円周多角形に関する日本の定理

緑の円の半径の合計は赤い円の半径の合計に等しい

幾何学において、日本の定理は、円周多角形をどのように三角形に分割しても、三角形の内接半径の和は一定であると述べています。^[¹^]^：p.193

逆に、内接円の和が三角形分割に依存しない場合、多角形は巡回多角形となります。この日本の定理はカルノーの定理から導かれ、算数の問題です。

証明

この定理は、まず特別な場合を証明することによって証明できます。つまり、円周四辺形をどのように三角形に分割しても、三角形の内接半径の和は一定です

四辺形の場合を証明すれば、円周多角形定理の一般の場合が直ちに系として導かれる。四辺形定理は、円周多角形の一般分割の四辺形要素に適用でき、この規則を繰り返し適用することで、対角線を1つ反転させ、任意の分割から可能なすべての分割を生成することができる。反転のたびに内接円の和は保持される。

四辺形の場合は、日本の円周四辺形定理の単純な拡張から導かれる。この定理は、四辺形の2つの可能な三角形分割に対応する2組の内心によって長方形が形成されることを示す。この定理の手順は、基本的な構成的ユークリッド幾何学以上のものを必要としない。^{[ 2 ]}

対角線に平行で、内心長方形の頂点に接する辺を持つ平行四辺形を追加構築することで、巡回多角形定理の四辺形の場合を数ステップで証明できます。2組の半径の和が等しいことは、構築された平行四辺形が菱形であるという条件と等しく、これは構築中に簡単に示されます。

四辺形の場合の別の証明は、ウィルフレッド・レイエス（2002）によって公開されている。^{[ 3 ]}この証明では、巡回四辺形に関する日本の定理と巡回多角形定理の四辺形の場合の両方が、テボーの問題IIIの結果として証明されている。

^ジョンソン、ロジャー・A.、『上級ユークリッド幾何学』、ドーバー出版、2007年（初版1929年）。
^深川英俊; ペドー, D. (1989). Japanese Temple Geometry . Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Center. pp. 125– 128. ISBN 0919611214。
^ Reyes, Wilfred (2002). 「テボーの定理の応用」(PDF) . Forum Geometricorum . 2 : 183–185 . 2018年10月24日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2015年9月2日閲覧

クラウディ・アルシーナ、ロジャー・B・ネルセン著：数学のアイコン：20の重要な画像の探究。MAA、2011年、ISBN 9780883853528 、 121～125ページ
ウィルフレッド・レイエス：テボーの定理の応用ウェイバックマシンに2018年10月24日アーカイブ。フォーラム・ジオメトリコルム、第2巻、2002年、183～185ページ