積分可能なシステム

数学において、積分可能性は特定の力学系の性質です。正式な定義はいくつかありますが、非公式に言えば、可積分系とは、十分な数の保存量、すなわち第一積分を持ち、その運動がその位相空間の次元よりもはるかに小さい次元の部分多様体に限定される力学系です。

積分可能なシステムを特徴づける3つの特徴がよく挙げられる。^{[ 1 ]}

• 保存量の最大集合の存在（完全積分可能性の通常の定義特性）
• 代数幾何学に基礎を置く代数的不変量の存在（代数的積分可能性とも呼ばれる性質）
• 明示的な関数形式での解の明示的な決定（固有の特性ではなく、しばしば可解性と呼ばれるもの）

可積分系は、より一般的な力学系（より典型的にはカオス系）とは質的に大きく異なると考えられる。後者は一般に保存量を持たず、漸近的に扱いにくい。なぜなら、初期条件における任意の小さな摂動が、十分に長い時間にわたってその軌跡に任意の大きな偏差をもたらす可能性があるからである。

物理学で研究される多くの系は、特にハミルトンの意味で完全に積分可能であり、その重要な例として多次元調和振動子が挙げられます。もう一つの標準的な例としては、1つの固定中心（例えば太陽）または2つの固定中心の周りの惑星の運動が挙げられます。その他の基本的な例としては、剛体の質量中心の周りの運動（オイラートップ）や、軸対称剛体の対称軸上の点の周りの運動（ラグランジュトップ）などが挙げられます。

1960年代後半、物理学には無限の自由度を持つ完全に積分可能な系が存在することが認識されました。例えば、浅水波のいくつかのモデル（コルテヴェク・ド・フリース方程式）、非線形シュレーディンガー方程式で記述される光ファイバーのカー効果、そして戸田格子のような特定の積分可能な多体系などです。現代の可積分系理論は、 1965年にマーティン・クラスカルとノーマン・ザブスキーがソリトンを数値的に発見したことで復活し、1967年には逆散乱変換法が生まれました。

ハミルトン系の特殊なケースにおいて、フローパラメータが不変レベル集合（ラグランジュ葉理の葉）上の座標系として機能できるだけの十分な数の独立したポアソン可換第一積分が存在し、かつフローが完全でエネルギーレベル集合がコンパクトである場合、これはリウヴィル・アーノルド定理、すなわち作用角変数の存在を意味する。一般的な力学系にはこのような保存量は存在しない。自律ハミルトン系の場合、一般的にエネルギーが唯一の保存量であり、エネルギーレベル集合上ではフローは典型的にはカオス的である。

可積分系を特徴付ける重要な要素はフロベニウスの定理である。これは、系がフロベニウス積分可能（すなわち、可積分超関数によって生成される）とは、局所的に最大積分多様体による葉脈構造を持つことを意味する。しかし、力学系における可積分性は、葉脈構造が正規なものであり、葉が部分多様体に埋め込まれていることを必要とするため、局所的な性質ではなく、大域的な性質である。

積分可能性は、必ずしも一般的なソリューションが既知の特殊関数のセットで明示的に表現できることを意味するわけではありません。それは、システムの幾何学と位相、およびダイナミクスの性質の固有の特性です。

一般力学系

微分可能力学系の文脈において、積分可能性の概念は、不変かつ正則な葉脈構造の存在を指す。すなわち、その葉脈構造の葉は、フローに対して不変である、可能な限り最小次元の埋め込み部分多様体である。したがって、不変葉脈構造の葉の次元に応じて、積分可能性の次数という概念が変化する。この概念はハミルトン系の場合に洗練されており、リウヴィルの意味で完全積分可能性（下記参照）として知られており、この文脈で最も頻繁に言及される。

積分可能性の概念の拡張は、格子などの離散系にも適用できます。この定義は、微分方程式系または差分方程式のいずれかである発展方程式を記述するために適応できます。

積分可能な動的システムと積分不可能な動的システムの区別は、規則的な動きとカオス的な動きという質的な意味合いを持ち、したがって、システムが正確な形で明示的に積分できるかどうかという問題だけではなく、本質的な特性です。

ハミルトン系とリウヴィル積分可能性

ハミルトン系という特殊な設定においては、リウヴィルの意味での積分可能性という概念が存在します。（リウヴィル＝アーノルドの定理を参照。）リウヴィルの積分可能性とは、不変多様体による位相空間の正則な葉脈構造が存在し、その葉脈構造の不変量に​​関連付けられたハミルトンベクトル場が接分布を張ることを意味します。これを別の言い方で表現すると、関数的に独立なポアソン可換不変量（すなわち、系のハミルトンと、そして互いとの ポアソン括弧がゼロとなるような位相空間上の独立関数）の最大集合が存在するということです。

有限次元において、位相空間がシンプレクティック（すなわち、ポアソン代数の中心が定数のみで構成される）である場合、それは偶数次元でなければならず、独立したポアソン可換不変量（ハミルトニアン自身を含む）の最大数は である。葉脈構造の葉はシンプレクティック形式に関して完全に等方的であり、そのような最大等方性葉脈構造はラグランジアンと呼ばれる。すべての自律ハミルトニアン系（すなわち、ハミルトニアンとポアソン括弧が明示的に時間依存しない系）は、少なくとも1つの不変量、すなわちハミルトニアン自体を持ち、その流れに沿った値はエネルギーである。エネルギー準位集合がコンパクトである場合、ラグランジアン葉脈構造の葉はトーラスであり、これらの自然線形座標は「角度」変数と呼ばれる。正準形式のサイクルは作用変数と呼ばれ、結果として得られる正準座標は作用角度変数と呼ばれる（以下を参照）。 ${\displaystyle 2n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$

リウヴィルの意味での完全可積分性と部分可積分性の間にも区別があり、また超可積分性と最大超可積分性という概念もあります。本質的に、これらの区別は葉脈の葉の次元に対応します。独立したポアソン可換不変量の数が最大数より少ない場合（ただし、自律システムの場合は複数）、システムは部分可積分であるといいます。ポアソン可換になり得る最大数を超えてさらに機能的に独立した不変量が存在し、したがって不変葉脈の葉の次元が n より小さい場合、システムは超可積分であるといいます。1 次元の葉（曲線）を持つ正規の葉脈がある場合、これは最大超可積分と呼ばれます。

アクション角度変数

有限次元ハミルトン系がリウヴィルの意味で完全に積分可能であり、エネルギー準位集合がコンパクトな場合、フローは完備であり、不変葉層の葉はトーラスとなる。すると、前述のように、作用角変数 と呼ばれる位相空間上の特別な正準座標系が存在し、不変トーラスは作用変数の結合準位集合となる 。したがって、これらはハミルトンフローの不変量の完全な集合（運動定数）を提供し、角度変数はトーラス上の自然な周期座標となる。これらの正準座標で表される不変トーラス上の運動は、角度変数に関して線形である。

ハミルトン・ヤコビアプローチ

正準変換理論には、ハミルトン・ヤコビ法があります。この法では、ハミルトン方程式の解は、まず関連するハミルトン・ヤコビ方程式の完全解を求めることによって求められます。古典的な用語では、これは完全に無視できる変数からなる正準座標系への変換を決定することと説明されます。つまり、ハミルトニアンが完全な正準「位置」座標系に依存しないような座標系、つまり対応する正準共役運動量がすべて保存量となるような座標系への変換です。コンパクトなエネルギー準位集合の場合、これは作用角変数を決定するための最初のステップです。ハミルトン・ヤコビ型の偏微分方程式の一般理論では、完全解（つまり、 n個の独立した積分定数に依存する解。ここでnは配置空間の次元）は、非常に一般的な場合に存在しますが、それは局所的な意味でのみ存在します。したがって、ハミルトン・ヤコビ方程式の完全解の存在は、リウヴィルの意味での完全積分可能性を特徴付けるものではない。「明示的に積分」できるほとんどのケースは変数の完全な分離を伴い、その分離定数によって必要な積分定数の完全な集合が提供される。これらの定数が、完全な位相空間設定において、ラグランジュ葉理の葉に限定されたポアソン可換関数の完全な集合の値として再解釈できる場合にのみ、その系はリウヴィルの意味で完全積分可能とみなされる。

ソリトンと逆スペクトル法

1960年代後半、コルテヴェク・ド・フリース方程式（浅い盆地における1次元非散逸流体力学を記述する）のような偏微分方程式の強安定な局所解であるソリトンが、これらの方程式を無限次元の可積分ハミルトン系と見なすことで理解できるという発見により、古典的可積分系への関心が再び高まった。この研究は、このような系を「積分」するための非常に有益なアプローチ、すなわち 逆散乱変換と、より一般的な逆スペクトル法（しばしばリーマン・ヒルベルト問題に還元可能）につながった。これらの逆スペクトル法は、関連する積分方程式の解を通して、フーリエ解析のような局所線形法を非局所線形化へと一般化する。

この方法の基本的な考え方は、位相空間における位置によって決定され、対象のシステムのダイナミクスに従って進化する線形演算子を導入することです。この演算子は、その「スペクトル」（適切に一般化された意味で）が進化に対して不変となるように進化します（Lax対参照）。これは、場合によっては、システムを完全に積分可能にするのに十分な不変量、つまり「運動の積分」を提供します。KdV方程式のように無限の自由度を持つシステムの場合、これはリウヴィル積分可能性の性質を明確にするには不十分です。しかし、適切に定義された境界条件の下では、スペクトル変換は実際には完全に無視できる座標への変換として解釈でき、その座標では保存量は二重無限の標準座標の半分を形成し、フローはこれらの座標系で線形化されます。場合によっては、これはアクション角度変数への変換として見られることさえありますが、通常は「位置」変数のうちの限られた数だけが実際に角度座標であり、残りは非コンパクトです。

広田双線形方程式とτ関数

現代の可積分系理論に生じたもう一つの観点は、広田亮吾[ ^{2 ]が開拓した計算手法に由来する。この}手法では、元の非線形力学系を、後にτ 関数として知られるようになる補助量についての定数係数方程式の双線形系に置き換えることが含まれる。これらは現在では広田方程式と呼ばれている。この方程式は当初、逆散乱アプローチやハミルトン構造とは明確な関係のない単なる計算装置として登場したが、それでもソリトンなどの重要な解のクラスを導く非常に直接的な方法を与えた。

その後、これは佐藤幹夫氏^{[ 3 ]}と彼の学生^{[ 4 ] [ 5 ]}によって、最初はKadomtsev–Petviashvili階層のような PDE の可積分階層の場合に解釈され、その後、より一般的なクラスの可積分階層に対して、一種の普遍的な位相空間アプローチとして解釈されました。このアプローチでは、典型的には、可換ダイナミクスは、（有限または無限）グラスマン多様体への固定された（有限または無限）アーベル群作用によって決定されると単純に考えられました。 τ-関数は、群軌道の要素からグラスマン多様体内のある原点への射影演算子の行列式と見なされ、広田方程式は、フェルミオン的フォック空間として見られる適切に定義された（無限）外部空間の射影化におけるグラスマン多様体のプルッカー埋め込みを特徴付けるプルッカー関係式を表現するものとして表現されます。

代数的積分可能性

弱い積分可能性

双有理写像⇢は、有理写像としてを満たす非定数有理写像⇢が存在するとき、弱代数的に積分可能であると言われる。^{[ 6 ]}${\displaystyle \phi :\mathbb {A} ^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{N}}$ ${\displaystyle I:\mathbb {A} ^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{N}}$ ${\displaystyle I\circ \phi =I}$

複素数上の完全な積分可能性

を 上の非特異アフィン多様体とし、その上にハミルトニアン を持つ完全積分可能（上記参照）な力学系を考える。この力学系は、一般の に対して、準位集合がアーベル多様体（通常はスペクトル曲線のヤコビアン）のアフィン部分であり、ハミルトニアンベクトル場がこのファイバーに制限されたときに並進不変であるとき、代数的に完全積分可能（aci）であるという。^{[ 7 ]}${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H=(H_{1},\dots ,H_{n})}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle F_{c}}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{F_{i}}}$

ディオファントス積分可能性

を有限体上の射影空間に作用する双有理写像とする。任意の有理点に対して、反復の高さが の多項式よりも速く増加しないとき、それはディオファントス積分可能であるという。^{[ 8 ]}${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle h(\phi ^{n}(P))}$ ${\displaystyle n}$

量子可積分系

量子可積分系という概念もあります。

量子設定においては、位相空間上の関数はヒルベルト空間上の自己随伴作用素に置き換えられ、ポアソン可換関数の概念は可換作用素に置き換えられる。保存則の概念は局所保存則に特化される必要がある。^{[ 9 ]}すべてのハミルトニアンは、そのエネルギー固有状態への射影子によって与えられる無限の保存量を持つ。しかし、これは特別な力学構造を意味するものではない。

量子可積分性を説明するには、自由粒子の設定を考えると分かりやすい。ここではすべてのダイナミクスが1体可積分である。量子系は、ダイナミクスが2体可積分である場合に可積分であると言われる。ヤン・バクスター方程式はこの可積分性の帰結であり、無限の保存量を与えるトレース恒等式を導く。これらのアイデアはすべて量子逆散乱法に組み込まれており、代数ベーテ仮説を用いて明示的な解を得ることができる。量子可積分モデルの例としては、リープ・リニガーモデル、ハバードモデル、ハイゼンベルクモデルのいくつかのバリエーションが挙げられる。^{[ 10 ]}他に、駆動タヴィス・カミングスモデルなど、明示的に時間依存の量子問題で知られているタイプの量子可積分性もある。^{[ 11 ]}

正確に解けるモデル

物理学において、特に無限次元における完全に可積分な系は、しばしば「正確に解けるモデル」と呼ばれます。これは、ハミルトン的な意味での可積分性と、より一般的な力学系における可積分性との区別を曖昧にします。

統計力学にも、古典的モデルよりも量子可積分系に近い、厳密に解けるモデルが存在する。密接に関連する2つの手法、ヤン・バクスター方程式に基づく現代的な意味でのベーテ仮説アプローチと量子逆散乱法は、逆スペクトル法の量子的な類似物を提供する。これらは統計力学における可解モデルの研究において、同様に重要である。

「正確な可解性」という曖昧な概念が、「解は既知の関数を用いて明示的に表現できる」という意味で使われることもあります。これは、解を表現できる「既知の」関数がたまたま存在するという純粋に計算上の特徴ではなく、システム自体の固有の性質であるかのように解釈されることがあります。この概念には本質的な意味はありません。なぜなら、「既知の」関数とは、多くの場合、特定の方程式を満たすという事実によって正確に定義され、そのような「既知の関数」のリストは絶えず増え続けているからです。このような「積分可能性」の特徴づけには本質的な妥当性はありませんが、可積分系に期待されるような規則性を示唆することがよくあります。

よく知られている可積分系の一覧

古典的な機械システム

• カロジェロ・モーザー・サザーランドモデル^{[ 12 ]}
• 中心力の運動（古典的な中心力問題の正確な解）
• 楕円体上の測地線運動
• 調和振動子
• 流体における積分可能なクレプシュ系とステクロフ系
• ラグランジュ、オイラー、コヴァレフスカヤトップ
• ノイマン発振器
• 二中心ニュートン重力運動

積分可能な格子モデル

• アブロウィッツ・ラディク格子
• 戸田格子
• ボルテラ格子

1 + 1次元の可積分系

• AKNSシステム
• ベンジャミン・オノ方程式
• ブシネスク方程式 (水の波)
• カマッサ・ホルム方程式
• 古典ハイゼンベルク強磁性体モデル（スピン鎖）
• デガスペリス・プロチェシ方程式
• Dym方程式
• ガルニエ可積分系
• カウプ・クーパーシュミット方程式
• クリチェバー・ノビコフ方程式
• コルテヴェク・ド・フリース方程式
• ランダウ・リフシッツ方程式（連続スピン場）
• 非線形シュレーディンガー方程式
• 非線形シグマモデル
• サイン・ゴードン方程式
• サーリングモデル
• 三波方程式

2 + 1次元の積分可能な偏微分方程式

• デイビー・スチュワートソン方程式
• 石森方程式
• カドムツェフ・ペトビアシビリ方程式
• ノビコフ・ヴェセロフ方程式

3 + 1次元の積分可能な偏微分方程式

• ベリンスキー・ザハロフ変換は、アインシュタイン場の方程式の Lax 対を生成します。一般解は重力ソリトンと呼ばれ、シュワルツシルト計量、カー計量、およびいくつかの重力波解がその例です。

正確に解ける統計格子モデル

• 8頂点モデル
• リーブの氷型モデル
• ゴーダンモデル
• 1次元および2次元のイジングモデル
• 1次元および2次元のZNモデル（または時計モデル）
• 量子ハイゼンベルクモデル

離散可積分系

• 五芒星図とその一般化

参照

• ヒッチンシステム

関連分野

• 数理物理学
• ソリトン
• パンルヴェの超越者
• 統計力学
• 積分可能アルゴリズム

主な貢献者（1965年以降）

• マーク・アブロウィッツ
• ロドニー・バクスター
• パーシー・デフト
• レオニード・ディッキー
• ウラジミール・ドリンフェルド
• ボリス・ドゥブロヴィン
• ルドヴィグ・ファデエフ
• ヘルマン・フラシュカ
• イスラエル・ゲルファンド
• アレクサンダー・イッツ
• 神保道雄
• イゴール・M・クリチェバー
• マーティン・クラスカル
• ピーター・ラックス
• ウラジミール・マトヴェエフ
• ヘンリー・マッキーン
• ロバート・ミウラ
• 三輪哲治
• アラン・ニューウェル
• ニコライ・レシェティキン
• アレクセイ・シャバト
• エフゲニー・スクリャニン
• 佐藤幹夫
• エリオット・H・リーブ
• グレアム・シーガル
• ジョージ・ウィルソン
• ウラジミール・E・ザハロフ

参考文献

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さらに読む

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• Donagi, R. ; Markman, E. (1996). 「スペクトル被覆、代数的に完全可積分なハミルトン系、そして束のモジュライ」.可積分系と量子群. 数学講義ノート. 第1620巻. Springer. pp.  1– 119. doi : 10.1007/BFb0094792 . ISBN 978-3-540-60542-3。
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外部リンク

• 「可積分系」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 「SIDE - 差分方程式の対称性と積分可能性」は、積分可能な差分方程式と関連トピックの研究に特化した会議です。^{[ 13 ]}

注記

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