測度保存力学系

数学において、測度保存力学系は、力学系の抽象的な定式化、特にエルゴード理論の研究対象である。測度保存系はポアンカレの回帰定理に従い、保存系の特殊なケースである。測度保存系は、幅広い物理系、特に古典力学の多くの系（特にほとんどの非散逸系）や熱力学的平衡状態にある系に、形式的かつ数学的な基礎を与える。

意味

測度保存力学系は、確率空間とその上の測度保存変換として定義される。より詳しくは、それは次のような系である。

${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$

次の構造になります。

• ${\displaystyle X}$ 集合である、
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ はσ-代数であり、${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]}$ は確率測度なので、、および、${\displaystyle \mu (X)=1}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ は測度を保存する測定可能な変換、すなわちです。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$

議論

なぜ測度保存変換が順変換ではなく逆変換で定義されるのかと疑問に思う人もいるかもしれません。これは直感的に理解できます。 ${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)}$

単位区間 上の典型的な測度と、写像を考えてみましょう。これはベルヌーイ写像です。さて、単位区間 上に均一な塗料の層を敷き詰め、その塗料を前方に写像します。半分の塗料は全体に薄く広がり、半分の塗料も同様に広がります。2層の薄い塗料が重なり合うことで、全く同じ厚さの塗料が再現されます。 ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle Tx=2x\mod 1={\begin{cases}2x{\text{ if }}x<1/2\\2x-1{\text{ if }}x>1/2\\\end{cases}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [1/2,1]}$

より一般的には、部分集合 に到達する塗料は部分集合 から来ます。塗料の厚さが変化しないためには（測度保存）、流入する塗料の質量は同じである必要があります。 ${\displaystyle A\subset [0,1]}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$

べき集合のマッピングを考えてみましょう: ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}:P(X)\to P(X)}$

ここで、交差、和、補集合を保存する（したがって、これはボレル集合の写像である）とともに、を に送る（保存的としたいため）特殊なケースの写像について考えてみましょう。このような保存的ボレル保存写像はすべて、と書くことで何らかの射影写像によって指定できます。もちろん を定義することもできますが、これだけではこのようなすべての写像を指定するのに十分ではありません。つまり、保存的ボレル保存写像は、一般に の形式で書くことはできません。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A);}$

${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))}$ はプッシュフォワードの形をとりますが、は一般的にプルバックと呼ばれます。力学系のほぼすべての特性と挙動は、プッシュフォワードによって定義されます。例えば、転送演算子は変換写像のプッシュフォワードによって定義されます。この測度は不変測度として理解でき、転送演算子のフロベニウス・ペロン固有ベクトルに相当します（FP固有ベクトルは行列の最大固有ベクトルです。この場合、固有値が1である固有ベクトル、つまり不変測度です）。 ${\displaystyle \mu (T(A))}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu}$

興味深い分類問題が2つあります。1つは後述するように、 を固定し、変換写像 の同型類について問うものです。もう1つは、 の変換演算子 で説明するように、と を固定し、測度に似た写像について問うものです。測度に似た写像とは、ボレル特性を保持するものの、もはや不変ではないという意味です。一般に散逸的であるため、散逸系や平衡状態への経路についての知見が得られます。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu}$

物理学では、測度保存力学系は、平衡状態にある物理系、たとえば熱力学的平衡状態を表すことが多い。どのようにして平衡状態になったのか、と疑問に思う人もいるかもしれない。その答えは、多くの場合、撹拌、混合、乱流、熱平衡化などのプロセスによる、というものである。変換マップがこの撹拌、混合などを表している場合、すべての過渡モードが減衰した後に残るのは系だけである。過渡モードとは、移動演算子の固有ベクトルのうち、固有値が 1 未満のもの、つまり不変測度が減衰しない唯一のモードである。過渡モードの減衰率は、その固有値（の対数）で与えられ、固有値が 1 であるものは、無限の半減期に対応する。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle \mu}$

非公式な例

物理学におけるミクロカノニカルアンサンブルは、非公式な例を提供します。例えば、原子からなる幅、長さ、高さの箱の中にある流体、気体、またはプラズマを考えてみましょう。その箱の中の単一の原子は、任意の速度でどこにでも存在でき、それは空間内の単一の点で表されます。与えられた原子の集合は、空間内のどこかの単一の点となります。「アンサンブル」とは、そのようなすべての点の集合、つまり、そのようなすべての可能な箱（その数は無限に無限です）の集合です。このすべての可能な箱のアンサンブルが、上記の空間です。 ${\displaystyle w\times l\times h,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle w\times l\times h\times \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (w\times l\times h)^{N}\times \mathbb {R}^{3N}.}$ ${\displaystyle X}$

理想気体の場合、測度はマクスウェル・ボルツマン分布によって与えられます。これは積測度であり、が位置 と速度 を持つ原子の確率である場合、原子については確率はこれらの積です。この測度は集団に適用されるものと理解されています。したがって、たとえば、集団内の可能なボックスの 1 つには、ボックスの片側にすべての原子があります。この尤度をマクスウェル・ボルツマン測度で計算できます。それは のオーダーという非常に小さな値になります。 集団内のすべての可能なボックスのうち、これは途方もなく小さな割合です。 ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(2^{-3N}\right).}$

これが「非公式な例」である唯一の理由は、遷移関数を書き下すのが困難であり、たとえ書き下したとしても、それを用いて実用的な計算を行うことが困難だからです。粒子同士の相互作用、例えばファンデルワールス相互作用や、液体やプラズマに適した他の相互作用などがある場合、困難はさらに増します。そのような場合、不変測度はもはやマクスウェル・ボルツマン分布ではなくなります。物理学の真髄は、妥当な近似値を見つけることです。 ${\displaystyle T}$

この系は、測度保存力学系の分類における重要な考え方の一つを示している。すなわち、異なる温度を持つ二つの集団は非等価であるという考え方である。与えられた正準集団のエントロピーはその温度に依存する。物理系として、温度が異なれば系も異なることは「自明」である。これは一般に成り立ち、エントロピーの異なる系は同型ではない。

例

（ルベーグ測度）保存写像の例： T  : [0,1) → [0,1)、${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1.}$

上記の非公式な例とは異なり、以下の例は十分に明確に定義されており、扱いやすいため、明示的で正式な計算を実行できます。

• μ は単位円上の正規化された角度測度 dθ/2π 、T は回転である。等分配定理を参照。
• ベルヌーイ方式;
• 区間交換変換;
• 適切な測度の定義により、有限型のサブシフト;
• ランダム動的システムの基本フロー。
• 閉じた連結な滑らかな多様体の接束上のハミルトンベクトル場の流れは、リウヴィルの定理（ハミルトン）により測度保存（シンプレクティック体積形式によってボレル集合に誘導される測度を用いて）である。^{[ 1 ]}
• 特定の写像とマルコフ過程に対して、クリロフ・ボゴリュボフの定理は測度保存力学系を形成するのに適した測度の存在を確立します。

群とモノイドへの一般化

測度保存力学系の定義は、T がシステムのダイナミクスを与えるために反復される単一の変換ではなく、s ∈ Z (または R 、またはN ∪ {0}、または [0, +∞)) によってパラメータ化された変換T _s  : X → Xのモノイド(またはグループ、この場合はグループの作用が与えられた確率空間にある)である場合に一般化できます。ここで、各変換T _{s は}上記のTと同じ要件を満たします。^{[ 1 ]}特に、変換は次の規則に従います 。

• ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {id} _{X}:X\rightarrow X}$ 、X上の恒等関数。
• ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}}$ すべての用語が明確に定義されている場合;
• ${\displaystyle T_{s}^{-1}=T_{-s}}$ すべての用語が明確に定義されている場合。

以前のより単純なケースは、s ∈ Nに対してT _s = T ^sと定義することでこのフレームワークに適合します。

準同型

準同型と同型の概念を定義することができます。

2つの力学系とを考える。すると、写像 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$

${\displaystyle \varphi :X\to Y}$

は、次の 3 つの性質を満たす場合、 動的システムの準同型である。

1. 地図は測定可能です。${\displaystyle \varphi \ }$
2. それぞれに対して、 が存在します。${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu (\varphi ^{-1}B)=\nu (B)}$
3. ほぼすべてのについては、 が存在します。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \varphi (Tx)=S(\varphi x)}$

このシステムはの因数と呼ばれます。 ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

写像が力学系の同型写像である場合、さらに別の写像が存在する。 ${\displaystyle \varphi \;}$

${\displaystyle \psi :Y\to X}$

これも準同型であり、

1. ほとんどすべての場合、 が存在します。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x=\psi (\varphi x)}$
2. ほぼすべての場合、 が存在します。${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y=\varphi (\psi y)}$

したがって、動的システムとその準同型性の カテゴリを形成できる可能性があります。

一般的なポイント

点x ∈ Xは、その点の軌道が測度に従って 均一に分布している場合、一般点と呼ばれます。

シンボル名とジェネレータ

力学系 を考え、Q = { Q ₁ , ..., Q _k } をXのk個の測定可能な互いに素な集合への分割とする。点x ∈ Xが与えられたとき、x はQ _iの片方にのみ属することは明らかである。同様に、反復点T ⁿ x もQ i の片方にのみ属することができる。分割Qに関して、 xの記号名は整数列 { a _n } であり、${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.}$

分割に関する記号名の集合は、力学系の記号力学と呼ばれる。分割Qは、μ-ほぼすべての点xが一意の記号名を持つ とき、生成分割または生成分割と呼ばれる。

パーティションの操作

パーティションQ = { Q ₁ , ..., Q _k }と動的システムQのTプルバックを次のように 定義する。${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{-1}Q=\{T^{-1}Q_{1},\ldots ,T^{-1}Q_{k}\}.}$

さらに、2つのパーティションQ = { Q ₁ , ..., Q _k }とR = { R ₁ , ..., R _m }が与えられ、それらの精緻化を次のように 定義する。

${\displaystyle Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots ,k,\ j=1,\ldots ,m,\ \mu (Q_{i}\cap R_{j})>0\}.}$

これら2つの構成を用いて、反復プルバックの改良は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&=\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

これは、動的システムの測度理論的エントロピーの構築において重要な役割を果たします。

測度論的エントロピー

パーティションのエントロピーは次のように定義される^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

${\displaystyle H({\mathcal {Q}})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}}}\mu (Q)\log \mu (Q).}$

動的システムの分割Q = { Q ₁ , ..., Q _k }に関する測度論的エントロピーは次のように定義される。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).}$

最後に、力学系のコルモゴロフ・シナイ計量エントロピー、あるいは測度論的エントロピーは次のように定義される。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{\mathcal {Q}}h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}}).}$

ここで、上限はすべての有限な測定可能な分割について取られる。1959年のヤコブ・シナイの定理は、上限は実際には生成元となる分割で得られることを示している。例えば、ベルヌーイ過程のエントロピーはlog 2である。これは、ほぼすべての実数が一意の2進展開を持つためである。つまり、単位区間を区間[0, 1/2)と[1/2, 1]に分割できる。すべての実数xは1/2未満かそうでないかのどちらかであり、同様に2 ⁿ xの小数部も同様である。

空間Xがコンパクトで位相を備えているか、距離空間である場合は、位相エントロピーも定義できます。

がエルゴード的で区分的に拡大し、 上でマルコフであり、 がルベーグ測度に関して絶対連続である場合、ロクリン公式^{[ 4 ]}（セクション 4.3 とセクション 12.3 ^{[ 5 ]}）が成り立ちます。これにより、ロジスティック マップなどの多くの区間マップのエントロピーを計算できます。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle h_{\mu }(T)=\int \ln |dT/dx|\mu (dx)}$$

エルゴード的とは、 が完全測度またはゼロ測度を持つことを意味します。区分的拡張性とマルコフ的とは、 を有限個の開区間に分割し、各開区間において、ある に対して となることを意味します。マルコフ的とは、それらの開区間の各 に対して、 または となることを意味します。 ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |T'|\geq 1+\epsilon }$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=\emptyset }$ ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=I_{i}}$

分類定理と反分類定理

測度保存系の研究における主要な活動の一つは、その性質に従った分類である。すなわち、 を測度空間とし、をすべての測度保存系 の集合とする。2つの変換の同型性は 同値関係を定義する。目標は関係 を記述することである。多くの分類定理が得られているが、非常に興味深いことに、多くの反分類定理も見出されている。反分類定理は、同型類が可算数個以上存在し、可算量の情報では同型を分類するには不十分であることを述べている。^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle S\sim T}$ ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset U\times U.}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

ヒョルトによる最初の反分類定理は、が弱位相を持つ場合、集合 はボレル集合ではないことを述べている。^{[ 8 ]}他にも様々な反分類定理が存在する。例えば、同型性を角谷同値性に置き換えると、各エントロピー型において角谷同値でないエルゴード的測度保存変換が無数に存在することが示される。^{[ 9 ]}${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

これらは分類定理とは対照的です。具体的には以下のものがあります。

• 純粋な点スペクトルを持つエルゴード測度保存変換が分類されている。^{[ 10 ]}
• ベルヌーイシフトは計量エントロピーによって分類される。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}詳細についてはオルンスタイン理論を参照。

クリーガー有限生成定理^{[ 14 ]}  (クリーガー 1970) —測度1のルベーグ空間上の力学系が与えられ、ここで は可逆、測度保存、エルゴードである。 ${\textstyle T}$

ある整数 の場合、システムにはサイズジェネレータが存在します。 ${\displaystyle h_{T}\leq \ln k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

エントロピーが と正確に等しい場合、システムが等しい尺度を持つシンボル上のベルヌーイシフトと同型で ある場合に限り、そのようなジェネレーターが存在する。${\displaystyle \ln k}$ ${\displaystyle k}$

参照

• クリロフ・ボゴリュボフの定理 – 力学系における不変測度の存在に関する2つの定理のうちの1つ
• ポアンカレの再帰定理 – 特定の力学系は最終的には初期状態に戻る（または初期状態に近づく）

参考文献

1. ウォルターズ、ピーター (2000).エルゴード理論入門. シュプリンガー. ISBN 0-387-95152-0。
2. シナイ, Ya. G. (1959). 「動的システムのエントロピーの概念について」. SSSR国立アカデミー紀要. 124 : 768–771 .
3. Sinai, Ya. G. (2007). 「動的システムの計量エントロピー」(PDF) .
4. シャノン・マクミラン・ブライマン定理
5. ポリコット、マーク、ユリ、ミチコ (1998). 『動的システムとエルゴード理論』 ロンドン数学会学生用テキスト. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-57294-1。
6. フォアマン、マシュー、ワイス、ベンジャミン( 2019). 「走行距離計から循環システムへ：大域的構造定理」. Journal of Modern Dynamics . 15 : 345–423 . arXiv : 1703.07093 . doi : 10.3934/jmd.2019024 . S2CID 119128525 . 
7. フォアマン, マシュー; ワイス, ベンジャミン (2022). 「トーラスの測度保存微分同相写像は分類不可能である」 .ヨーロッパ数学会誌. 24 (8): 2605– 2690. arXiv : 1705.04414 . doi : 10.4171/JEMS/1151 .
8. Hjorth, G. (2001). 「測度保存変換の不変量に​​ついて」 . Fund. Math . 169 (1): 51– 84. doi : 10.4064/FM169-1-2 . S2CID 55619325 . 
9. Ornstein, D. ; Rudolph, D. ; Weiss, B. (1982).測度保存変換の同値性. アメリカ数学会誌 第37巻. ISBN 0-8218-2262-4。
10. Halmos, P.; von Neumann, J. (1942). 「古典力学における演算子法 II」Annals of Mathematics . (2). 43 (2): 332– 350. doi : 10.2307/1968872 . JSTOR 1968872 . 
11. シナイ, Ya. (1962). 「不変測度を持つ変換の弱同型性」. SSSR国立アカデミー紀要. 147 : 797–800 .
12. Ornstein, D. (1970). 「同じエントロピーを持つベルヌーイシフトは同型である」 . Advances in Mathematics . 4 (3): 337– 352. doi : 10.1016/0001-8708(70)90029-0 .
13. Katok, A.; Hasselblatt, B. (1995). 「現代力学系理論入門」.数学とその応用百科事典. 第54巻. ケンブリッジ大学出版局.
14. Downarowicz, Tomasz (2011).動的システムにおけるエントロピー. New Mathematical Monographs. Cambridge: Cambridge University Press. p. 106. ISBN 978-0-521-88885-1。

さらに読む

• マイケル・S・キーン「エルゴード理論と有限型の部分シフト」（1991年）第2章『エルゴード理論、記号力学、双曲空間』、ティム・ベッドフォード、マイケル・キーン、キャロライン・シリーズ編、オックスフォード大学出版局、オックスフォード（1991年）。ISBN 0-19-853390-X(解説的な導入、演習、および広範な参考資料を提供します。)
• Lai-Sang Young , "Entropy in Dynamical Systems" ( pdf ; ps )、 Andreas Greven、Gerhard Keller、Gerald Warnecke編 『 Entropy』第16章、Princeton University Press、Princeton、NJ (2003) 。ISBN 0-691-11338-6
• T. SchürmannとI. Hoffmann、「n-単体内の奇妙なビリヤードのエントロピー」。J . Phys. A 28(17)、5033ページ、1995年。PDF文書（測度保存力学系のより複雑な例を示している。）