コルモゴロフ空間

位相空間における分離公理
コルモゴロフ分類
T 0	（コルモゴロフ）
T1​	（フレシェ）
T2​	（ハウスドルフ）
T 2 1/2	（ウリソン）
完全にT 2	（完全にハウスドルフ）
T3​	（通常のハウスドルフ）
T 3 1/2	（ティコノフ）
T4​	（通常のハウスドルフ）
T5​	（完全に正常な ハウスドルフ）
T6​	（完全に正常な ハウスドルフ）
歴史

位相幾何学および関連する数学の分野において、位相空間XがT ₀空間またはコルモゴロフ空間（アンドレイ・コルモゴロフにちなんで命名）であるとは、 Xの異なる点のすべてのペアに対して、少なくとも一方に他方を含まない近傍がある場合をいう。 ^{[ 1 ]} T ₀空間では、すべての点は位相的に区別可能である。

この条件はT ₀条件と呼ばれ、分離公理の中で最も弱いものである。数学で通常研究されるほぼすべての位相空間は T ₀空間である。特に、すべてのT ₁空間、すなわち、異なる点のすべてのペアに対して、それぞれが他方を含まない近傍を持つすべての空間は T ₀空間である。これには、すべてのT ₂（またはハウスドルフ）空間、すなわち、異なる点が互いに素な近傍を持つすべての位相空間が含まれる。別の見方をすれば、すべてのsober 空間（T ₁ではない場合もある）は T _{0である。これには、あらゆる}スキームの基礎となる位相空間が含まれる。任意の位相空間が与えられれば、位相的に区別できない点を識別することによって T ₀空間を構築することができる。

T ₁空間ではないT ₀空間とは、まさにその特殊化前順序が非自明な半順序である空間である。このような空間は、計算機科学、特に表示的意味論において自然に出現する。

意味

T ₀空間は、異なる点のあらゆる対が位相的に区別可能な位相空間である。つまり、任意の異なる二点xとyに対して、これらの点の一方を含み、他方を含まない開集合が存在する。より正確には、位相空間Xがコルモゴロフ空間であるか、または次が満たされる場合のみ、以下の条件を満たす。^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbf {T} _{0}}$

かつ の場合、またはとなる開集合Oが存在します。${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle (a\in O)\wedge (b\notin O)}$ ${\displaystyle (a\notin O)\wedge (b\in O)}$

位相的に区別可能な点は自動的に区別可能となることに注意してください。一方、単集合{ x } と { y } が分離されている場合、点xと点y は位相的に区別可能でなければなりません。つまり、

分離された⇒位相的に区別可能⇒異なる

位相的に区別可能であるという性質は、一般に、区別可能であることよりも強いが、分離可能であることよりも弱い。T ₀空間では、上記の2番目の矢印も逆になる。つまり、点が区別可能である場合、かつその場合に限り、点は区別可能である。これが、T ₀公理が他の分離公理とどのように適合するかである。

例と反例

数学で通常研究される位相空間のほぼすべてはT ₀である。特に、ハウスドルフ(T ₂ )空間、T ₁空間、そしてソバー空間はすべてT ₀である。

_{T 0}ではない空間

• 複数の要素を持ち、自明な位相を持つ集合。どの点も区別できない。
• 集合R ^{2では、開集合は}R内の開集合とR自身の直積、つまり、Rと通常の位相、およびRと自明な位相との積位相であり、点 ( a、b ) と点 ( a、c ) は区別できません。
• 実数直線Rから複素平面Cへの、ルベーグ積分が成り立つようなすべての測定可能な関数fの成す空間。ほぼすべての点で等しい2つの関数は区別できない。下記も参照。${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{\frac {1}{2}\infty }$

_{T 0}だが T ₁ではない空間

• 可換環Rの素スペクトルSpec( R )上のザリスキ位相は常に T ₀であるが、一般には T ₁ではない。閉でない点は、最大ではない素イデアルに対応する。これらはスキームを理解する上で重要である。
• 少なくとも2つの元を持つ任意の集合上の特殊点位相はT 0 であるがT ₁ではない_。これは、特殊点が閉空間ではないためである（その閉包は空間全体である）。重要な特殊例として、集合 {0,1} 上の特殊点位相であるシェルピンスキー空間がある。
• 少なくとも2つの要素を持つ任意の集合上の排他点位相はT ₀であり、T ₁ではない。唯一の閉点は排他点である。
• 半順序集合上のアレクサンドロフ位相はT 0 である_が、順序が離散的（等式と一致する）でない限りT ₁にはならない。すべての有限T ₀空間はこの型である。これには、特殊点位相と排他点位相も特別な場合として含まれる。
• 全順序集合上の右順序トポロジーは関連する例です。
• 重なり合う区間トポロジーは、空でないすべての開集合に 0 が含まれるため、特定の点のトポロジーに似ています。
• 極めて一般的に、位相空間Xが T ₀となるのは、X上の特殊化前順序が半順序である場合と同値である。しかし、X がT ₁となるのは、順序が離散的（すなわち、等式と一致する）である場合と同値である。したがって、空間が T _{0であって T 1}ではないのは、 X上の特殊化前順序が非離散的半順序である場合と同値である。

T ₀スペースでの操作

一般的に研究される位相空間はすべて T ₀です。実際、多くの分野、特に解析学の分野の数学者が自然に非 T ₀空間に遭遇した場合、通常は以下に説明する方法でそれらを T _{0空間に置き換えます。この考え方を理解するために、よく知られた例を考えてみましょう。空間}L ² ( R )は、実数直線Rから複素平面Cへのすべての測定可能な関数fの空間であり、実数直線全体にわたる| f ( x )| ^2のルベーグ積分が有限であるものです。この空間は、ノルム || f || をその積分の平方根と定義することにより、ノルム付きベクトル空間になるはずです。問題は、ゼロ関数以外にも、 （セミ）ノルムがゼロである関数があるため、これは実際にはノルムではなく、セミノルムでしかないことです。標準的な解決方法は、関数の集合を直接定義するのではなく、関数の同値類の集合としてL ² ( R ) を定義することです。これは元の半ノルムベクトル空間の商空間を構成し、この商はノルムベクトル空間である。これは半ノルム空間からいくつかの便利な性質を継承する（下記参照）。

一般に、集合X上の固定位相Tを扱う場合、その位相が T ₀であると便利です。一方、X は固定されているものの、T が一定の境界内で変化することが許されている場合、 T _{0以外の位相が重要な特殊ケースとなることが多いため、} T 0 を強制的に T ₀とすることは不便です。したがって、位相空間に適用できる様々な条件について、 T _{0と T 0}以外の両方のバージョンを理解することが重要になる場合があります。

コルモゴロフ商

点の位相的区別不能性は同値関係である。位相空間Xがどのようなものであろうと、この同値関係による商空間は常に T _{0である。この商空間は}Xのコルモゴロフ商と呼ばれ、KQ( X )と表記する。もちろん、X が最初からT _{0であった場合、 KQ(} X ) とX は自然に同相となる。圏論的に、コルモゴロフ空間は位相空間の鏡映部分圏であり、コルモゴロフ商はその鏡映子である。

位相空間XとY は、それらのコルモゴロフ商が同相であるときコルモゴロフ同値である。位相空間の多くの特性はこの同値性によって保存される。すなわち、XとYがコルモゴロフ同値である場合、X がそのような特性を持つのは、 Y がそのような特性を持つ場合のみである。一方、位相空間のその他ほとんどの特性はT _0性を意味する。すなわち、X がそのような特性を持つ場合、X はT _{0でなければならない。}非離散空間であることなど、いくつかの特性だけがこの経験則の例外である。さらに良いことに、位相空間上で定義された多くの構造は、 Xと KQ( X )の間で転送できる。結果として、ある構造または特性を持つ T ₀以外の位相空間がある場合、通常はコルモゴロフ商を取ることによって同じ構造と特性を 持つ T _{0空間を形成することができる。}

^{L 2} ( R )の例はこれらの特徴を示しています。位相の観点から見ると、最初に使用した半ノルムベクトル空間には多くの追加構造があります。たとえば、ベクトル空間であり、半ノルムを持ち、これらは位相と互換性のある擬距離構造と一様構造を定義します。また、これらの構造にはいくつかの特性があります。たとえば、半ノルムは平行四辺形の恒等式を満たし、一様構造は完全です。ほぼどこでも等しいL ² ( R )の任意の 2 つの関数はこの位相と区別できないため、空間は T ₀ではありません。コルモゴロフ商、つまり実際の L ² ( R ) を形成すると、これらの構造と特性は保存されます。したがって、 L ² ( R ) も平行四辺形の恒等式を満たす完全な半ノルムベクトル空間です。しかし、実際には空間が T ₀になったため、もう少しだけ得られます。半ノルムは、基礎となる位相が T ₀である場合にのみノルムとなるため、 L ² ( R ) は実際には平行四辺形の単位元を満たす完全なノルムベクトル空間、つまりヒルベルト空間です。そして、これは数学者（量子力学では物理学者）が一般的に研究したいヒルベルト空間です。表記 L ² ( R ) は通常、表記が示唆するような単なる二乗可積分関数のベクトル空間ではなく、測度ゼロの集合に関して異なる二乗可積分関数の同値類の集合であるコルモゴロフ商を表すことに注意してください。

T _{0 の削除}

歴史的にはノルムが最初に定義されましたが、人々はセミノルムの定義も考え出しました。これは、ノルムの非 T ₀バージョンの一種です。一般に、位相空間の特性と構造の両方について、非 T _{0バージョンを定義することができます。まず、}ハウスドルフであるなどの位相空間の特性を考えてみましょう。次に、コルモゴロフ商 KQ( X ) がハウスドルフである場合に限り、特性を満たすように空間Xを定義することで、位相空間の別の特性を定義できます。これは、あまり有名ではありませんが、意味のある特性です。この場合、このような空間Xはプレレギュラーと呼ばれます(プレレギュラー性のより直接的な定義が存在することも判明しています)。次に、計量などの位相空間に配置できる構造を考えてみましょう。 X上の構造の例を単に KQ( X ) 上の計量とすることで、位相空間上の新しい構造を定義できます。これはX上の意味のある構造です。つまり、擬計量です。 (ここでも、擬似距離にはより直接的な定義があります。)

このように、性質や構造の要件からT _{0性を取り除く自然な方法があります。一般的にT 0}である空間を研究する方が簡単ですが、より完全な理解を得るにはT ₀ではない構造も考慮に入れる方が簡単かもしれません。T ₀要件は、コルモゴロフ商の概念を用いて任意に追加または削除できます。

参照

• 冷静な空間

参考文献

1. Karno, Zbigniew (1994). 「コルモゴロフ位相空間について」(PDF) . Journal of Formalized Mathematics . 6 (2003年出版).

• リン・アーサー・スティーン、J・アーサー・シーバッハ・ジュニア著『位相幾何学における反例』Springer-Verlag、ニューヨーク、1978年。Dover Publications、ニューヨーク、1995年再版。ISBN 0-486-68735-X（ドーバー版）。