合同な等角線点

幾何学において、合同な等角線点は平面三角形に関連付けられた特別な点です。これは三角形の中心であり、クラーク・キンバリングの『三角形の中心事典』ではX（173）として記載されています。この点は、1989年にピーター・イフによって三角形幾何学の研究に導入されました。^[¹^]^[²^]

定義

{\displaystyle {\overline {P_{1}Q_{1}}}={\overline {P_{2}Q_{2}}}={\overline {P_{3}Q_{3}}}} — ${\overline {P_{1}Q_{1}}}={\overline {P_{2}Q_{2}}}={\overline {P_{3}Q_{3}}}$

三角形 $△$ $ABC$ の角 $Aの$ 二等分線は、点 $P$ $1$ と $点 Q$ $1$ を通る直線で、 $P$ $1 は$ $AB$ 上にあり、 $Q$ $1 は$ $AC$ 上にあり、三角形 $△$ $AP$ $1$ $Q$ $1$ は二等辺三角形です。角 $A$ の二等分線は、角 $A$ の二等分線に垂直な直線です

$△ ABC を$ $任意$ の三角形とする。P 1 Q 1 、P 2 Q 2 、P 3 Q 3 をそれぞれ角 A、B、C の等角線とし、 $それら$ $はすべて同じ長さとする。このとき、唯一$ の $配置$ として、3つの等角線 $P 1 Q 1 、 P 2 Q 2 、 P 3 Q 3$ は共線となる。共線点は三角形 $△$ $ABC$ の合同な等角線点である。^[¹^]

性質

三角形 $△$ $ABC$ の合同な等角線点の三線座標は^[¹^]である。

${\begin{array}{ccccc}\cos {\frac {B}{2}}+\cos {\frac {C}{2}}-\cos {\frac {A}{2}}&:&\cos {\frac {C}{2}}+\cos {\frac {A}{2}}-\cos {\frac {B}{2}}&:&\cos {\frac {A}{2}}+\cos {\frac {B}{2}}-\cos {\frac {C}{2}}\\[4pt]=\quad \tan {\frac {A}{2}}+\sec {\frac {A}{2}}\quad \ \ &:&\tan {\frac {B}{2}}+\sec {\frac {B}{2}}&:&\tan {\frac {C}{2}}+\sec {\frac {C}{2}}\end{array}}$

$三角形△$ $ABC$ の接線三角形の接線三角形は $△$ $ABC の$ 透視図であり、合同な等角三角形の点は透視図となる。この事実は、任意の $△$ $ABC$ の合同な等角三角形の点を幾何学的な作図によって求める際に利用できる。^[¹^]

参照

参考文献

^ ^a ^b ^c ^d Kimberling, Clark. 「X(173) = 合同な等角化点」 .三角形の中心百科事典. 2012年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年6月3日閲覧。
^キンバリング、クラーク「合同な等角化点」。 2012年6月3日閲覧。

[ETC-1] Kimberling, Clark. 「X(173) = 合同な等角化点」 .三角形の中心百科事典. 2012年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年6月3日閲覧。

[2] キンバリング、クラーク「合同な等角化点」。 2012年6月3日閲覧。

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