ラグランジュ、オイラー、コヴァレフスカヤトップ

レオンハルト・オイラー

ジョセフ＝ルイ・ラグランジュ

ソフィア・ヴァシリエフナ・コヴァレフスカヤ

古典力学では、重力の影響下にあるコマなどの剛体の回転は、一般に積分可能な問題ではない。しかし、オイラー、ラグランジュ、コヴァレフスカヤコマという3つの有名な積分可能なケースがあり、これらは系がホロノミック制約を受ける場合にのみ積分可能なケースである。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} これらのコマには、エネルギーに加えて、積分可能性をもたらす2つの追加の運動定数が含まれる。

オイラーこまは、外部トルクが作用しない状態で運動する、特に対称性のない自由こまであり、その固定点は重心である。ラグランジュこまは対称こまであり、2つの慣性モーメントが等しく、重心が対称軸上にある。コヴァレフスカヤこま^{[ 4 ] [ 5 ]}は、慣性モーメントの比が一意であり、以下の関係を満たす 特殊な対称こまである。

${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I_{3},}$

つまり、2 つの慣性モーメントは等しく、3 つ目は半分の大きさであり、重心は対称軸に垂直な平面(2 つの退化した主軸の平面に平行) 内にあります。

古典的コマのハミルトン定式化

^{古典的コマ[ 6 ]}の配置は、時間において、3つの直交ベクトル、およびによって定義される3つの時間依存主軸と 、対応する慣性モーメント、およびそれらの軸の周りの角速度によって記述される。古典的コマのハミルトン定式化では、共役力学変数は、主軸に沿った 角運動量ベクトルの成分である。${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}^{3}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle {\bf {L}}}$

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L} \cdot {\hat {\bf {e}}}^{1},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\bf {{L}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}}}}}$

そして3つの主軸の Z成分、

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

これらの変数のポアソン括弧関係は次のように与え られる。

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

重心の位置が で与えられる場合、コマのハミルトニアンは で与えられる。 ${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf {\hat {e}} ^{3})}$

${\displaystyle H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3})={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg{\vec {R}}_{cm}\cdot \mathbf {\hat {z}} ,}$

運動方程式は次のように決定される。

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}.}$

明示的に言えば、これらは インデックスの巡回順列です。 $${\displaystyle {\dot {\ell }}_{1}=\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\ell _{2}\ell _{3}+mg(cn_{2}-bn_{3})}$$ $${\displaystyle {\dot {n}}_{1}={\frac {\ell _{3}}{I_{3}}}n_{2}-{\frac {\ell _{2}}{I_{2}}}n_{3}}$$

位相空間の数学的記述

数学的に言えば、物体の空間配置は、リー群（ 三次元回転群）上の点によって記述されます。リー群は、実験座標系から物体座標系への回転行列です。完全な配置空間、すなわち位相空間は、空間配置における角運動量をパラメータ化するファイバーを持つ余接束です。ハミルトニアンは、この位相空間上の関数です。 ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle T^{*}SO(3)}$ ${\displaystyle T_{R}^{*}SO(3)}$ ${\displaystyle R}$

オイラートップ

オイラートップは、レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられた、トルクのないトップ（例えば、自由落下中のトップ）であり、ハミルトニアン

${\displaystyle H_{\rm {E}}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

運動の4つの定数は、実験系における エネルギーと角運動量の3つの成分である。${\displaystyle H_{\rm {E}}}$

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\hat {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

ラグランジュトップ

ラグランジュトップ^{[ 7 ]}は、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられ、対称軸に沿った位置にある重心を持つ対称トップであり、ハミルトニアン ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$

${\displaystyle H_{\rm {L}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.}$

運動の4つの定数は、エネルギー、対称軸に沿った角運動量成分、 z方向 の角運動量である。${\displaystyle H_{\rm {L}}}$ ${\displaystyle \ell _{3}}$

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

そしてnベクトル の大きさ

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

コヴァレフスカヤトップ

コヴァレフスカヤ・トップ^{[ 4 ] [ 5 ]}は、対称なトップであり、質量中心は対称軸に垂直な平面内にある。これは1888年にソフィア・コヴァレフスカヤによって発見され、彼女の論文「Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe」で発表され、同年フランス科学アカデミーからボルダン賞を受賞した。ハミルトニアンは ${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$ ${\displaystyle I_{3}=I}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm}}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$

${\displaystyle H_{\rm {K}}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

運動の4つの定数はエネルギー、コヴァレフスカヤ不変量 である。${\displaystyle H_{\rm {K}}}$

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

ここで変数は次のように定義される。 ${\displaystyle \xi _{\pm }}$

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

z方向の角運動量成分、

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

そしてnベクトル の大きさ

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

非ホロノミック制約

制約条件を緩和して非ホロノミック制約を許容すれば、よく知られている3つの場合以外にも、積分可能なコマが存在する。非ホロノミック・ゴリヤチェフ・チャプリギン・コマ（1900年にD. ゴリヤチェフによって導入^{[ 8 ]}され、 1948年にセルゲイ・チャプリギンによって積分された^{[ 9 ] [ 10 ]}）も積分可能である（）。その重心は赤道面にある。^{[ 11 ]}${\displaystyle I_{1}=I_{2}=4I_{3}}$

参照

• カルダンサスペンション

参考文献

1. Audin, Michèle (1996), Spinning Tops: A Course on Integrable Systems , New York: Cambridge University Press , ISBN 9780521779197。
2. Whittaker, ET (1952). 『粒子と剛体の解析的ダイナミクスに関する論文』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9780521358835。
3. ストロガッツ、スティーブン（2019年）『無限の力』ニューヨーク：ホートン・ミフリン・ハーコート、287頁。ISBN 978-1786492968さらに重要なのは、彼女（ソフィア・ワシルジェフナ・コワレフスカヤ）が、他に解ける頂点は存在しないことを証明したことだ。彼女は最後の頂点を発見したのだ。
4. Kovalevskaya、ソフィア( 1889)、「Sur le problème de larotation d'un corps Solide autour d'un point fixe」、Acta Mathematica (フランス語)、12 : 177–232
5. ペレレモフ、AM (2002)。テオレ。マット。フィズ。、第 131 巻、第 2 号、197 ～ 205 ページ。(フランス語で)
6. ハーバート・ゴールドスタイン、チャールズ・P・プール、ジョン・L・サフコ (2002).古典力学（第3版）, Addison-Wesley. ISBN 9780201657029。
7. Cushman, RH; Bates, LM (1997)、「ラグランジュトップ」、Global Aspects of Classical Integrable Systems、バーゼル：ビルクハウザー、pp.  187– 270、doi：10.1007/978-3-0348-8891-2_5、ISBN 978-3-0348-9817-1。
8. Goryachev, D. (1900). 「A = B = C の場合における固定点周りの剛体の運動について」, Mat. Sb. , 21. (ロシア語) . Bechlivanidis & van Moerbek (1987) および Hazewinkel (2012) に引用.
9. Chaplygin, SA (1948). 「一点で支持された剛体の回転の新しい例」 Collected Works , Vol. I, pp. 118–124. モスクワ: Gostekhizdat. (ロシア語) . Bechlivanidis & van Moerbek (1987) および Hazewinkel (2012) に引用。
10. Bechlivanidis, C.; van Moerbek, P. (1987)、「ゴリヤチェフ・チャプリギントップと戸田格子」、Communications in Mathematical Physics、110 (2): 317– 324、Bibcode : 1987CMaPh.110..317B、doi : 10.1007/BF01207371、S2CID 119927045 
11. ヘイズウィンケル、ミシェル;編（2012年）。 Encyclopedia of Mathematics、271–2 ページ。スプリンガー。 ISBN 9789401512886。

外部リンク

• コヴァレフスカヤ・トップ – エリック・ワイスタインの物理学の世界より
• コヴァレフスカヤトップ