コマール超ポテンシャル

一般相対性理論では、1952年に論文を書いたアーサー・コマーにちなんで名付けられたコマー超ポテンシャル^{[ 1 ]}は、ヒルベルト・アインシュタインのラグランジアン不変性に対応し、テンソル密度である。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }={1 \over 2\kappa }R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$

${\displaystyle U^{\alpha \beta }({{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }},\xi )={{\sqrt {-g}} \over {\kappa }}\nabla ^{[\beta }\xi ^{\alpha ]}={{\sqrt {-g}} \over {2\kappa }}(g^{\beta \sigma }\nabla _{\sigma }\xi ^{\alpha }-g^{\alpha \sigma }\nabla _{\sigma }\xi ^{\beta })\,,}$

はベクトル場 に関連付けられ、 はレヴィ-チヴィタ接続に関する共変微分を表します。 ${\displaystyle \xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }}$ ${\displaystyle \nabla_{\sigma}}$

コマールの2つの形式：

${\displaystyle {\mathcal {U}}({{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }},\xi )={1 \over 2}U^{\alpha \beta }({{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }},\xi )\mathrm {d} x_{\alpha \beta }={1 \over {2\kappa }}\nabla ^{[\beta }\xi ^{\alpha ]}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} x_{\alpha \beta }\,,}$

ここで、は内積を表し、いわゆる上記の Komar スーパーポテンシャルを任意のベクトル場に一般化します。これはもともと、時間的キリングベクトル場に対して導出されたものです。 ${\displaystyle \mathrm {d} x_{\alpha \beta }=\iota _{\partial {\alpha }}\mathrm {d} x_{\beta }=\iota _{\partial {\alpha }}\iota _{\partial {\beta }}\mathrm {d} ^{4}x}$ ${\displaystyle \xi}$

コマール超ポテンシャルは異常因子問題の影響を受ける。実際、例えばカー・ニューマン解を計算すると、正しい角運動量は得られるが、質量は期待値の半分しか得られない。^{[ 2 ]}

参照

• 超ポテンシャル
• アインシュタイン・ヒルベルト作用
• コマール質量
• テンソル計算
• クリストッフェルの記号
• リーマン曲率テンソル

注記

1. Arthur Komar (1959). 「一般相対性理論における共変保存則」. Phys. Rev. 113 ( 3): 934. Bibcode : 1959PhRv..113..934K . doi : 10.1103/PhysRev.113.934 .
2. J. Katz (1985). 「コマールの異常因子に関するノート」.クラス. 量子重力. 2 (3): 423. doi : 10.1088/0264-9381/2/3/018 . S2CID 250898281 . 

参考文献

• ミスナー、チャールズ・W. ;ソーン、キップ・S. ;ウィーラー、ジョン・A. (1973) 『重力』、WHフリーマン、ISBN 978-0-7167-0344-0