イタロ・ホセ・デイター
イタロ・ホセ・デイター
イタロ・ホセ・デイター
生まれる1939年12月17日（年齢  （1939年12月17日）86）
バイアブランカ、アルゼンチン
母校
知られている
科学者としてのキャリア
フィールド
機関プエルトリコ大学、リオ ピエドラス キャンパス
博士課程の指導教員テッド・ペトリー

イタロ・ホセ・デイター（1939年12月17日）はアルゼンチン生まれのアメリカの数学者であり、プエルトリコ大学（1984年8月 - 2018年2月）の数学とコンピュータサイエンスの退職教授であり、代数的位相幾何学、 微分位相幾何学、グラフ理論、符号理論、組合せデザインの研究者である。彼は1967年にブエノスアイレス大学で 数学の学士号を取得し、1970年にグッゲンハイム・フェローシップでラトガース大学に着任し、 1975年にテッド・ペトリー教授の指導の下、国立科学財団の支援を受けて数学の博士号を取得した。[ 1 ]彼は、1977年から1984年まで、ブラジルのサンタカタリーナ連邦大学で、国家科学技術開発評議会（CNPq） からの助成金を受けて教授を務めた 。

デイター氏は、サンパウロ大学、国立純粋応用数学研究所、リオグランデ・ド・スル連邦大学、ケンブリッジ大学、メキシコ国立自治大学、サイモン フレーザー大学、ビクトリア大学、ニューヨーク大学、 イリノイ大学アーバナ・シャンペーン校、マクマスター大学、DIMACS、バルセロナ自治大学、デンマーク工科大学、オーバーン大学、カタルーニャ工科大学、マドリード工科大学、カレル大学、オタワ大学、シモン・ボリバル大学など、数多くの研究機関で客員研究員を務めてきました。以下のセクションでは、上記の第1段落または隣接するボックスで言及されている研究分野におけるデイター氏の研究の関連性について説明します。

代数的および微分的位相幾何学

1971年、テッド・ペトリー[ 2 ]は、X が円の非自明な滑らかな作用を許容する閉じた滑らかな2 n次元ホモトピー複素射影空間であり、X を 2 n次元複素射影空間に写す関数h がホモトピー同値である場合、h はポントリャギン類を保存すると予想した。1975年、デイター[ 3 ]は n=3 の場合のペトリーの予想を証明し、この方法により、すべての閉じた滑らかな 6 次元ホモトピー複素射影空間は複素 3 次元射影空間 CP 3でなければならないことを確立した。デイターの結果は、ペトリーの CP 3へのエキゾチックな S 1作用[ 4 ]（ CP 3への自明な S 1作用は別として） を考慮すると最も関連性が高い。

G をコンパクトリー群、Yを滑らかなG多様体、F をY 上の同じ次元の Gベクトル束間のGファイバー 写像とし、各Gファイバー上では固有で次数 1 であるとする。Petrie [ 2 ]はまた、F に対して適切に G ホモトピックで、零切断を横切る滑らかな G 写像が存在するための必要十分条件は何かと質問した。Dejter [ 5 ]は両方のタイプの条件を示したが、反例により必要十分条件には近づかなかった。[ 5 ]

微分位相幾何学の問題を代数位相幾何学の解に還元して上記の結果を確立するために使用される主なツールは、同変代数 K 理論です。ここで、同変は円、つまり複素平面の単位円によって与えられたグループに関して理解されます。

グラフ理論

エルデシュ・ポーサの定理と奇数サイクル

1962 年、ポール・エルデシュとラヨシュ・ポーサは、すべての正の整数 k に対して、すべてのグラフ G に対して、(i) G が k 個の頂点互いに素な（長および/または偶数）閉路を持つか、(ii) G の k' 個未満の頂点の部分集合 X が存在し、G \ X が（長および/または偶数）閉路を持たないかのいずれかとなるような正の整数 k' が存在することを証明しました。今日ではエルデシュ・ポーサの定理として知られるこの結果は、奇数閉路には拡張できません。実際、1987 年にデイターとヴィクター・ノイマン＝ララ[ 6 ]は、整数 k > 0 が与えられた場合、G の頂点を除去すると G のすべての奇数閉路が破壊されるような G の頂点の数が k よりも多いようなグラフ G が存在することを示しました。

2進7立方体のリュブリャナグラフ

1993 年、[ 7 ] Brouwer、Dejter、およびThomassen は、 112 個の頂点と 168 個の辺を持つ無向二部グラフ(半対称、つまり辺は推移的だが頂点は推移的ではない、直径8、半径 7、彩色数2、彩色指数3、内周 10 の立方体グラフで、長さ 10 の周期がちょうど 168 個、長さ 12 の周期が 168 個ある ) を説明し、2002 年以来リュブリャナ グラフとして知られている。彼ら[ 7 ]は また、長さ 7 のハミング コードのコピーを2 進 7立方体から削除することによって得られるDejter グラフ[ 8 ]は、リュブリャナ グラフの 2 つのコピーに3因数分解できることを確立した。 も参照。[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]さらに、この主題と正方形ブロック部分集合および超立方体の完全支配集合（下記参照）との関係は、1991年以降、Dejterらによって[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]および[ 9 ]で取り上げられてきました。

実際、[ 7 ]で次の2つの疑問に答えられています。

(a)単色の4サイクルや6サイクルなしでnキューブを彩色するには、何色必要でしょうか? Brouwer、Dejter、Thomassen [ 7 ]は、4色で十分であることを示し、それによってエルデシュの問題を解決しました。[ 15 ] （FRKChung [ 16 ] によって独立に発見されました。これを改良して、Marston Conder [ 17 ]は1993年に、nが3以上のすべての場合、単色の4サイクルや6サイクルが存在しない方法で nキューブの辺を3色に着色できることを示しました）。

(b) ハイパーキューブにはどのような頂点推移的誘導サブグラフがありますか?前述のデイターグラフは6正則で頂点推移的であり、示唆されているように、その辺は2色にすることができるため、結果として得られる2つの単色サブグラフは、内周10の半対称リュブリャナグラフと同型です。

1972年に、IZバウワー[ 18 ]は、リュブリャナグラフの特性を持つグラフをRMフォスターに帰属させた。

コクセターグラフとクライングラフ

2012 年に Dejter [ 19 ]は、56 頂点の Klein 立方グラフ F {56} B [ 20 ] （ここでは Γ' と表記）は、28 頂点のCoxeter 立方グラフΓ から、Γ を-超同次 [ 21 ] 有向グラフと見なして得られる向きを与えられた 24 個の 7 サイクルの正方形を適切にジッピングすることによって得られることを示した。ここで、Γ において向き付けられた 7 サイクルとそれらの向き付けられた 7 サイクルをしっかりと固定する 2 アークの両方によって形成されるコレクションである。このプロセスで、Γ' は C' 超同次（無向）グラフであることがわかる。ここで、C' は Γ' において 7 サイクルとそれらの 7 サイクルをしっかりと固定する 1 パスの両方によって形成されるコレクションである。これにより、Γ'の3次元トーラスT 3への埋め込みが得られ、これはコクセター記法(7,3) 8のクライン写像[ 22 ]を形成する。T 3におけるΓ'の双対グラフは距離正則クライン四次グラフであり 、対応するコクセター記法(3,7) 8の双対写像を持つ。この研究の他の側面については、以下のページにも引用されている。 C{\displaystyle {\mathcal {C}}}C{\displaystyle {\mathcal {C}}}

四次グラフの重接線。コクセターグラフ。ヒーウッドグラフ。

2010年に、Dejter [ 23 ]は、 -超同次グラフの概念を有向グラフに適用し、 ファノ平面の順序付き線分のペンシルを順序付きペンシルに置き換えたCoxeterグラフの定義を変更することで、168の頂点と126の対弧分離した4サイクルを持ち、入次数と出次数が3で長さ2と3の回路を持たない、強く連結された-超同次有向グラフを提示した。 C{\displaystyle {\mathcal {C}}}C→4{\displaystyle {\vec {C}}_{4}}

超同次グラフ（それぞれ有向グラフ）の研究は、シーハン[ 24 ] ガーディナー[ 25 ]ロンセ[ 26 ]キャメロン[ 27 ]ゴルファンドとクリン[ 28 ]（それぞれ、フレイセ[ 29 ]ラクランとウッドロー[ 30 ]シェリン[ 31 ] ）に遡ることができる。ボンディとマーティ[ 32 ]の77ページも参照のこと。

K d -超均質構成

2013年[ 33 ] 、 K d -超同次グラフとして表現可能な自己双対1構成(n d ) 1 [ 35 ] [ 36 ]の連結メンガーグラフ[ 34 ] の研究に触発されて、デイターは、頂点とK dのコピーの役割が交換可能な、n頂点上のn個のK dのコピーの最も対称的で連結された辺分離した和集合を生成するようなグラフがnのどの値に対して存在するのか疑問に思いました。 d=4 の場合、n の既知の値は、n=13, 21 [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]および n=42, [ 40 ]である。2009 年の Dejter によるこの文献では、G 内の 42 個の K 4のうちの 2 個または 21 個の K 2,2,2のうちの 2 個の間の各同型が G の自己同型に拡張されるグラフ G が示されている。関係する n の値のスペクトルと重複度を決定することは興味深いが、Dejter [ 33 ]は、 Biggs-Smith関連スキーム(6 次元[ 41 ] mod 17で提示)を介して n=102 の値を提供し、3 次元立方体の線グラフの 102 個の (立方八面体) コピーが K 4の 102 個の (四面体) コピーに付着することを制御することが明らかになっている。これらの 102 個の (四面体) コピーは、各三角形を K の 2 個のコピーと共有している。立方八面体コピーであり、ビッグス・スミスグラフの距離3グラフが自己双対1構成のメンガーグラフ（102 4）1であることを保証する。この結果[ 33 ]は、距離推移グラフをC-UHグラフに変換する手法の応用として得られ、上記の論文[ 19 ]を生み出し、また、有向グラフとしてパップスグラフをデザルググラフに対比させる[ 42 ]ことも可能にした。

これらの応用例や参考文献[ 43 ]では、以下の定義が用いられている。有向グラフの族 C が与えられたとき、有向グラフ G が C 超同型であるとは、G における C の二つの誘導元間の同型性がすべて G の自己同型に拡張される場合を言う。[ 43 ]では、既存の 12 個の距離推移立方グラフのうち、ちょうど 7 個が、有向サイクルに関して特定の超同型特性を持ち、その内径によって、同様の超同型特性を持つ関連ケイリー有向グラフの構築が可能になることが示されている。このケイリー有向グラフでは、有向サイクルが最小限に「引き離される」、つまり「分離される」ように見え、その記述は実に美しく洞察に富んでいる。

グラフにおけるハミルトン性

1983年、デイター[ 44 ]は、 2nx2n盤上の通常の(1,2)、(resp (1,4))型のチェスナイトのグラフにおいて、 Z 4 -ハミルトンサイクル が存在するための等価条件として、 nが2、(resp. 4)より大きい奇数であることを発見した。これらの結果は、ナイトの巡回問題のアルゴリズム的側面に関連して、 I. パーベリー[ 45 ] [ 46 ]によって引用されている。

1985年、デイター[ 47 ]は、中間レベルグラフにおけるハミルトンサイクルの構築手法を提示した。このようなサイクルの存在は、1983年にI. ハヴェル[ 48 ]、1984年にM. バックとD. ヴィーデマン[ 49 ]によって予想されていた（ただし、 1983年1月にベーラ・ボロバスはこれをポール・エルデシュ予想としてデイターに提示した）。そして、2014年にT. ミュッツェ[ 50 ]によって確立された。この手法はデイターら[ 51 ] [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ] [ 56 ]によって用いられた。

2014年、Dejter [ 57 ]はこの問題に戻り、二面体群の作用下にある各中間レベルグラフの商グラフの頂点の標準的な順序を確立しました。この順序は、制限成長文字列 [ 59 ] [ 60 ]（k番目のカタラン数[ 61 ]は、 J. Arndtが325ページ [60] で行っているように、k個の「ゼロ」と単一の「1」を持つ文字列 10...0 で表されます）で構成される番号付けシステムの最初のセクション（Neil Sloane著のOn - Line Encyclopedia of Integer SequencesではシーケンスA239903として表示）と1対1で対応し、Kierstead - Trotterの語彙マッチングカラーに関連付けられています。[ 62 ]この数え方は、中間レベル予想の二面体対称制限版にも適用できるかもしれない。

1988年、Dejter [ 63 ]は、任意の正の整数nに対して、 n頂点の完全グラフK nのすべての2被覆グラフを決定できることを示した。さらに、その中で連結され、最大自己同型群を持ち、たまたま二部グラフであるグラフは1つだけであることを示した。Dejterはまた、iが4未満のとき、K nのi被覆グラフはハミルトンであること、およびK nの4被覆である適切に最小連結された非ハミルトン被覆グラフが得られることを示した。また、この研究で、 K nの非ハミルトン連結な6被覆が 構築された。

1988年、デイター[ 64 ]は、k、n、qが整数で、0 <2k<n=2kq 1のとき、2n x 2nチェス盤上の(1,2k)型の一般化チェスナイトの動きによって生成されるグラフは、1/4回転に対して不変なハミルトンサイクルを持つことを示した。k=1、または2の場合、このことは、このようなサイクルの存在に対する必要十分条件として、nが奇数であり、かつ2k-1より大きいことまで拡張される。 ±{\displaystyle \pm}

1990年に、Dejter [ 65 ]は、nとrが0より大きい整数でn+rが2より大きい場合、(n + 2r) 2とn2のエントリを持つ2つの同心正方形ボードAとBの差は、rが2より大きく、nまたはrのいずれかが奇数の場合にのみ、 1 /4回転でチェスナイトハミルトンサイクル不変量を持つことを示しました。

1991年、DejterとNeumann-Lara [ 66 ]は、グラフG上で自由に作用する群Znが与えられたとき、電圧グラフの概念[ 67 ]が、 ZnのGへの作用の下で不変なG内のハミルトンサイクルの探索に適用されることを示した。応用として、n = 2と4の場合、それぞれ正方形の象限と長方形の半盤にまたがるパスを含むチェスナイトハミルトンサイクルの同等の条件と下限が見つかった。

双正則グラフの弧の色付け

グラフ H の各辺には 2 つの反対向きの弧があることを思い出してください。H の各頂点 v は、v に入射する H の辺 e に沿って v から出発する弧の集合 (v,e) と同一視されます。H を、二分割(Y,X) を持つ (λ,μ)双正則グラフとします。ここで、|Y|=kμ、|X|=kλ です。ただし、k<0、λ、μ は整数です。[ 68 ] Dejterは、H の各辺 e=yx について、それぞれ Y および X の要素で指定された色を、弧 (y,e) および (x,e) に割り当て、各色が H の各頂点から出発する弧の集合内で正確に 1 回割り当てられるようにする問題を考察しました。さらに、Dejter は、このような割り当てをY×X の単調な部分集合上で特定の 2 色重み関数を満たすように設定し、この問題が工業化学、分子生物学、細胞神経科学などの実験計画法に当てはまることを指摘しました。巡回群のペアで二分割が与えられた双正則グラフに基づくアルゴリズムの構築も Dejter の研究で紹介されており、また、ピーターセングラフの頂点と 5 閉路で二分割が形成される異なる双正則グラフに基づく、グレート サークル チャレンジ パズルの本質的に異なる 3 つの解法も紹介されています。

完璧な支配セット

グラフ G の完全支配集合 S は、G の頂点の集合であって、G のすべての頂点が S 内にあるか、または S のちょうど 1 つの頂点と隣接しているような集合である。Weichsel [ 69 ]は、n 次元立方体Q nの完全支配集合が、その構成要素が超立方体に同型であるQ nのサブグラフを誘導することを示し、これらの超立方体のそれぞれが同じ次元を持つと予想した。1993 年に、Dejter と Weichsel [ 14 ]は、それらの構成要素が同じ次元を持ちながら方向が異なる、すなわち、1 つの辺によってそれぞれ形成される 1 次元立方体の構成要素を持つ 8 次元立方体の場合の最初の既知の事例を提示し、関係する辺は次のように発生する:

(a) 1988年、イスラエルのレホヴォトでアレクサンダー・フェルゼンバウムがヴァイクセルに語った4つの異なる方向。

(b) 8つの異なる方向。長さ7のハミング符号、ヒーウッドグラフ、ファノ平面、および順序7のシュタイナー三重システムが含まれます。

上記(a)の結果は、2のべき乗次元の立方体において、各要素が座標方向の半分に唯一の辺を持つような完全支配集合に直ちに拡張される。一方、1991年にDejterとPhelps [ 70 ]は、上記(b)の結果をさらに拡張し、各要素が全座標方向に唯一の辺を持つような、2のべき乗次元の立方体に拡張した。（ただし、この結果は著者らが計画していたq元立方体には未だ拡張されていない。）

ヴァイクセル予想[ 69 ]は、ÖstergårdとWeakley [ 71 ]によって肯定的に解答された。彼らは13次元立方体において、26個の4次元立方体と288個の孤立頂点からなる完全支配集合を見出した。DejterとPhelps [ 72 ]はこの結果の簡潔かつ簡潔な証明を与えた。

効率的な支配セット

E チェーンは、それぞれが効率的な支配集合を持つ、入れ子になったグラフの可算な族です。n キューブのハミングコードは、E チェーンの古典的な例です。Dejter と Serra [ 73 ]は、ケイリー グラフの E チェーンを生成するための構築ツールを提供しました。このツールは、対称群上の直径 2 の転置木によって生成されたケイリー グラフの E チェーンの無限族を構築するために使用されました。スター グラフとして知られるこれらのグラフ[ 74 ]は、 Arumugam と Kala [ 75 ]によって確立された効率的な支配特性を備えていました。 一方、Dejter と O. Tomaiconza [ 76 ]は、直径 3 の転置木によって生成されたどのケイリー グラフにも効率的な支配集合が存在しないことを証明しました。スター グラフのスレッド距離木と E 集合に関するさらなる研究は、Dejter によって実施されました。[ 77 ] 2012年、Dejterは上記の結果を有向グラフに適用した。 [ 78 ]実際、有向グラフにおける最悪の効率的な支配集合は、特定の強い有向グラフにおけるそれらの存在が、スターグラフにおける効率的な支配集合の存在に対応するように考えられている。スターグラフがいわゆる稠密なセグメント的近傍E鎖を形成するという事実[ 73 ]は、有向グラフにおける対応する事実に反映されている。

準完全支配集合

2009 年、[ 79 ] Dejter は、グラフ G の頂点部分集合 S を、S に含まれない G の各頂点 v が S の d v ∈{1,2} 頂点に隣接するとき G の準完全支配集合と定義し、次にSchläfli 記号{3,6} の正則タイル張りグラフとそのトーラス商グラフの完全支配集合と準完全支配集合を調査し、それらの完全支配集合と、K νの形式の誘導成分を持つ準完全支配集合 S のほとんどの分類を導きました。ここで ν ∈{1,2,3} は S にのみ依存します。

符号理論

完全な誤り訂正符号の不変量

完全誤り訂正符号の不変量は、Dejter [ 80 ] [ 81 ]および Dejter と Delgado [ 82 ]によって取り上げられ、完全 1 誤り訂正符号 C は、その符号語に関連付けられた Steiner の 3 重システムを介してその核上で「折り畳み可能」であることが示されています。結果として生じる「折り畳み」により、Pasch 構成とテンソルを介して C のグラフ不変量が生成されます。さらに、この不変量は、F. Hergert [ 84 ]の見解では長さ 15 の Vasil'ev 符号[ 83 ]に対して完全であり、非加法の propelinear 1-完全符号の存在を示し、[ 85 ] [ 86 ]核を法とするそのクラスによって形成される可換群によって propelinear 符号を視覚化できるようになり、また、関連する順列の合成をより一般的な群積に拡張することで propelinear 符号の概念を一般化することもできます。

完全リー符号の一般化

コンピュータアーキテクチャへの応用問題をきっかけに、アラウジョ、デイター、ホラック[ 87 ]はグラフにおける完全距離支配集合（PDDS）の概念を導入した。これは、完全リー符号[ 88 ] 、 直径完全符号[ 89 ]、その他の符号や支配集合の一般化を構成し、このような頂点集合の体系的な研究のきっかけとなった。これらの集合のいくつかは、動機となった応用に関連して構築され、他の集合は存在しないことが実証された。実際、長年提唱されてきたゴロム・ウェルチ予想[ 88 ]のPDDSに関する拡張が示された。

完全なコード

DejterとDelgadoによると、[ 90 ] mxnグリッドグラフGの辺P mの頂点部分集合S'が与えられたとき、SとV(P m )の交差をS'とするGの完全支配集合Sは、実行時間O(2 m+n )の網羅的アルゴリズムによって決定できる。このアルゴリズムを幅m-1の無限グリッドグラフに拡張すると、周期性によりバイナリ決定木を有限スレッド木に刈り込み可能になり、その閉じたウォークによってそのような集合Sがすべて得られる。このような集合Sの補集合によって誘導されるグラフは、正の整数の順序付きペアの配列でコード化でき、その成長と決定のためのより高速なアルゴリズムが存在する。完全完全符号S（すなわち、誘導成分として1-キューブのみを持つもの、1-PDDS [ 87 ]およびDPL(2,4) [ 89 ]とも呼ばれる）を持つグリッドグラフの最近の特徴付けは、KlostermeyerとGoldwasser [ 91 ]によるものであり、DejterとDelgado [ 90 ]は、これらの集合Sが平面整数格子グラフ内の1つの完全完全符号S 1の制約であり、S 1の補集合がペンローズタイリングのような非周期的タイリングを生成するという追加のボーナスがあることを示しました。対照的に、平面整数格子グラフの平行で水平な完全完全符号は、二重無限{0,1}シーケンスと1対1対応しています。

Dejter は、平面整数格子グラフ L には無数の並列全完全符号が存在することを示した[ 92 ] 。対照的に、L には 1-完全符号が 1 つだけ存在し、全完全符号が 1 つだけ存在し、後者の符号は長方形グリッド グラフの全完全符号に制限される (平面の非対称ペンローズ タイリングを生成する)。特に、Dejter は、並列全完全符号を含むすべてのサイクル積 C m x C nと、L および C m x C n の d-完全および全完全符号分割を特徴付け、前者は商グラフとして、生成子セットが {1,2d 2 } である順序 2d 2 +2d+1の巡回群の無向ケーリー グラフを持つ。

2012年に、AraujoとDejter [ 93 ]は、上記のAraujo-Dejter-Horakの研究の流れの中で、アーベル群GとZnからGへの準同型Fによって形成されるペア(G,F)を介して、n次元整数格子における格子状完全完全符号の分類に推測的な貢献をした。[ 87 ]

組み合わせ設計

1994 年以降、Dejter は Alexander Rosa、CC Lindner、CA Rodger らが最初に提案したコンビナトリアル デザインのいくつかのプロジェクトに介入し、E. Mendelsohn、F. Franek、D. Pike、P.A Adams、EJ Billington、DG Hoffman、M. Meszka らとも協力して、次の主題で成果を上げました。

2因数分解とサイクルシステムの不変量、[ 94 ]

2因数分解における三角形、[ 95 ] [ 96 ]

完全グラフの2因数分解における4閉路の数、[ 97 ]

ほぼ解決可能なハミルトン・ワーテルロー問題[ 98 ]

K 2nの2因数分解における4サイクルの数から 1因数を引いたもの、[ 99 ]

ほぼ解決可能な4サイクルシステム、[ 100 ]

ラテン方陣完成のための臨界集合[ 101 ]

4サイクルを持つ完全グラフのほぼ解決可能な最大パッキング。[ 102 ]

参考文献

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