光円錐座標

物理学、特に特殊相対性理論において、ポール・ディラック^{[ 1 ]}によって導入され、ディラック座標としても知られる光円錐座標は、2つの座標軸が空間と時間の両方を組み合わせ、その他はすべて空間である特殊な座標系です。

モチベーション

時空平面は、単位双曲線の要素が作用してローレンツブーストをもたらす、分割複素数平面と関連付けられる場合がある。この数平面は時間と空間に対応する軸を持つ。別の基底として、光円錐座標に対応する対角基底がある。

特殊相対論における光円錐座標

光円錐座標系では、2つの座標が零ベクトルであり、他のすべての座標は空間座標である。前者は および と表記され、後者は と表記される。 ${\displaystyle x^{+}}$ ${\displaystyle x^{-}}$ ${\displaystyle x_{\perp}}$

(d,1) ロレンツ署名を扱っていると仮定します。

標準座標系（アインシュタイン表記法を使用） の代わりに

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}$ 、

私たちは持っている ${\displaystyle i,j=1,\dots ,d}$

${\displaystyle ds^{2}=-2dx^{+}dx^{-}+\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}}$

、および を使用します。 ${\displaystyle i,j=1,\dots ,d-1}$ ${\displaystyle x^{+}={\frac {t+x}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle x^{-}={\frac {tx}{\sqrt {2}}}}$

と はどちらも「時間」座標として機能する。^{[ 2 ] : 21} ${\displaystyle x^{+}}$ ${\displaystyle x^{-}}$

光円錐座標の優れた点の 1 つは、因果構造が座標系自体に部分的に含まれていることです。

平面でのブーストはスクイーズマッピング、、として現れます。平面での回転はにのみ影響します。 ${\displaystyle (t,x)}$ ${\displaystyle x^{+}\to e^{+\beta }x^{+}}$ ${\displaystyle x^{-}\to e^{-\beta }x^{-}}$ ${\displaystyle x^{i}\to x^{i}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle x_{\perp}}$

放物型変換は、、、として表示されます。放物型変換の別のセットは、、およびとして表示されます。 ${\displaystyle x^{+}\to x^{+}}$ ${\displaystyle x^{-}\to x^{-}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{+}}$ ${\displaystyle x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{+}}$ ${\displaystyle x^{+}\to x^{+}+\delta _{ij}\alpha ^{i}x^{j}+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}x^{-}}$ ${\displaystyle x^{-}\to x^{-}}$ ${\displaystyle x^{i}\to x^{i}+\alpha ^{i}x^{-}}$

光円錐座標は、一般相対論における曲がった時空にも一般化できます。光円錐座標を用いることで計算が簡素化される場合もあります。ニューマン・ペンローズ形式論を参照してください。光円錐座標は、特に相対速度が光速に非常に近い場合、相対論的な衝突を記述するために使用されることがあります。また、弦理論の 光円錐ゲージにも用いられます。

弦理論における光円錐座標

閉じた弦は粒子の一般化である。弦上の点の空間座標は、からまで変化するパラメータ によって便宜的に記述される。時間はパラメータ によって適切に記述される。D次元時空における弦上の各点を座標と横座標と関連付けると、これらの座標は次元場の理論における場の役割を果たす。明らかに、このような理論にはそれ以上のものが求められる。 と の代わりに、次式で表される 光円錐座標を用いると便利である。${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle x_{0},x}$ ${\displaystyle x_{i},i=2,...,D}$ ${\displaystyle 1+1}$ ${\displaystyle x_{0}=\sigma _{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\pm}}$

${\displaystyle x_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(x_{0}\pm x)}$

したがって、この計量は次のように与えられる。 ${\displaystyle ds^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=2dx_{+}dx_{-}-(dx_{i})^{2}}$

（上の和は理解済み）。ゲージ自由度が存在する。まず、この自由度を時間変数として設定し、扱うことができる。再パラメータ化不変性は、計量から得られる 制約条件、すなわち${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{+}=\sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma \rightarrow \sigma +\delta \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}=0}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\frac {dx_{-}}{d\sigma }}-{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}=0.}$

したがって、はもはや独立した自由度ではない。ここで、は対応するノイマン電荷と同一視できる。 を考えてみよう。そして、とについてオイラー・ラグランジュ方程式を用いると、 次式が得られる 。${\displaystyle x_{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}(x_{-},x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{-}}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}{\bigg (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}\delta x_{i}+\delta x_{-}{\bigg )}.}$

これを

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{0}={\frac {\partial }{\partial \sigma }}(Q\delta \sigma ),}$

ノイマン電荷は どこにあるかによって次式が得られます。${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{0}}{\partial (\partial x_{i}/\partial \sigma )}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}=-{\frac {dx_{i}}{d\sigma _{0}}}{\frac {\delta x_{i}}{\delta \sigma }}+{\frac {\delta x_{-}}{\delta \sigma }}={\mathcal {L}}_{0}.}$

この結果は文献で引用された結果と一致している。^{[ 3 ]}

光円錐座標における自由粒子の運動

質量を持つ自由粒子の場合、作用は ${\displaystyle m}$

${\displaystyle S=\int {\mathcal {L}}d\sigma ,\;\;\;{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}{\bigg [}{\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }}{\frac {dx_{\mu }}{d\sigma }}+m^{2}{\bigg ]}.}$

光円錐座標では、時間変数として 次のようになります。${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \sigma =x_{+}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {dx_{-}}{d\sigma }}+{\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {dx_{i}}{d\sigma }}{\bigg )}^{2}-{\frac {m^{2}}{2}}.}$

標準的な運動量は

${\displaystyle p_{-}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{-}/d\sigma )}}=-1,\;\;\;p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (dx_{i}/d\sigma )}}={\frac {dx_{i}}{d\sigma }}.}$

ハミルトニアンは（）である： ${\displaystyle \hbar =c=1}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\dot {x}}_{-}p_{-}+{\dot {x}}_{i}p_{i}-{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}p_{i}^{2}+{\frac {1}{2}}m^{2},}$

非相対論的ハミルトン方程式は次を意味します。

${\displaystyle x_{i}(\sigma )=p_{i}\sigma +{\it {const.}}.}$

これを自由文字列に拡張できるようになりました。

参照

• ニューマン・ペンローズ形式

参考文献

1. ディラック, PAM (1949年7月1日). 「相対論的力学の形態」 .現代物理学レビュー. 21 (392): 392– 399. Bibcode : 1949RvMP...21..392D . doi : 10.1103/RevModPhys.21.392 .
2. ツヴィーバッハ、バートン(2004). 『弦理論入門』 ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-511-21115-7. OCLC  560236176 .
3. L. SusskindとJ. Lindesay、「ブラックホール、情報、そして弦理論革命」、World Scientific (2004)、 ISBN 978-981-256-083-4、163ページ。