軌道共鳴

木星のガリレオ衛星3つが示す三体ラプラス共鳴。合は短い色の変化で強調表示されています。エウロパとガニメデの合（マゼンタ）1つにつき、イオとエウロパの合（緑）が2つ、イオとガニメデの合（灰色）が3つあります。この図は縮尺どおりではありません。

天体力学において、軌道共鳴は、軌道を周回する天体が互いに規則的で周期的な重力的影響を及ぼす場合に発生します。これは通常、それらの軌道周期が小さな整数の比で関係しているためです。最も一般的には、この関係は2つの物体（二体共鳴）間に見られます。軌道共鳴の背後にある物理的原理は、ブランコに乗っている子供を押す動作に似ています。つまり、軌道とブランコはどちらも固有振動数を持ち、「押す」物体は周期的に繰り返し動作することで、運動に累積的な影響を与えます。軌道共鳴は、天体間の相互重力的影響（つまり、互いの軌道を変更または制限する能力）を大幅に増強します。ほとんどの場合、これは不安定な相互作用をもたらし、天体は運動量を交換し、共鳴がなくなるまで軌道を移動させます。状況によっては、共鳴系は自己修正し、安定することがあります。例としては、木星の衛星イオ、エウロパ、ガニメデ、カリストのほぼ28:14:7:3共鳴や、海王星と冥王星の3:2共鳴が挙げられる。土星の内側の衛星との不安定な共鳴は、土星の環に隙間を生じさせる。同様の軌道半径を持つ天体間の1:1共鳴という特殊なケースでは、大きな惑星系の天体が、同じ軌道を共有する他のほとんどの天体を追い出す。これは、近傍を一掃するという、より広範なプロセスの一部であり、現在の惑星の定義にも使われている効果である。[ 1 ]

この記事における連星共鳴比は、同じ時間間隔で完了する軌道の数の比として解釈されるべきであり、軌道周期の比として解釈されるべきではありません。軌道周期の比は逆比となります。したがって、上記の2:3の比は、冥王星が海王星が3周するのにかかる時間で、冥王星が2周することを意味します。3つ以上の天体間の共鳴関係の場合、どちらのタイプの比も使用できます（最小の整数比のシーケンスが必ずしも互いに反転するとは限りません）。その場合、比率の種類を指定します。

歴史

17世紀にニュートンが万有引力の法則を発見して以来、太陽系の安定性はピエール＝シモン・ラプラスをはじめとする多くの数学者の関心を集めてきました。二体近似で生じる安定軌道は、他の天体の影響を無視します。これらの相互作用が太陽系の安定性に与える影響は非常に小さいですが、当初は、これらの相互作用が長期間にわたって蓄積され、軌道パラメータを大きく変化させて全く異なる配置をもたらすのか、あるいは他の何らかの安定化効果が惑星の軌道配置を維持するのかは不明でした。

ガリレオ衛星の軌道が互いに連結している理由を初めて解明したのはラプラスでした（下記参照）。ニュートン以前にも、軌道運動における比と比例に関する考察は存在しており、「天球の音楽」あるいは「普遍音楽」と呼ばれていました。

共鳴相互作用に関する記事では、現代の一般的な状況における共鳴について解説しています。力学系の研究の主要な成果は、モード同期の非常に単純化されたモデルの発見と記述です。これは、駆動モーターとの弱い結合を介して周期的なキックを受ける振動子です。これに類似する例としては、より質量の大きい物体が通過する際に、より質量の小さい物体に周期的な重力キックを与えることが挙げられます。モード同期領域はアーノルド・タングと呼ばれます。

共鳴の種類

共鳴する太陽系外縁天体の半長軸(赤) は、海王星との低整数共鳴の位置(上部近くの赤い縦棒) に集中しており、これはキュベワノ(青) および非共鳴 (または共鳴するかどうか不明) の散乱天体(灰色) の半長軸とは対照的です。
小惑星の長半径の分布図。木星との共鳴により軌道が不安定になるカークウッドの隙間を示している。
土星のAリングにおける螺旋状の密度波は、内側の衛星との共鳴によって励起されている。このような波は惑星から遠ざかる方向（左上方向）に伝播する。中央すぐ下にある大きな波の集合は、ヤヌスとの6:5共鳴によるものである。
土星のCリング（中央）のコロンボギャップにある偏心したタイタンリングレット[ 2 ]と、そのすぐ内側の曲げ波[ 3 ] [ 4 ]の共鳴粒子の傾斜軌道は、それぞれタイタンの平均運動に見合った遠心運動と節運動をしている。

一般的に、軌道共鳴は

平均運動軌道共鳴

平均運動軌道共鳴(MMR) は、複数の物体の軌道周期または平均運動(軌道周波数) が互いの単純な整数比である場合に発生します。

二体平均運動共鳴

MMRの最も単純なケースでは、2つの天体だけが関係します。周期の比は有理数に近い値である必要がありますが、長い周期にわたって平均しても、厳密に有理数である必要はありません。これは、近点の運動に依存するためです。例えば、冥王星と海王星の場合（下記参照）、真の方程式は、 の平均変化率がちょうど0であることを示しています。ここで、 は冥王星の経度、は海王星の経度、は冥王星の近日点の経度です。後者の運動率は約3αP−2α北−ϖP{\displaystyle 3\alpha _{P}-2\alpha _{N}-\varpi _{P}}αP{\displaystyle \alpha_{P}}α北{\displaystyle \alpha _{N}}ϖP{\displaystyle \varpi_{P}}0.97 × 10 −4度/年なので、長期的には周期比は実際には1.503になります。[ 5 ]

二体MMRは、詳細に応じて、共鳴天体の一方の軌道を安定化または不安定化させる可能性があります。 安定化は、二つの天体が決して接近しないほど同期して運動する場合に発生する可能性があります。例えば、

MMRは軌道の1つを不安定化させる可能性もあります。このプロセスは、宇宙船をエネルギー効率よく軌道から離脱させる方法を見つけるために利用できます。[ 6 ] [ 7 ]小さな天体の場合、不安定化は実際にははるかに起こり得ます。例えば、

2体MMRにあるほとんどの天体は同じ方向に軌道を回っていますが、逆行小惑星514107 Kaʻepaokaʻāwelaは、木星と1:−1の共鳴状態（少なくとも100万年の期間）にあるようです。[ 8 ]さらに、木星や土星とのMMRに一時的に捕らえられている逆行小惑星がいくつか見つかっています。[ 9 ]このような軌道相互作用は、同じ方向に軌道を回っている天体間の対応する相互作用よりも弱いです。[ 9 ] [ 10 ] 海王星外縁天体471325 Taowuは、惑星の軌道面に対して110 °の軌道傾斜角を持ち、現在海王星と7:9の極性共鳴状態にあります。[ 11 ]

N体平均運動共鳴

太陽系では、2体以上の天体が関与するMMRが観測されています。例えば、木星、土星、そしていくつかのメインベルト小惑星が関与する3体MMRがあります。これらの3体MMRは不安定であり、関与するメインベルト小惑星はカオス的な軌道進化を示します。[ 12 ]

ラプラス共鳴とは、軌道周期比が1:2:4（軌道比4:2:1に相当）の三体共鳴である。この用語は、ピエール＝シモン・ラプラスが木星の衛星イオ、エウロパ、ガニメデの運動がこのような共鳴によって支配されていることを発見したことに由来する。現在では、同じ比を持つ他の三体共鳴にもしばしば適用されており、[ 13 ]例えば、太陽系外惑星グリーゼ876 c、b、e間の共鳴などである。[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]他の単純な整数比を含む三体共鳴は、「ラプラス型」[ 17 ]または「ラプラス型」[ 18 ]と呼ばれている。

リンドブラッド共鳴

リンドブラッド共鳴は、銀河（星が渦巻き腕自体によって力を受ける）と土星の環（環の粒子が土星の衛星によって力を受ける） の両方で渦巻き密度波を駆動します。

世俗的な共鳴

永年共鳴は、2つの軌道の歳差運動が同期しているときに発生します（通常は近日点または昇交点の歳差運動）。小天体がはるかに大きな天体（例えば惑星）と永年共鳴している場合、大天体と同じ速度で歳差運動します。長い時間（100万年程度）をかけて、永年共鳴は小天体の 離心率と傾斜角を変化させます。

永年共鳴の顕著な例には土星が関係している。土星の自転軸の歳差運動と海王星の公転軸の歳差運動（どちらも周期は約187万年）はほぼ共鳴しており、これが土星の大きな自転軸傾斜角（26.7°）の原因である可能性が高いとされている。[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]当初、土星の傾斜角は木星の傾斜角（3.1°）に近いと考えられていた。カイパーベルトの漸進的な減少により、海王星の公転軸の歳差運動率は低下したと考えられる。最終的に周波数が一致し、土星の自転軸歳差運動が自転軌道共鳴に取り込まれ、土星の黄道傾斜角の増加につながった。 （海王星の軌道角運動量は土星の自転速度の10の4乗倍であり、相互作用を支配している。）しかし、共鳴はもはや存在しないようだ。カッシーニ探査機のデータの詳細な分析によると、土星の慣性モーメントの値は共鳴が存在する範囲をわずかに超えており、これは自転軸が海王星の軌道傾斜角と長期的には同調していないことを意味する。これは過去にはそうであったように、海王星の軌道傾斜角と長期的には同調していない。共鳴が終了した理由の一つとして、約1億年前に土星の周りに別の衛星があり、その軌道が不安定になり、土星に摂動をもたらしたという説がある。[ 22 ] [ 23 ]

小惑星と土星の近日点共鳴は、小惑星帯の形成に影響を与えます。これは、ν 6と呼ばれる角度の変化率に関係しており、 g − g 6で定義されます。ここで、gは小惑星の近日点経度の変化率、 g 6は土星（太陽から6番目の惑星）の近日点経度です。ν 6の値は、小惑星の軌道長半径（周期）と軌道傾斜角に依存します。ν 6 がゼロに近づく小惑星は、離心率が徐々に増加し、最終的には火星通過小惑星となり、その時点で通常は火星に接近することで小惑星帯から排除されます。この共鳴により、約2 AU、軌道傾斜角約20°の 小惑星帯の内側境界と「側方」境界が形成されます。

数値シミュレーションによれば、水星と木星の間に近日点共鳴（g 1 = g 5、ここでgは近日点経度の変化率）が最終的に形成され、数十億年後には水星の離心率が大幅に増加し、太陽系内部が不安定になる可能性があることが示唆されている。[ 24 ] [ 25 ]

土星のCリング内にあるタイタン・リングレットは、一方の軌道の歳差運動の速度がもう一方の軌道の公転速度と正確に一致する、別の種類の共鳴現象を表しています。この偏心したリングレットの外側の端は、常に土星の主要衛星タイタンの方を向いています。[ 2 ]

コーザイ共鳴は、摂動を受けた軌道の傾斜角と離心率が同期して振動する（離心率が増加する一方で傾斜角が減少する、あるいはその逆）場合に発生します。この共鳴は、大きく傾斜した軌道上の天体にのみ適用されます。その結果、そのような軌道は不安定になりがちです。なぜなら、離心率の増加は近点を小さくし、典型的には衝突、あるいは（大きな衛星の場合は）潮汐力による破壊につながるからです。

軌道離心率を伴う別のタイプの共鳴の例として、ガニメデとカリストの離心率は、位相は逆だが、181年の共通周期で変化している。[ 26 ]

太陽系における平均運動共鳴

回転系における、海王星（右下の青い点）を固定した状態での、ハウメアと海王星の7:12共鳴の推定図。海王星に対するハウメアの軌道は周期的に反転（秤動）し、共鳴状態を維持している。

太陽系には、惑星、準惑星、または大型衛星が関与する平均運動共鳴 (MMR) がわずかしか知られていません(小惑星、惑星の環、小衛星、および多くの準惑星を含むより小さなカイパーベルト天体が関与する MMR ははるかに多く存在します)。

さらに、ハウメアは海王星と7:12の共鳴にあると考えられており、[ 27 ] [ 28 ]ゴンゴンは海王星と3:10の共鳴にあると考えられており、[ 29 ]海王星と他の共鳴にある小さな天体は数多く存在します。

期間間の見かけ上の単純な整数比は、より複雑な関係を隠しています。

後者の例として、よく知られているイオ-エウロパの2:1共鳴（ラプラス共鳴の一部、下記参照）を考えてみましょう。もし公転周期がこの関係にあるとすれば、平均運動 （周期の逆数、通常は1日あたりの度数で表されます）は次の式を満たします。 n{\displaystyle n\,\!}

n私o−2⋅nEあなた＝0{\displaystyle n_{\rm {Io}}-2\cdot n_{\rm {Eu}}=0}

データを代入すると（Wikipedia から）、−0.7395° day −1となり、ゼロとは大幅に異なる値になります。

実際には、共鳴は長期的には完全ですが、近点（木星に最も近い点）の歳差運動も伴います。正しい方程式（ラプラス方程式の一部）は次のとおりです。 ω˙{\displaystyle {\dot {\omega }}}

n私o−2⋅nEあなた+ω˙私o≈0{\displaystyle n_{\rm {Io}}-2\cdot n_{\rm {Eu}}+{\dot {\omega }}_{\rm {Io}}\approx 0}

これはある瞬間には完全にゼロではないが、長期平均はゼロである。言い換えれば、近木星歳差運動を考慮すると、イオの平均運動は長期的にはエウロパの2倍になる。合は常にイオの近点と同じ木星側で発生する（エウロパの近点は常に反対側にある）。[ 30 ]上記の他のペアは、ミマス-テティス共鳴を除いて、同じタイプの方程式を満たす。この場合、共鳴は次の式を満たす。

4⋅nTe−2⋅nM私−Ω˙Te−Ω˙M私＝0{\displaystyle 4\cdot n_{\rm {Te}}-2\cdot n_{\rm {Mi}}-{\dot {\Omega }}_{\rm {Te}}-{\dot {\Omega }}_{\rm {Mi}}=0}

合点は、2 つの衛星の 交点の中間点の周りで振動します。

ラプラス共鳴

イオ・エウロパ・ガニメデ共鳴の図。中心から外側に向かって、イオ（黄色）、エウロパ（灰色）、ガニメデ（黒色）

イオ・エウロパ・ガニメデを含むラプラス共鳴には、衛星の 軌道位相を固定する次の関係が含まれます。

ΦL＝λ私o−3⋅λEあなた+2⋅λG1つの≈180∘{\displaystyle \Phi _{L}=\lambda _{\rm {Io}}-3\cdot \lambda _{\rm {Eu}}+2\cdot \lambda _{\rm {Ga}}\approx 180^{\circ }}

ここで、は衛星の平均経度です。実際の振動は約180°、振幅は0.03°、周期は約2000日です。[ 30 ]λ{\displaystyle \lambda}

この関係により、三重合は起こり得ません。（対照的に、グリーゼ876系におけるラプラス共鳴は、秤動を無視した場合、最外惑星の軌道ごとに1回の三重合と関連しています。）グラフは、イオ周期の1、2、3周期後の衛星の位置を示しています。

もう一つの「ラプラスのような」共鳴は冥王星の衛星スティクス、ニクス、ヒドラに関係している： [ 17 ]

Φ＝3⋅λS−5⋅λ北+2⋅λH＝180∘{\displaystyle \Phi =3\cdot \lambda _{\rm {S}}-5\cdot \lambda _{\rm {N}}+2\cdot \lambda _{\rm {H}}=180^{\circ}}

（2番目の等号は秤動を無視する。）これは、ステュクス、ニクス、ヒドラの軌道周期がそれぞれ18:22:33（または、カロンの周期との近似共鳴で言えば、3+3/11:4:6。下記参照）に近いことを反映している。それぞれの軌道比は11:9:6である。朔望周期の比に基づくと、ステュクスとニクスの合2回につき、ステュクスとヒドラの合は5回、ニクスとヒドラの合は3回発生する。[ 17 ] [ 31 ]イオ-エウロパ-ガニメデ共鳴と同様に、三重合は禁止されている。少なくとも10°の振幅で約180°振動するため、ステュクスとニクスが合のときはヒドラは冥王星の反対側の点から5°離れ、ニクスとヒドラが合のときはステュクスは反対側の点から3°以上離れる可能性がある。[ 17 ]Φ{\displaystyle \Phi }

ヒュドラ（青）、ニクス（赤）、ステュクス（黒）の共鳴周期の3分の1にわたる合の連続。動きは反時計回りで、完了した軌道は図の右上に示されています（画像をクリックすると周期全体が表示されます）。

プルティノ共鳴

準惑星の冥王星は、海王星との共鳴の網に閉じ込められた軌道を描いています。共鳴には以下のものがあります。

これらの共鳴の結果、冥王星が海王星の軌道を横切る際、少なくとも30 AUの距離が維持されます。冥王星の2周期にわたる両天体間の最小距離は17 AU（冥王星の遠日点付近で発生）ですが、冥王星と天王星間の最小距離はわずか11 AUです[ 32 ]。ただし、現在では両者の距離は15 AUまでしか離れていません[ 33 ]（詳細な説明とグラフについては冥王星の軌道を参照）。

海王星と2:3の共鳴関係にある天体はプルティノスと呼ばれます。冥王星に次いで大きいのは準惑星オルクスです。オルクスの軌道傾斜角と離心率は冥王星と似ています。しかし、海王星との共鳴関係により、両者は大きく離れています。[ 34 ]

海王星の衛星ナイアド（その軌道運動は赤で示されている）とタラッサの共鳴を描いたもので、後者と共回転する様子が描かれている。

ナイアド:タラッサ 73:69 共鳴

海王星の最も内側の衛星ナイアドは、次の外側の衛星タラッサと 73:69 の 4 次共鳴 (1 周期につき 4 回の合) 状態にある。より傾斜しているナイアドは海王星を周回する際、タラッサを北へ 2 回、南へ 2 回連続して通過する。この周期は地球の約 21.5 日ごとに繰り返される。2 つの衛星は、互いを通過するときに約 3,540 km 離れている。軌道半径の差はわずか 1,850 km であるが、ナイアドは最接近時にタラッサの軌道面から北または南に約 2,800 km 振れる。一般的なように、この共鳴により合時に接近が回避され軌道が安定するが、離心率がほぼゼロの場合に軌道傾斜角がこの回避を促進する役割を果たすことは珍しい。[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [注 1 ]

太陽系外惑星間の平均運動共鳴

1:2の軌道比を持つ2つの惑星の共鳴惑星系

発見された太陽系外惑星系のほとんどには平均運動共鳴状態にある惑星は見つかっていないが、最大5個の共鳴惑星[ 39 ]や少なくとも7個の共鳴近傍惑星[ 40 ]からなる連鎖が発見されている。シミュレーションによると、惑星系の形成過程において、原始ガス円盤の存在は、惑星胚の共鳴連鎖の出現を促進することが示されている。このガスが消散すると、観測された共鳴連鎖の低周波数に一致するように、これらの連鎖の90～95%が不安定になる必要がある。[ 41 ]

  • 前述のように、グリーゼ876 e、b、cはラプラス共鳴状態にあり、周期比は4:2:1（124.3、61.1、30.0日）である。[ 14 ] [ 42 ] [ 43 ]この場合、振動振幅は40°±13°であり、共鳴は時間平均の関係に従う。[ 14 ]ΦL{\displaystyle \Phi_{L}}
ΦL＝λc−3⋅λd+2⋅λe＝0∘{\displaystyle \Phi _{L}=\lambda _{\rm {c}}-3\cdot \lambda _{\rm {d}}+2\cdot \lambda _{\rm {e}}=0^{\circ }}
  • ケプラー223には、8:6:4:3の軌道比と3:4:6:8の周期比（7.3845日、9.8456日、14.7887日、19.7257日）で共鳴している4つの惑星がある。[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]これは初めて確認された4体軌道共鳴である。[ 48 ]この系内の秤動は、2つの惑星が接近遭遇するのは、他の惑星が軌道上で離れた部分にある場合のみである。シミュレーションは、この共鳴系が惑星の移動によって形成されたに違いないことを示唆している。[ 47 ]
  • ケプラー80 d、e、b、c、gの周期は、約1.000: 1.512: 2.296: 3.100: 4.767（3.0722、4.6449、7.0525、9.5236、14.6456日）の比です。しかし、合の周期に合わせて回転する座標系では、周期比は4:6:9:12:18（軌道比は9:6:4:3:2）に減少します。 dとe、eとb、bとc、cとgの合は、慣性系または非回転系では2:3:6:6（9.07、13.61、27.21日）の相対間隔で発生し、このパターンは回転系で約190.5日（回転系で7周期）ごとに繰り返されます（回転系では62:41:27:20:13の軌道比共鳴に相当し、合は軌道運動の反対方向に循環するため）。起こり得る三体共鳴の秤動振幅は約3度であり、モデル化により共鳴系は摂動に対して安定であることが示されています。三重合は発生しません。[ 49 ] [ 39 ]
  • TOI-178には6つの惑星が確認されており、そのうち外側の5つの惑星は回転座標系において同様の共鳴鎖を形成しており、周期比では2:4:6:9:12、軌道比では18:9:6:4:3と表すことができます。さらに、周期1.91dの最内惑星bも、同じラプラス共鳴鎖の一部であると考えられる場所の近くを公転しています。これは、周期約1.95dで惑星cとの3:5共鳴が満たされるためです。これは、惑星bがそこで進化したが、おそらく潮汐力によって共鳴から外れたことを示唆しています。[ 50 ]
  • TRAPPIST-1の7つの地球とほぼ同じ大きさの惑星は、近似共鳴の連鎖（知られている中では最長の連鎖）を形成しており、その軌道比はおよそ24、15、9、6、4、3、2、または最近接周期比（外側に向かって）はおよそ8/5、5/3、3/2、3/2、4/3、3/2（1.603、1.672、1.506、1.509、1.342、1.519）である。また、隣接する惑星の3つ組はそれぞれラプラス共鳴状態にある（あるラプラス共鳴状態ではb、c、d、別のラプラス共鳴状態ではc、d、e、など）。[ 51 ] [ 40 ]この共鳴状態は、惑星の移動中に生じたと仮定すると、数十億年のタイムスケールで安定していると予想される。[ 52 ] [ 53 ]共鳴音の音楽的解釈が提供されている。[ 53 ]
  • ケプラー29には7:9の共鳴関係にある惑星のペアがある（比率は1/1.28587）。[ 46 ]
  • ケプラー36には6:7共鳴に近い惑星のペアがある。[ 54 ]
  • ケプラー37d、c、bは、軌道比8:15:24、周期比15:8:5（39.792187日、21.301886日、13.367308日）で共鳴の1%以内にある。[ 55 ]
  • ケプラー90の8つの既知の惑星のうち、周期比b:c、c:i、i:dはそれぞれ4:5、3:5、1:4に近く（4:4.977、3:4.97、1:4.13）、d、e、f、g、hは2:3:4:7:11の周期比に近い（2:3.078:4.182:7.051:11.102、7:11.021）。[ 56 ] [ 39 ] f、g、hも3:5:8の周期比に近い（3:5.058:7.964）。[ 57 ]このようなシステムやケプラー36のようなシステムに関連して、計算によれば、外側の巨大ガス惑星の存在が、内側のスーパーアース間の密集した共鳴の形成を促進することが示唆されている。[ 58 ]
  • HD 41248には、5:7共鳴（比1/1.39718）の0.3%以内にスーパーアースのペアがあります。 [ 59 ]
  • K2-138には、ほぼ3:2の共鳴鎖（周期は2.353、3.560、5.405、8.261、12.758日）に5つの惑星が確認されている。この系は、市民科学プロジェクトExoplanet ExplorersでK2データを使って発見された。[ 60 ] K2-138には共軌道天体（平均運動共鳴が1:1）が存在する可能性がある。[ 61 ]共鳴鎖系は共軌道天体を安定化させる可能性があり[ 62 ] 、 HARPSによるK2の光度曲線と視線速度の専用解析によってそれが明らかになるかもしれない。[ 61 ]スピッツァー宇宙望遠鏡による追跡観測では、3:2共鳴鎖を継続する6番目の惑星が存在することが示唆されているが、鎖には2つのギャップ（周期は41.97日）が残っている。これらのギャップは、より小さな非トランジット惑星によって埋められる可能性がある。[ 63 ] [ 64 ] CHEOPSによる今後の観測では、この系の通過タイミングの変化を測定して惑星の質量をさらに分析し、系内の他の惑星を発見する可能性がある。[ 65 ]
  • K2-32には、ほぼ1:2:5:7の共鳴関係にある4つの惑星（周期は4.34日、8.99日、20.66日、31.71日）があります。惑星eの半径は地球とほぼ同じです。他の惑星は海王星と土星の間の大きさです。[ 66 ]
  • V1298 Tauriには4つの惑星が確認されており、そのうち惑星c、d、bは1:2:3共鳴（周期は8.25、12.40、24.14日）に近い。惑星eはK2光度曲線で1回のみ通過し、周期は36日以上である。惑星eは惑星bと低次の共鳴（2:3、3:5、1:2、または1:3）にある可能性がある。この系は非常に若く（23±4百万年）、コンパクトな多惑星系の前駆現象である可能性がある。2:3共鳴は、近傍の惑星が共鳴状態で形成されるか、10百万年未満の時間スケールで共鳴状態に進化する可能性を示唆している。この系の惑星は海王星と土星の間の大きさである。惑星bのみが木星と同程度の大きさである。[ 67 ]
  • HD 158259には、3:2共鳴近傍の惑星が4つ存在し（周期はそれぞれ3.432日、5.198日、7.954日、12.03日、周期比はそれぞれ1.51日、1.53日、1.51日）、さらに5つ目の惑星も3:2共鳴近傍に存在する可能性がある（周期は17.4日）。これらの太陽系外惑星は、SOPHIEエシェル分光器を用いて視線速度法によって発見された。[ 68 ]
  • ケプラー1649には、9:4共鳴（周期19.53527日と8.689099日、周期比2.24825）に近い地球サイズの惑星が2つ存在し、そのうち1つ（「c」）はハビタブルゾーン内にある。周期13.0日の未検出の惑星は、3:2共鳴の連鎖を形成する。[ 69 ]
  • ケプラー88は、1:2共鳴（周期比2.0396）に近い内側の惑星を2つ持ち、質量比は約22.5です。そのため、最も内側の惑星の通過時刻は約0.5日と非常に大きく変動します。さらに質量の大きい外側の惑星が、約1400日の軌道で公転しています。[ 70 ]
  • HD 110067には6つの惑星が知られており、共鳴比は54:36:24:16:12:9である。[ 71 ]

1:2 の平均運動共鳴に近い太陽系外惑星の例はかなり一般的である。トランジット法で発見された系の 16 パーセントにこの例 (周期比が 1.83～2.18 の範囲) があると報告されている[ 46 ] 。また、ドップラー分光法で特徴付けられた惑星系の 6 分の 1 にも(この場合は周期比の範囲が狭い) 見られる。[ 72 ]系に関する知識が不完全であるため、実際の割合はこれより高い可能性がある。[ 46 ]全体として、視線速度で特徴付けられた系の約 3 分の 1 には、整合可能性に近い惑星のペアがあるように見える。[ 46 ] [ 72 ]惑星のペアの軌道周期比が平均運動共鳴比より数パーセント大きいことの方が、数パーセント小さいことよりもはるかに一般的である (特に、比率の整数が 1 異なる一次共鳴の場合)。[ 46 ]これは、恒星との潮汐相互作用が顕著な場合に当てはまると予測された。 [ 73 ]

平均運動の一致した「近い」比率

小惑星パラスが木星と18:7共鳴に近い状態にある様子を回転座標系で描いた図（アニメーションはクリック）。木星（左上のピンクのループ）はほぼ静止している。パラスの軌道は時間とともに着実に変化し、軌道が反転することはない（つまり、秤動は起こらない）。
地球の描写：金星8:13の共鳴付近。地球は回転しないフレームの中心に静止しており、地球の8年間にわたる金星の下合は五芒星のパターンを描きます（比率の数字の差を反映しています）。
冥王星の外側にある4つの小さな衛星の軌道図。これらは、内側にある大きな衛星カロンの周期に対して、3:4:5:6の共鳴周期を辿っている。スティクス、ニクス、ヒドラの衛星も真の3体共鳴に関与している。

惑星や主要な衛星の軌道周波数の間には、整数比に近い関係が数多く指摘されることがあります (以下のリストを参照)。しかし、共鳴を完璧にするための適切な近日点歳差運動やその他の秤動がないため、これらは力学的な意味を持ちません (上記のセクションの詳細な議論を参照)。このような近似共鳴は、たとえミスマッチが非常に小さくても力学的に重要ではありません。なぜなら (真の共鳴とは異なり) 各サイクルの後に天体の相対的な位置がシフトするためです。天文学的に短い時間スケールで平均すると、共鳴にほど遠い天体と同様に、それらの相対的な位置はランダムです。たとえば、地球と金星の軌道を考えてみましょう。地球は 8 周、金星は 13 周した後、ほぼ同じ構成になります。実際の比率は 0.61518624 で、ちょうど 8:13 からわずか 0.032% しか離れていません。8 年後のミスマッチは、金星の軌道移動のわずか 1.5° です。それでも、金星と地球は120周期、つまり960年ごとに、本来の向きとは逆の向きになるという、十分な大きさです。したがって、数千年以上（天文学的な基準からすればまだごくわずかですが）のタイムスケールでは、両者の相対的な位置は事実上ランダムです。

近い共鳴の存在は、過去に完全な共鳴が存在したこと、またはシステムが将来完全な共鳴に向かって進化していることを反映している可能性があります。

軌道周波数の一致には次のようなものがあります。

太陽系における軌道周波数の一致表
比率 遺体 1サイクル後の不一致[ a ]ランダム化時間[ b ]確率[ c ] [ d ]
惑星間共鳴
9時23分金星と水星4.0°200年19%
1:4 地球-水星 54.8° 3歳 30%
8時13分地球–金星[ 74 ] [ 75 ] [ e ]1.5°1000年6.5%
243:395地球–金星[ 74 ] [ 76 ]0.8°5万年68%
1:3火星–金星20.6°20歳11%
1:2火星–地球42.9°8歳24%
193:363 火星と地球 0.9° 7万年 62%
1:12木星–地球[ f ]49.1°40歳28%
3:19 木星-火星 28.7° 200年 41%
2:5土星–木星[ g ]12.8°800年13%
1:7天王星–木星31.1°500年18%
7時20分天王星–土星5.7°2万年20%
5:28海王星–土星1.9°8万年5.2%
1:2海王星–天王星14.0°2000年7.8%
火星の衛星システム
1:4デイモス–フォボス[ h ]14.9°0.04年8.3%
主要な小惑星の共鳴
1:1パラス–セレス[ 78 ] [ 79 ]0.7°1000年0.39% [ i ]
7時18分木星–パラス[ 80 ]0.10°10万年0.4% [ j ]
87 シルビアの衛星システム[ k ]
17時45分ロミュラス–レムス0.7°40歳6.7%
木星の衛星系
1:6イオ–メティス0.6°2歳0.31%
3:5アマルテア–アドラステア3.9°0.2年6.4%
3:7カリスト–ガニメデ[ 81 ]0.7°30歳1.2%
土星の衛星システム
2:3エンケラドゥス–ミマス33.2°0.04年33%
2:3ディオネ–テティス[ l ]36.2°0.07年36%
3:5レア–ディオネ17.1°0.4年26%
2:7タイタン–レア21.0°0.7年22%
1:5イアペトゥス–タイタン9.2°4歳5.1%
主要なケンタウロスの共鳴[ m ]
3:4天王星–カリクロー4.5°1万年7.3%
天王星の衛星系
3:5ロザリンド・コーデリア[ 83 ]0.22°4歳0.37%
1:3ウンブリエル–ミランダ[ n ]24.5°0.08年14%
3:5ウンブリエル–アリエル[ o ]24.2°0.3年35%
1:2タイタニア–ウンブリエル36.3°0.1年20%
2:3オベロン–タイターニア33.4°0.4年34%
海王星の衛星システム
1:20トリトン–ナイアード13.5°0.2年7.5%
1:2プロテウス–ラリッサ[ 86 ] [ 87 ]8.4°0.07年4.7%
5:6プロテウス–海馬2.1°1年5.7%
冥王星の衛星系
1:3スティクス–カロン[ 88 ]58.5°0.2年33%
1:4ニクス–カロン[ 88 ] [ 89 ]39.1°0.3年22%
1:5ケルベロス–カロン[ 88 ]9.2°2歳5%
1:6ヒドラ–カロン[ 88 ] [ 89 ]6.6°3歳3.7%
ハウメアの衛星システム
3:8Hiʻiaka – Namaka [ p ]42.5°2歳55%
  1. ^ 周期開始時の位置と比較した、内側の天体の軌道経度の不一致（周期は外側の天体のn周回と定義されます。下記参照）。軌道は円軌道であると仮定されます（つまり、歳差運動は無視されます）。
  2. ^ ランダム化時間とは、天体間の初期の相対的な軌道の経度位置からのずれが180°に拡大するのに必要な時間です。記載されている数値は、最も近い最初の有効数字に丸められています。
  3. ^ n回の試行のうち少なくとも1回は、同じかそれより小さいミスマッチの軌道一致が偶然に得られる 推定確率。ここで、 nは周期あたりの外天体の軌道の整数倍であり、ミスマッチは0°から180°の間でランダムに変化すると仮定する。値は1 − ( 1 − ⁠ ミスマッチ /180°これは、相対的な確率を大まかに把握することのみを目的とした大まかな計算です。
  4. ^ 小さいほど良い: 明らかに共鳴関係が単なるランダムな数字の偶然の並びとして生じる確率が小さいほど、重力相互作用が関係の持続を引き起こす、または関係を延長する/他の破壊的な摂動によって最終的な解消を遅らせるという提案の信憑性が増します。
  5. ^地球と金星に挙げられている 2つのほぼ一致する現象は、243年ごとに繰り返される周期で、8年間隔で発生する金星の太陽面通過のタイミングに反映されている。 [ 74 ] [ 76 ]
  6. ^木星と地球の共鳴度が 1:12 に近いことには、木星と 3:1 の共鳴度を占める (またはそれに近い)アリンダ小惑星が、地球と 1:4 の共鳴度に近づくという 偶然の副作用がある。
  7. ^ 木星と土星の間の共鳴は古くから知られており、伝統的に「大不等式」と呼ばれてきました。これはラプラスが1784年から1789年にかけて発表した一連の論文で初めて記述されました
  8. ^ 現在は消滅した内側の衛星との共鳴がフォボスとデイモスの形成に関与していた可能性が高い。 [ 77 ]
  9. ^パラスとケレスの 固有軌道周期はそれぞれ1684.869日と1681.601日です。
  10. ^パラスの「固有」公転周期 は1684.869 日、木星の公転周期は 4332.59 日です。
  11. ^ 87 シルビアは、複数の衛星を持つことが発見された最初の小惑星である。
  12. ^ この共鳴は過去に占有されていた可能性がある。 [ 82 ]
  13. ^ケンタウロスの いくつかのは、共鳴しないことが求められます。
  14. ^ この共鳴は過去に占有されていた可能性がある。 [ 84 ]
  15. ^ この共鳴は過去に占有されていた可能性がある。 [ 85 ]
  16. ^ ハウメア系の結果はあまり意味がありません。なぜなら、計算に暗黙的に含まれている仮定に反して、ナマカは離心率の高い非ケプラー軌道を持ち、急速に歳差運動をしているからです（下記参照）。ヒイアカとナマカは、示されているよりも3:8共鳴にずっと近く、実際に共鳴状態にある可能性もあります。 [ 90 ]

リストの中で最も可能性の低い軌道相関関係、つまり単なる偶然ではない可能性が最も高い関係は、イオとメティスの関係であり、続いてロザリンドとコーデリア、パラスとケレス、木星とパラス、カリストとガニメデ、ヒドラとカロンの関係となっている。

過去の平均運動共鳴の可能性

木星と土星の過去の共鳴は、太陽系の初期の歴史において劇的な役割を果たした可能性がある。ニースのコート・ダジュール天文台のアレサンドロ・モルビデリによる2004年のコンピュータモデルは、木星と土星の1:2の共鳴は、微惑星との相互作用によってそれぞれ内側と外側への移動を引き起こしたために形成されたと示唆した。モデルでは、これにより天王星と海王星の両方をより高い軌道に押し上げる重力が生成され、いくつかのシナリオではそれらの場所が入れ替わり、海王星の太陽からの距離が2倍になったと考えられる。海王星が外側に移動したときに結果として生じたプロトカイパーベルトからの天体の放出は、太陽系形成から6億年後の後期重爆撃と木星のトロヤ群小惑星の起源を説明できる可能性がある。[ 91 ]海王星の外向きの移動は、カイパーベルト内のいくつかの共鳴（特に2:5共鳴）の現在の占有を説明することもできるかもしれない。

土星の中型衛星ディオネとテティスは現在、正確な共鳴にはほど遠いものの、太陽系の初期には2:3の共鳴状態にあった可能性がある。この共鳴状態は軌道離心率と潮汐加熱をもたらし、テティス内部を温めて地下海を形成した可能性がある。その後、衛星が共鳴状態から脱却した後、海が凍結したことで、テティスにイサカ・カズマの巨大な地溝系を形成する伸張応力が生じた可能性がある。[ 82 ]

天王星の衛星系は、木星や土星の衛星系とは大きく異なり、大きな衛星間で正確な共鳴が見られないのに対し、木星（4つのうち3つ）と土星（8つのうち6つ）の大きな衛星の大半は平均運動共鳴している。3つの衛星系すべてにおいて、衛星は過去に潮汐力散逸により軌道がシフトした際に平均運動共鳴に取り込まれた可能性が高い。潮汐力散逸とは、衛星が主星の自転エネルギーを犠牲にして軌道エネルギーを獲得するプロセスで、内側の衛星に不均衡な影響を与える。しかし、天王星系では、惑星の扁平度が低く、衛星の相対的なサイズが大きいため、平均運動共鳴からの脱出ははるかに容易である。主星の扁平度が低いと、重力場が変化し、異なる共鳴の可能性のある間隔がより密接に配置される。衛星の相対的なサイズが大きいほど、それらの相互作用は強くなる。これらの要因はいずれも、平均運動共鳴点またはその近傍において、よりカオス的な軌道挙動を引き起こす。共鳴からの離脱は、二次共鳴点への捕捉、および／または潮汐力による軌道離心率または軌道傾斜角の増加と関連している可能性がある。

天王星系にかつて存在したと考えられる平均運動共鳴には、(3:5) アリエル-ミランダ、(1:3) ウンブリエル-ミランダ、(3:5) ウンブリエル-アリエル、(1:4) チタニア-アリエルがある。[ 85 ] [ 84 ]このような過去の共鳴の証拠には、天王星の内側の衛星の軌道の比較的高い離心率と、ミランダの異常に高い軌道傾斜角がある。(1:3) ウンブリエル-ミランダと(1:4) チタニア-アリエル共鳴に関連する過去の高い軌道離心率は、それぞれミランダとアリエルの内部の潮汐加熱につながった可能性がある[ 92 ]。ミランダはおそらく二次共鳴によってウンブリエルとの共鳴から逃れたと考えられており、この脱出のメカニズムは、その軌道傾斜角が他の通常の天王星の衛星（天王星の天然衛星を参照）の10倍以上である理由を説明すると考えられている。[ 93 ] [ 94 ]

ミランダの場合と同様に、木星の衛星アマルテアとテーベの現在の傾斜は、それぞれイオとの3:1共鳴と4:2共鳴を通過した過去の兆候であると考えられています。[ 95 ]

海王星の通常の衛星であるプロテウスとラリサは、数億年前に1:2の共鳴状態を通過したと考えられています。プロテウスは同期軌道の外側にあり、ラリサは同期軌道内にあるため、両衛星はそれ以来互いに離れてきました。共鳴状態を通過したことで、両衛星の離心率はその後も完全には減衰していない程度にまで上昇したと考えられています。[ 86 ] [ 87 ]

冥王星の衛星の場合、現在の近傍共鳴は、カロンの軌道離心率の潮汐減衰によって中断された以前の精密共鳴の名残であると考えられています（詳細は冥王星の天然衛星を参照）。近傍共鳴は、冥王星-カロン間の重力場の15%の局所的変動によって維持されている可能性があります。したがって、これらの近傍共鳴は偶然の一致ではない可能性があります。

準惑星ハウメアの小さい方の内側の衛星ナマカは、大きい方の外側の衛星ヒイアカの10分の1の質量である。ナマカは、偏心した非ケプラー軌道でハウメアの周りを18日で公転し、2008年の時点でヒイアカから13度傾いている。[ 90 ]システムのタイムスケールでは、ナマカは潮汐減衰を受けてより円軌道に近い軌道になっているはずだった。しかし、潮汐減衰によりハウメアから外側に移動するにつれて軌道が収束したため、より質量の大きいヒイアカとの共鳴によって乱されたようだ。これらの衛星は、何度か軌道共鳴に巻き込まれ、それから抜け出した可能性がある。おそらく比較的最近になって3:1共鳴を通過し、現在は8:3共鳴か少なくともそれに近い状態にある。ナマカの軌道は大きく乱されており、現在の歳差運動は年間約-6.5°である。[ 90 ]

参照

注記

  1. ^この共鳴の性質は（秤動や歳差運動のような微妙な要素を無視すれば）、軌道周期から以下のように大まかに得ることができる。Showalter et al. , 2019, [ 38 ]によると、ナイアッド（Pn）とタラッサ（Pt）の周期はそれぞれ 0.294396 日と 0.311484 日である。これらから、合の周期は 5.366 日（1/[1/Pn – 1/Pt]）と計算でき、これはナイアッドの軌道 18.23 周（≈ 18.25）とタラッサの軌道 17.23 周（≈ 17.25）にあたる。したがって、4 回の合周期後には、ナイアッドの軌道 73 周とタラッサの軌道 69 周が経過し、元の構成に戻ることになる。

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