リー・コルチン定理

数学において、リー・コルチンの定理は線型代数群の表現論における定理です。リーの定理は線型リー代数の類似物です。

これは、Gが代数的に閉じた体上に定義された連結かつ可解な線型代数群であり、

${\displaystyle \rho \colon G\to GL(V)}$

非零有限次元ベクトル空間V上の表現ならば、 Vの1次元線型部分空間Lが存在し、

${\displaystyle \rho (G)(L)=L.}$

つまり、ρ( G ) は不変直線Lを持ち、したがってG は1次元表現を通してその直線 L に作用する。これは、V がすべての に対して共通（同時）固有ベクトルとなる非零ベクトルvを含むという主張と同値である。 ${\displaystyle \rho (g),\,\,g\in G}$

連結かつ可解な線型代数群Gのすべての既約有限次元表現は次元 1 を持つことが直接的に証明されます。実際、これはリー・コルチンの定理を別の言い方で述べたものです。

リー代数に対する結果はソフス・リー （1876年）によって証明され、代数群に対する結果はエリス・コルチン （1948年、p.19）によって証明された。

ボレルの不動点定理はリー・コルチンの定理を一般化したものです。

三角化

この定理は、帰納法によりVの適切な基底に関して像が三角形状を持つことが示されるため、リー・コルチンの三角形化定理と呼ばれることもあります。言い換えると、像群は GL( n , K ) (ここでn = dim V )において、上三角行列の群 T の部分群、つまり GL( n , K )の標準ボレル部分群と共役です。つまり、像は同時に三角形化可能です。 ${\displaystyle \rho (G)}$ ${\displaystyle \rho (G)}$

この定理は、特に半単純線型代数群Gのボレル部分群に適用される。

反例

体Kが代数的に閉じていない場合、定理は成り立たない。標準単位円は、絶対値1の複素数 の集合として見ると、実数上の1次元可換（したがって可解）線型代数群であり、これは不変（実）直線を持たない特殊直交群SO(2)への2次元表現を持つ。ここでの像は直交行列である。${\displaystyle \{x+iy\in \mathbb {C} \mid x^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle \rho (z)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}.}$

参考文献

• Gorbatsevich, VV (2001) [1994]、「リー＝コルチン定理」、数学百科事典、EMS Press
• Kolchin, ER (1948)、「代数的行列群と同次線型常微分方程式のピカール・ヴェシオ理論」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、49 (1): 1– 42、doi : 10.2307/1969111、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969111、MR  0024884、Zbl  0037.18701
• Lie、Sophus ( 1876)、「Theorie der Transformationsgruppen. Abhandlung II」、Archiv for Mathematik og Naturvidenskab、1 : 152–193
• ウォーターハウス、ウィリアム・C. (2012) [1979]、「10. 冪零群と可解群 §10.2 リー＝コルチン三角化定理」、アフィン群スキーム入門、数学大学院テキスト、第66巻、シュプリンガー、pp.  74– 75、ISBN 978-1-4612-6217-6