等角三角形によって形成される三角形とする。4つの三角形△ A'P ₂ Q ₃、△ Q ₁ B'P ₃、△ P ₁ Q ₂ C'、 △ A'B'C 'は常に相似である。

3つの等角三角形P ₁ Q ₁、P ₂ Q ₂、P ₃ Q ₃の唯一の集合が存在し、4つの三角形△ A'P ₂ Q ₃、 △ Q ₁ B'P ₃、 △ P ₁ Q ₂ C' 、 △ A'B'C 'は合同である 。この特別な場合において、 3つの等角三角形によって形成される△ A'B'C'は△ ABCのYff 中心三角形と呼ばれる。^{[ 3 ]}

Yff 中心三角形の外接円は、三角形の Yff 中心円と呼ばれます。

Yff合同中心

Yff中心三角形がYff合同中心に向かって連続的に縮小していく様子を示すアニメーション。また、このアニメーションは、Yff中心三角形が連続的に拡大し、外側の3つの三角形が三角形の辺上の点にまで縮小していく様子も示しています。

△ ABC を任意の三角形とする。P 1 _Q 1 _、 P 2 _Q 2 _、 P 3 _Q 3_を角A、 B、 Cの等角線とし、これらによって形成される三角形△ A'B'C'が△ ABCの Yff 中心三角形であるとする。3 つの等角線P ₁ Q ₁、P ₂ Q ₂、 P ₃ Q ₃は連続的に平行移動しており、3 つの三角形△ A'P ₂ Q ₃、 △ Q ₁ B'P ₃、 △ P ₁ Q ₂ C' は、等角線の交点で形成される△ A'B'C'が一点に縮約されるまで、常に互いに合同である。 △ A'B'C' が縮約される点は△ ABCのYff 合同中心と呼ばれる。

プロパティ

任意の三角形△ ABCは、 △ ABCの Yff 中心三角形の3 つの外接円に外接する線によって形成される三角形です。

• Yff合同中心の三線座標は^{[ 1 ]である。}$${\displaystyle \sec {\frac {A}{2}}:\sec {\frac {B}{2}}:\sec {\frac {C}{2}}}$$
• 任意の三角形△ ABCは、 △ ABCの Yff 中心三角形の 3 つの外接円に外接する線によって形成される三角形です。
• Iを△ ABCの内心とする。DをBC辺上の点として∠BID = ∠DIC 、 EをCA辺上の点として∠CIE = ∠EIA 、 FをAB辺上の点として∠AIF = ∠FIBとする。すると、直線AD、BE、CFはYff合同中心で交わる。この事実は、 Yff合同中心を求めるための幾何学的構成を与える。^{[ 4 ]}
• Yff中心三角形の特性に関するコンピュータ支援検索により、Yff中心三角形の特性に関するいくつかの興味深い結果が得られました。^{[ 5 ]}

Yff合同中心の一般化

一般化

Yff合同中心を求める幾何学的構成には、興味深い一般化がある。この一般化は、三角形△ ABCの平面上の任意の点Pから始まる。次に、 BC、CA、ABの各辺上に点D、E、Fをとり、 この一般化は、直線AD、BE、CFが交わることを主張する。^{[ 4 ]}$${\displaystyle \angle BPD=\angle DPC,\quad \angle CPE=\angle EPA,\quad \angle APF=\angle FPB.}$$

参照

• 合同な等角線点
• 中央三角形

参考文献

1. キンバリング、クラーク「Yff合同中心」 。 2012年5月30日閲覧。
2. Weisstein, Eric W. 「Isoscelizer」 . MathWorld--A Wolfram Web Resource . 2012年5月30日閲覧。
3. Weisstein, Eric W. 「Yff 中心三角形」 . MathWorld - Wolfram Web Resource . 2012年5月30日閲覧。
4. キンバリング、クラーク。「X(174) = Yff合同中心」 。 2012年6月2日閲覧。
5. Dekov, Deko (2007). 「Yff合同中心」 . Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry . 37 : 1–5 . 2012年5月30日閲覧。