運動波

海洋波、雪崩、土石流、泥流、洪水などの重力と圧力によって駆動される流体力学的および地球物理学的な質量流において、運動波は関連する波動現象の基本的な特徴を理解するための重要な数学的ツールです。^{[ 1 ]}これらの波は高速道路の交通流 の動きをモデル化するためにも適用されています。^{[ 2 ] [ 3 ]}

これらの流れでは、質量方程式と運動量方程式を組み合わせて運動波方程式を作成できます。流れの構成に応じて、運動波は線形または非線形になります。これは、波の位相速度が定数か変数かによって決まります。運動波は、1つの未知の場の変数（たとえば、流れまたは波の高さ）を持つ単純な偏微分方程式で、時間（）と空間（）という2つの独立変数と、流れの物理的性質と形状に関する情報を含むいくつかのパラメータ（係数）を使用して記述できます。一般に、波は移流したり拡散したりできます。ただし、単純な状況では、運動波は主に移流します。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$

土石流の運動波

土石流の非線形運動波は、複素非線形係数を用いて次のように表すことができます。 ここで、は土石流の高さ、は時間、は下流の河川位置、は圧力勾配と水深に依存する非線形変数の波速、は流高と圧力勾配に依存する変数の拡散項です。この式は、保存型で次のように表すこともできます。 $${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}+C{\frac {\partial h}{\partial x}}=D{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}=0,}$$

ここで、は流れ、流速、水圧勾配といったいくつかの物理的・幾何学的パラメータに依存する一般化フラックスである。 の場合、この方程式はバーガース方程式に簡約される。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F=h^{2}/2}$

参考文献

1. 高橋 剛 (2007).土石流：そのメカニズム、予測、対策. Taylor and Francis, ライデン.
2. Lighthill, MJ; Whitham, GB (1955). 「運動波について。I：長い河川における洪水の移動。II：長く混雑した道路における交通流の理論」。英国王立協会紀要。229A (4): 281– 345.
3. Newell, GF (1993). 「高速道路交通における運動学的波の簡略化理論、第1部：一般理論」. Transpn. Res. B. 27B ( 4): 281– 287. Bibcode : 1993TRPB...27..281N . doi : 10.1016/0191-2615(93)90038-C .

さらに読む

• Singh, Vijay P. (1996). 「水力方程式の線形化」.水資源における運動学的波動モデリング：表層水水文学. ニューヨーク: John Wiley & Sons. pp.  211– 253. ISBN 0-471-10945-2。