クラスノセルスキー属

非線型関数解析において、クラスノセルスキー種数はベクトル空間の次元の概念を一般化する。線型空間のクラスノセルスキー種数は、形 の連続奇関数が存在する最小の自然数である。この種数は1964年にマーク・アレクサンドロヴィチ・クラスノセルスキーによって導入され^{[ 1 ]} 、同等の定義は1969年にチャールズ・コフマンによって与えられた^{[ 2 ]。}${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} ^{n}\setminus {0}}$

クラスノセルスキー属

コフマンの定義に従う。^{[ 2 ]}

させて

• ${\displaystyle E}$ バナッハ空間である、
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\subset E:A{\text{closed}},;A=-A\}}$ の対称閉集合の集合とする。${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle C(A,\mathbb {R} ^{n})}$ 連続関数の空間。${\displaystyle A\to \mathbb {R} ^{n}}$

セットを定義する には${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle K_{A}=\{n\in \mathbb {N} :\exists f\in C(A,\mathbb {R} ^{n}\setminus {0}),;f(-x)=-f(x)\}}$

するとクラスノセルスキー属は次のように定義される^{[ 3 ]}${\displaystyle A}$

${\displaystyle \gamma (A)={\begin{cases}\inf K_{A}&{\text{if }}K_{A}\neq \emptyset ,\\\infty &{\text{if }}K_{A}=\emptyset ,\\0&{\text{if }}A=\emptyset .\end{cases}}}$

言い換えれば、 の場合、となる連続奇関数が存在する。さらに、 は可能な最小次元である。つまり、となるような関数は存在しない。 ${\displaystyle \gamma (A)=n}$ ${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 0\notin \varphi (A)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \theta :A\to \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d<n}$

プロパティ

• を におけるの有界対称近傍とする。このとき、その境界の種数は である。^{[ 4 ]}${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \gamma (\partial \Omega )=n}$
• については、次が成り立つ：^{[ 5 ]}${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$

1. 奇関数が存在する場合、 となります。${\displaystyle f\in C(A,B)}$ ${\displaystyle \gamma (A)\leq \gamma (B)}$
2. もし なら、。${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle \gamma (A)\leq \gamma (B)}$
3. との間に奇同相関係が存在する場合、 となります。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \ガンマ (A)=\ガンマ (B)}$

これらのステートメントを組み合わせると、との間に奇同相が存在する場合、 であることが直ちにわかります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \gamma (A)=n}$

参考文献

1. Krasnoselskii, Mark A. (1964). 『非線形積分方程式理論における位相的手法』 AH Armstrong 訳. ニューヨーク: Macmillan.
2. コフマン、チャールズ・V. (1969). 「非線形積分方程式のクラスに対する最小-最大原理」. J. Analyse Math . 22 : 391–419 .
3. Struwe, Michael (2012).変分法：非線形偏微分方程式とハミルトン系への応用. ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー. p. 94.
4. Struwe, Michael (2012).変分法：非線形偏微分方程式とハミルトン系への応用. ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー. p. 95.
5. Ambrosio, Vincenzo (2021). \mathbb{R}^N における非線形分数シュレーディンガー方程式.ドイツ: Springer International Publishing. p. 43.