関数の極限

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

関数⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$ はゼロで定義されていませんが、x がゼロに近づくにつれて、⁠ ⁠ は${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$ 任意に 1 に近づきます。言い換えると、x がゼロに近づくにつれて、 ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}},}$ の極限は1 に等しくなります。

数学において、関数の極限とは、関数の 定義域内にあるかどうかに関わらず、特定の入力付近での関数の挙動に関する微積分学および解析学の基本的な概念です。

19世紀初頭に初めて考案された正式な定義を以下に示します。非公式には、関数fはすべての入力xに対して出力f ( x )を割り当てます。関数 f が入力pにおいて極限Lを持つとするとは、x がpに近づくにつれてf ( x )がLに近づくことを意味します。より具体的には、 fへの入力をpに十分近づければ、出力値をLに任意に近づけることができます。一方、pに非常に近い入力から一定の距離だけ離れた出力が得られる場合、極限は存在しないといえます。

極限の概念は、現代微積分学において多くの応用があります。特に、連続性の多くの定義は極限の概念を用いています。大まかに言えば、関数が連続であるとは、そのすべての極限が関数の値と一致する場合です。極限の概念は、微分の定義にも現れます。一変数微積分学において、これは関数のグラフにおける割線の傾きの極限値です。

歴史

関数の極限という現代的な概念は、17世紀と18世紀の微積分学の発展において暗黙のうちに存在していたものの、1817年に連続関数を定義するためのイプシロン・デルタ法（下記の(ε, δ)極限定義を参照）の基礎を導入したベルナルド・ボルツァーノに遡る。しかし、彼の研究は生前は知られていなかった。^{[ 1 ]}ブルース・プルシアウは、アイザック・ニュートンが1687年に著した『プリンキピア』において、イプシロンの議論を初めて提示した人物であることを含め、一般に認められているよりも洗練された極限の理解を示していると主張している。^{[ 2 ] [ 3 ]}

1821年に出版された著書『分析の授業』で、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは可変量、微小量、極限について論じ、xの微小変化は必然的にyの微小変化をもたらすとして の連続性を定義したが、グラビナーは証明において厳密なイプシロンデルタ定義を用いたと主張している。^{[ 4 ]} 1861年に、カール・ヴァイエルシュトラスは、今日一般的に書かれている形で、極限のイプシロンデルタ定義を初めて導入した。^{[ 5 ]}彼はまた、 とという表記法も導入した。^{[ 6 ]}${\displaystyle y=f(x)}$ ${\textstyle \lim }$ ${\textstyle \textstyle \lim \limits _{x\to x_{0}}.\displaystyle }$

極限記号の下に矢印を置くという現代の記法は、GHハーディが1908年に著した『純粋数学講座』で導入されたものである。^{[ 7 ]}

モチベーション

グラフy = f ( x )で表される地形の上を歩いている人を想像してみてください。水平位置はxで表され、これは地図やGPS（全地球測位システム）で示される位置と似ています。高度は座標yで表されます。人がx = pの位置に向かって歩いているとします。この点に近づくにつれて、高度が特定の値Lに近づいていくことに気づくでしょう。 x = pに対応する高度について尋ねられた場合、人はy = Lと答えるでしょう。

では、高度がLに近づいているとはどういう意味でしょうか？それは、高度がLにどんどん近づいていることを意味します。ただし、精度にわずかな誤差が生じる可能性はあります。例えば、旅行者に対して特定の精度目標を設定したとします。それは、Lから10メートル以内に入らなければならないというものです。旅行者は、確かにLから垂直方向に10メートル以内に入ることができると報告し、 pから水平方向に50メートル以内に入っている限り、高度は常にLから10メートル以内であると主張します。

次に、精度の目標が変更されます。垂直方向に 1 メートル以内に到達できますか? はい、 pから水平方向に 5 メートル以内を移動できると仮定すると、高度は常に目標高度Lから 1 メートル以内にとどまります。前述の概念をまとめると、水平位置xがpに近づくにつれて、移動者の高度f ( x )はLに近づくと言えます。つまり、目標精度の目標がどんなに小さくても、 pの近傍が存在し、その中では、水平位置p自体を除いて、すべての要素x'について、目標精度の目標が高度f' ( x )によって満たされると言えます。

最初の非公式な声明は次のように説明できます。

x がpに近づくときの関数f ( x )の極限は、次の特性を持つ数Lです。L からの任意の目標距離が与えられた場合、 f ( x )の値が目標距離内に留まるpからの距離が存在します。

実際、この明示的な記述は、位相空間内の値を持つ関数の極限の正式な定義に非常に近いものです。

より具体的に言うと、 xをpに十分近づけるが等しくしない ことで、f ( x )をLに望むだけ近づけることができる ということです。^{[ 8 ]}$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$

以下の定義は( ε , δ )定義として知られ、さまざまなコンテキストにおける関数の極限の定義として一般的に受け入れられています。

単一変数の関数

( ε , δ ) - 極限の定義

図示したf、a、bについて、 x を十分に小さい区間 ( a – δ, a + δ ) に制限することで、 f ( x ) の値が任意の小さい区間 ( b – ε, b + ε )内に収まることを保証できます。したがって、 x → aのときf ( x ) → bとなります。

実数直線上で定義された関数で、2つの実数pとLがあるとする。「 xがpに近づくにつれて、fの極限が存在し、それはLに等しい」と述べて、^{[ 9 ]}と書く か、あるいは「f ( x ) はx がpに近づくにつれてLに近づく」と述べて、 次の性質が成り立つと書く 。すべての実数ε > 0に対して、実数δ > 0が存在し、すべての実数xに対して、0 < | x − p | < δであるとき、 | f ( x ) − L | < εが成り立つ。^{[ 9 ]}記号的に言えば、 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$$ $${\displaystyle f(x)\to L{\text{ as }}x\to p,}$$ $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

たとえば、 すべての実数ε > 0に対してδ = ε /4とすることができるので、すべての実数xに対して、0 < | x − 2 | < δであれば、| 4 x + 1 − 9 | < εとなると言えます。 $${\displaystyle \lim _{x\to 2}(4x+1)=9}$$

実数直線の部分集合上に定義された関数には、より一般的な定義が適用されます。Sを⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} .}$ の部分集合とします。を実数値関数とします。pを、pを含む開区間( a , b )が存在する点とします。この場合、 x がpに近づくにつれてfの極限がLであるとは、次の式が成り立つことを意味します。 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,p)\cup (p,b)\subset S.}$

あらゆる実数ε > 0に対して、すべてのx ∈ ( a , b )に対して0 < | x − p | < δであるとき、| f ( x ) − L | < ε が成り立つような実数δ > 0が存在する。

象徴的に言えば、 $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

例えば、 すべての実数ε > 0に対してδ = εとすることができるので、すべての実数x ≥ −3に対して、0 < | x − 1 | < δであれば、| f ( x ) − 2 | < εが成り立つと言える。この例では、S = [−3, ∞)には点 1 の周りの開区間（例えば区間 (0, 2)）が含まれる。 $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\sqrt {x+3}}=2}$$

ここで、極限の値はpにおけるfの定義や、 f ( p )の値（定義されている場合）に依存しないことに注意してください。例えば、ε > 0 の任意の値に対してδ = ε /2とすることができるので、すべての実数x ≠ 1に対して、0 < | x − 1 | < δであれば、| f ( x ) − 3 | < εとなります。ここでf (1)は未定義であることに注意してください。 ${\displaystyle f:[0,1)\cup (1,2]\to \mathbb {R} 、f(x)={\tfrac {2x^{2}-x-1}{x-1}}.}$ $${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=3}$$

実際、int SがSの内部点、iso S ^cがSの補集合の孤立点であるような極限が存在する可能性があります。前述の例で特にわかるように、この極限の定義では 1 では極限は存在しますが、0 や 2 では極限は存在しません。 ${\displaystyle \{p\in \mathbb {R} \,|\,\exists (a,b)\subset \mathbb {R} :\,p\in (a,b){\text{ および }}(a,p)\cup (p,b)\subset S\},}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$ ${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2],}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S=(0,1)\cup (1,2),}$ ${\displaystyle \operatorname {iso} S^{c}=\{1\}.}$

εとδ はそれぞれ「誤差」と「距離」と理解できる。実際、コーシーは自身の研究の一部においてε を「誤差」の略語として用いている^{[ 4 ]}が、連続性の定義においてはεやδではなく無限小を用いている（Cours d'Analyse参照）。これらの用語を用いると、極限点における値の測定における誤差 ( ε ) は、極限点までの距離 ( δ ) を小さくすることで、望むだけ小さくすることができる。後述するように、この定義はより一般的な文脈における関数にも適用できる。δとε が距離を表すという考えは、これらの一般化を示唆するのに役立つ。 ${\displaystyle \alpha}$

存在と一方的な限界

としての極限は としての極限とは異なります。したがって、 x → x ₀としての極限は存在しません。${\displaystyle x\to x_{0}^{+}}$ ${\displaystyle x\to x_{0}^{-}.}$

あるいは、xがpの上（右）または下（左）から近づく場合、その極限は次のように表される。

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=L}$$

または

$${\displaystyle \lim _{x\to p^{-}}f(x)=L}$$

最初の 3 つの関数には極限が存在しない点がありますが、関数はでは定義されていませんが、その極限は存在します。$${\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$ ${\displaystyle x=0}$

それぞれ p においてこれらの極限が存在し、かつそれらが等しい場合、これをpにおけるf ( x )の極限と呼ぶことができる。^{[ 10 ]} pにおいて片側極限が存在するが、それらが等しくない場合、 pにおいて極限は存在しない（すなわち、 pにおける極限は存在しない）。どちらかの片側極限がpにおいて存在しない場合、 pにおける極限も存在しない。

正式な定義は以下のとおりです。xが上からpに近づくときのfの極限は、次の条件を満たす場合Lとなります。

すべてのε > 0に対してδ > 0が存在し、0 < x − p < δのときはいつでも| f ( x ) − L | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<xp<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

x が下からpに近づくときのfの極限は、次の場合Lです。

すべてのε > 0に対してδ > 0が存在し、0 < p − x < δのときはいつでも| f ( x ) − L | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in (a,b))\,(0<px<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

限界が存在しない場合は、pにおけるfの振動はゼロ以外になります。

極限点と部分集合を用いたより一般的な定義

制限は、ドメインのサブセットからアプローチすることによっても定義できます。

一般に：^{[ 11 ]}は、ある関数で定義される実数値関数とする。pは、ある関数の極限点、すなわち、pはpとは異なるTの元列の極限とする。このとき、 T内の値からx がpに近づくときのfの極限はLであり、 これは以下の式が成り立つときと記される。 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T\subset S}$ $${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {x\in T}}f(x)=L}$$

すべてのε > 0に対して、 δ > 0が存在し、すべてのx ∈ Tに対して、0 < | x − p | < δであるとき、 | f ( x ) − L | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in T)\,(0<|xp|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

T は、 fの定義域であるSの任意の部分集合にできることに注意してください。また、極限はTの選択に依存する可能性があります。この一般化には、特殊なケースとして、区間の極限、実数値関数の左手極限（たとえば、T を形式(–∞, a )の開区間とみなす）、および右手極限（たとえば、T を形式( a , ∞ ) の開区間とみなす）が含まれます。また、片側極限の概念を（半）閉区間の包含端点に拡張するため、平方根関数は、 x が上から 0 に近づく につれて極限 0 を持つことができます。これは、すべてのε > 0 について、 δ = ε ^{2として、すべての}x ≥ 0について、0 < | x − 0 | < δであれば| f ( x ) − 0 | < εとなるためである。 ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ $${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {x\in [0,\infty )}}{\sqrt {x}}=0}$$

この定義により、同じ極限点を持つ 適切なサブセットTを選択した場合、ドメインSの極限点で限界を定義することができます。

特に、前述の両側定義は、Sの極限点のサブセットであるに対して機能します。 ${\displaystyle \operatorname {int} S\cup \operatorname {iso} S^{c},}$

たとえば、 とします。前の両側定義は では機能しますが、 Sの極限点である 0 または 2 では機能しません。 ${\displaystyle S=[0,1)\cup (1,2].}$ ${\displaystyle 1\in \operatorname {iso} S^{c}=\{1\},}$

削除された制限と削除されていない制限

ここで与えられた極限の定義は、pにおけるfの定義方法（あるいは定義されるかどうか）には依存しない。Bartle ^{[ 12 ]}はこれを削除極限と呼ぶ。これはpにおけるfの値を除外するからである。対応する非削除極限は、 p がfの定義域内にある場合、pにおけるfの値に依存する。実数値関数を とする。x がpに近づくにつれて、fの非削除極限はLとなる。 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$

すべてのε > 0に対して、 δ > 0が存在し、すべてのx ∈ Sに対して、| x − p | < δであれば| f ( x ) − L | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(|x-p|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

定義は同じですが、近傍| x − p | < δが点pを含む点が、近傍0 < | x − p | < δが削除された点とは対照的です。これにより、非削除極限の定義は一般性が低くなります。非削除極限を扱う利点の1つは、関数に制約を与えることなく（非削除極限の存在以外）、合成の極限に関する定理を述べることができることです。 ^{[ 13 ]}

バートル^{[ 12 ]}は、「限界」という言葉で一部の著者は削除されていない限界を意味しているが、削除された限界が最も一般的であると指摘している。^{[ 14 ]}

例

片側限界の非存在

本質的な不連続性における制限のない機能

この関数は x ₀ = 1 では極限がありません(左側の極限は正弦関数の振動特性により存在せず、右側の極限は逆関数の漸近挙動により存在しません。図を参照) が、その他のx座標では極限があります。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\text{ for }}x<1\\0&{\text{ for }}x=1\\[2pt]{\frac {1}{10x-10}}&{\text{ for }}x>1\end{cases}}}$$

この関数 (別名、ディリクレ関数) には、どのx座標でも制限はありません。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

片側極限の非等式

この関数は 、 x座標が 0以外の値を持つ場合、常に極限を持ちます（ xが負の値の場合は極限は1 、 xが正の値の場合は極限は2です）。 x = 0における極限は存在しません（左側の極限は1ですが、右側の極限は2です）。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ for }}x<0\\2&{\text{ for }}x\geq 0\end{cases}}}$$

1点のみに制限

関数 と 関数はどちらもx = 0 に限界があり、0 になります。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}|x|&x{\text{ rational }}\\0&x{\text{ irrational }}\end{cases}}}$$

可算な点における極限

この関数は、 nが任意の整数の形式の任意のx座標 で極限を持ちます。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x&x{\text{ irrational }}\\1&x{\text{ rational }}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+2n\pi ,}$

無限を含む限界

無限の限界

この関数の無限大の極限が存在する

が定義される関数であるとする。xが無限大に近づくときのfの極限はLであり、 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L,}$$

意味:

すべてのε > 0に対して、 c > 0が存在し、+ x > c のときはいつでも、 | f ( x ) − L | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x>c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

同様に、xが負の無限大に近づくときのfの極限はLであり、

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L,}$$

意味:

すべてのε > 0に対して、 c > 0が存在し、x < − cのときはいつでも、 | f ( x ) − L | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(x<-c\implies |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

たとえば、 すべてのε > 0 に対してc = 3/ εをとることができるので、すべての実数xに対してx > cであれば| f ( x ) − 4 | < εとなります。 $${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(-{\frac {3\sin x}{x}}+4\right)=4}$$

もう1つの例として 、すべてのε > 0 に対してc = max{1, −ln( ε )}をとることができるので、すべての実数xに対してx < − cであれば| f ( x ) − 0 | < εとなります。 $${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}$$

無限の限界

値が無限に増加する関数の場合、関数は発散し、通常の極限は存在しません。しかし、この場合には、無限大の値を持つ極限を導入することができます。

が定義される関数であるとする。xがpに近づくにつれてfの極限は無限大となり、 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=\infty ,}$$

意味:

すべてのN > 0に対して、 0 < | x − p | < δのときはいつでもf ( x ) > Nとなるようなδ > 0が存在する。

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)>N).}$$

xがpに近づくにつれてfの極限は負の無限大となり、

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=-\infty ,}$$

意味:

すべてのN > 0に対して、 0 < | x − p | < δのときはいつでもf ( x ) < − Nとなるようなδ > 0が存在する。

$${\displaystyle (\forall N>0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies f(x)<-N).}$$

たとえば、 すべてのN > 0 に対して、すべての実数x > 0に対して0 < x − 1 < δであればf ( x ) > Nとなるので、 $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {1}{(x-1)^{2}}}=\infty }$$ ${\textstyle \delta ={\tfrac {1}{{\sqrt {N}}\delta }}={\tfrac {1}{\sqrt {N}}}}$

これらのアイデアを組み合わせて、次のようなさまざまな組み合わせの定義を作成できます。

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty ,}$$ または${\displaystyle \lim _{x\to p^{+}}f(x)=-\infty .}$

たとえば、 すべてのN > 0 に対してδ = e ^{− N}をとることができるので、すべての実数x > 0に対して、0 < x − 0 < δであればf ( x ) < − N となります。 $${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty }$$

無限を含む極限は漸近線の概念と関連しています。

これらの極限の概念は、無限遠における極限に計量空間的解釈を与えようとするものである。実際、これらの概念は、位相空間における極限の定義と整合している。

• −∞の近傍は、ある⁠ ⁠に対して区間[−∞, c )を含むと定義される。${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$
• ∞の近傍は区間( c , ∞]を含むと定義され、ここで⁠ ⁠${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$ および
• ⁠ ⁠${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ の近傍は通常の方法で距離空間で定義されます⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} .}$

この場合、⁠ ⁠${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ は位相空間であり、 の形をとる任意の関数は極限の位相的定義に従います。この位相的定義を用いると、有限点における無限極限（これは計量的な意味では上で定義されていません）を容易に定義できることに留意してください。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$

代替表記

多くの著者^{[ 15 ]}は、射影的に拡張された実数直線を、拡張された実数直線だけでなく無限値を含める方法として使用できることを認めています。この表記法では、拡張された実数直線は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ と表され、射影的に拡張された実数直線は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ です。ここで、∞ の近傍は、形式のセットです。 利点は、すべてのケースをカバーするのに、極限の 3 つの定義 (左、右、中央) のみが必要であることです。上記のように、完全に厳密な説明のためには、無限大の組み合わせごとに 15 の個別のケースを考慮する必要があります (5 つの方向: −∞、左、中央、右、+∞、3 つの境界: −∞、有限、または +∞)。注目すべき落とし穴もあります。たとえば、拡張された実数直線を使用する場合、 には中心極限がありません (これは正常です)。 ${\displaystyle \{x:|x|>c\}.}$ ${\displaystyle x^{-1}}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty ,\quad \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .}$$

対照的に、射影実数直線を扱う場合、無限大（0 と同様）は符号なしなので、そのコンテキストでは中心極限が存在 します。

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=\lim _{x\to 0}{1 \over x}=\infty .}$$

実際、矛盾する形式体系が数多く用いられています。例えば、数値微分・積分の特定の応用では、符号付きゼロを用いるのが便利です。その理由は単純で、 の逆、つまり が真であると見なすのに都合が良いことに関係しています。このようなゼロは、無限小の近似値と見なすことができます。 ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{x^{-1}}=-\infty ,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{x^{-1}}=-0}$

有理関数の無限遠における極限

y = 4付近の水平漸近線

有理関数 （pとqは多項式） の無限遠における限界を評価するための基本的な規則は 3 つあります。${\displaystyle f(x)={\tfrac {p(x)}{q(x)}}}$

• pの次数がqの次数よりも大きい場合、極限は主係数の符号に応じて正または負の無限大になります。
• pとqの次数が等しい場合、極限はpの最高係数をqの最高係数で割った値になります。
• pの次数がqの次数より小さい場合、極限は 0 になります。

無限遠点の極限が存在する場合、それはy = Lにおける水平漸近線を表します。多項式には水平漸近線はありませんが、有理関数にはそのような漸近線が現れることがあります。

複数の変数を持つ関数

通常の制限

| x − p |が距離を表すことに注意すれば、極限の定義は多変数関数にも拡張できる。で定義された関数の場合、極限は次のように定義される。( x , y )が( p , q )に近づくときのfの極限はLであり、これは次のように表される 。${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=L}$$

次の条件が満たされる場合:

ε > 0に対して、 δ > 0が存在し、Sの任意のxとTの任意のyに対して、| f ( x , y ) − L | < εが成り立つときはいつでも、^{[ 16 ]}${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta ,}$

または正式には： $${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies |f(x,y)-L|<\varepsilon )).}$$

これは( x , y )と( p , q )間のユークリッド距離です。（これは実際には任意のノルム| | ( x , y ) − ( p , q ) | |に置き換えることができ、任意の数の変数に拡張できます。） ${\textstyle {\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}}$

たとえば、 すべてのε > 0 に対して、すべての実数x ≠ 0および実数y ≠ 0に対して、| f ( x , y ) − 0 | < εとなるようにすることができるため、次のように言えます。 $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}=0}$$ ${\textstyle \delta ={\sqrt {\varepsilon }}}$ ${\textstyle 0<{\sqrt {(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}}<\delta ,}$

単一変数の場合と同様に、この極限の定義では、 ( p、q )におけるfの値は重要ではありません。

このような多変数極限が存在するためには、この定義は、 fの値が( p , q )に近づくあらゆる可能な経路に沿ってL に近づくことを必要とする。^{[ 17 ]}上記の例では、関数は この条件を満たしている。これは、 次式を与える 極座標 を考えるとわかる。 ここで、 θ = θ ( r )はrの関数であり、 f が( p , q )に近づく経路の形状を制御する。cos θは [−1, 1] の間に制限されるため、サンドイッチ定理により、この極限は 0 に近づく。 $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{4}}{x^{2}+y^{2}}}}$$ $${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )\to (0,0),}$$ $${\displaystyle \lim _{r\to 0}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=\lim _{r\to 0}{\frac {r^{4}\cos ^{4}\theta }{r^{2}}}=\lim _{r\to 0}r^{2}\cos ^{4}\theta .}$$

対照的に、関数は (0, 0) に極限を持たない。経路( x , y ) = ( t , 0) → (0, 0)をとると、 経路( x , y ) = ( t , t ) → (0, 0)をとると、 $${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,0)=\lim _{t\to 0}{\frac {0}{t^{2}}}=0,}$$ $${\displaystyle \lim _{t\to 0}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}.}$$

2つの値が一致しないため、( x , y )が(0, 0)に近づくにつれて、 fは単一の値にはなりません。

複数の制限

あまり一般的ではありませんが、多変数関数には多重極限と呼ばれる別の種類の極限があります。2変数関数の場合、これは二重極限です。^{[ 18 ]}を で定義すると、xがpに近づき、yがqに近づくにつれてfの二重極限はLとなり、次 のように書き表されます。${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S\times T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle \lim _{{x\to p} \atop {y\to q}}f(x,y)=L}$$

次の条件が満たされる場合:

ε > 0に対してδ > 0が存在し、SのすべてのxとTのすべてのyに対して、0 < | x − p | < δかつ0 < | y − q | < δのときはいつでも、 | f ( x , y ) − L | < εが成り立つ。^{[ 18 ]}

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((0<|x-p|<\delta )\land (0<|y-q|<\delta )\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

このような二重極限が存在するためには、この定義によれば、 x = p と y = q の2つの直線を除く、 ( p , q ) に近づくあらゆる可能な経路において f の値がLに近づく必要があります。結果として、多重極限は通常の極限よりも弱い概念です。つまり、通常の極限が存在しLに等しい場合、多重極限も存在しLに等しくなります。逆は成り立ちません。多重極限の存在は、通常の極限の存在を意味しません。 が 存在しない 例を考えてみましょう 。 $${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \lim _{{x\to 0} \atop {y\to 0}}f(x,y)=1}$$ $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)}$$

fの定義域が に制限されると、 2つの極限の定義は一致する。^{[ 18 ]}${\displaystyle (S\setminus \{p\})\times (T\setminus \{q\}),}$

無限遠における多重極限

多重極限の概念は、一変数関数の場合と同様に、無限遠における極限まで拡張できる。fのxとy が無限遠に近づくときの二重極限はLであり、次の ように表される。${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle \lim _{{x\to \infty } \atop {y\to \infty }}f(x,y)=L}$$

次の条件が満たされる場合:

すべてのε > 0に対して、 c > 0が存在し、SのすべてのxとTのすべてのyに対して、x > cおよびy > cのときはいつでも、 | f ( x , y ) − L | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x>c)\land (y>c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

xとyが負の無限大に近づくときのfの二重極限はLで、次のように 表される。$${\displaystyle \lim _{{x\to -\infty } \atop {y\to -\infty }}f(x,y)=L}$$

次の条件が満たされる場合:

すべてのε > 0に対して、 c > 0が存在し、x がSに、y がTに存在し、x < − cかつy < − cのときはいつでも、 | f ( x , y ) − L | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists c>0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,((x<-c)\land (y<-c)\implies |f(x,y)-L|<\varepsilon ).}$$

点ごとの極限と一様極限

とします。極限を( x , y ) → ( p , q )とするのではなく、1変数の極限、つまりx → pとすることで、yの1変数関数、すなわち を得ることを考えてみましょう。実際には、この極限処理は2つの異なる方法で行うことができます。1つ目は点ごとの極限と呼ばれます。x がpに近づくにつれてfの点ごとの極限はgであり、 またはと 表記されます。${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} .}$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y),}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{pointwise}}.}$$

あるいは、 xがpに近づくにつれて、 fがgに近づくとも言える。 これは、$${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$ $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{pointwise}}\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

この制限は、次の条件が満たされる場合に存在します。

Tにおける任意のε > 0と任意の固定されたyに対して、 δ ( ε , y ) > 0が存在し、 Sにおける任意のxに対して、0 < | x − p | < δ のときはいつでも、 | f ( x , y ) − g ( y ) | < εが成り立つ。^{[ 19 ]}

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\forall y\in T)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

ここで、δ = δ ( ε , y )はεとyの両方の関数です。各δはyの特定の点に対して選択されます。したがって、極限はyの点単位であると言えます。例えば、 は定数零関数の点単位の極限を持ちます 。これは、任意の固定されたyに対して、極限が明らかに 0 である ためです。この議論はyが固定されていない場合には成り立ちません。つまり、yがπ /2に非常に近い場合、分数の値は 0 から逸脱する可能性があります。 $${\displaystyle f(x,y)={\frac {x}{\cos y}}}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{pointwise}}}$$

このことから、極限の別の定義、すなわち一様極限が導かれる。T上のfのxがpに近づくときの一様極限はgであり、 または $${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T.}$$

あるいは、 xがpに近づくにつれて、 T上でfが一様にgに近づくとも言える。これ は、$${\displaystyle f(x,y)\rightrightarrows g(y)\;{\text{on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p,}$$ $${\displaystyle f(x,y)\to g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T\;\;{\text{as}}\;\;x\to p.}$$

この制限は、次の条件が満たされる場合に存在します。

ε > 0に対してδ ( ε ) > 0が存在し、SのすべてのxとTのすべてのyに対して、0 < | x − p | < δ のときはいつでも、 | f ( x , y ) − g ( y ) | < εが成り立ちます。^{[ 19 ]}

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

ここで、δ = δ ( ε )はεのみの関数であり、y の関数ではありません。言い換えれば、δはT内のすべてのyに一様に適用されます。したがって、この極限はyにおいて一様であると言えます。例えば、 は定数ゼロ関数の一様極限を持ちます 。これは、すべての実数y に対して、cos y は[−1, 1]の範囲に収まるためです。したがって、 yの振る舞いに関わらず、サンドイッチ定理を用いて極限が 0 であることを示すことができます。 $${\displaystyle f(x,y)=x\cos y}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,y)=0(y)\;\;{\text{ uniformly on}}\;\mathbb {R} }$$

反復限界

一つの変数、例えばx → pの極限をとってyの一変数関数、すなわちを得て、次にもう一つの変数、つまりy → qの極限をとって数Lを得ることを考えてみましょう。記号的に言えば、 ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle g:T\to \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)=\lim _{y\to q}g(y)=L.}$$

この極限は多変数関数の反復極限として知られている。 ^{[ 20 ]}極限をとる順序は結果に影響を与える可能性がある。すなわち、

$${\displaystyle \lim _{y\to q}\lim _{x\to p}f(x,y)\neq \lim _{x\to p}\lim _{y\to q}f(x,y)}$$ 一般的に。

等式の十分な条件はムーア・オズグッド定理によって与えられ、この定理はT上で極限が均一であることを要求する。^{[ 21 ]}${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)}$

距離空間上の関数

MとN がそれぞれ計量空間AとBの部分集合であるとし、f ​​ : M → NがMとNの間で定義され、x ∈ M、p がMの極限点、L ∈ Nであるとする。x がpに近づくときのfの極限はLであり、次のように書くこと ができる。

$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L}$$

次の特性が成り立つ場合:

ε > 0に対してδ > 0が存在し、すべての点x ∈ Mに対して0 < d _A ( x , p ) < δが成り立つとき、 d _B ( f ( x ), L ) < εが成り立つ。^{[ 22 ]}

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in M)\,(0<d_{A}(x,p)<\delta \implies d_{B}(f(x),L)<\varepsilon ).}$$

もう一度、p がfの定義域内にある必要はなく、 L がfの範囲内にある必要はなく、 f ( p )が定義されている場合でもLと等しい必要はないことに注意してください。

ユークリッド計量

ユークリッド空間における極限は、ベクトル値関数の極限を直接一般化したものである。例えば、となる 関数を考える。 すると、通常のユークリッド計量のもとで、 以下が成り立つとする。 ${\displaystyle f:S\times T\to \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle f(x,y)=(f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y)).}$$ $${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}f(x,y)=(L_{1},L_{2},L_{3})}$$

ε > 0 の任意の値に対して、 δ > 0が存在し、Sの任意のxとTの任意のyに対して、^{[ 23 ]}が成り立つ。${\textstyle 0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta }$ ${\textstyle {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(\forall y\in T)\,\left(0<{\sqrt {(x-p)^{2}+(y-q)^{2}}}<\delta \implies {\sqrt {(f_{1}-L_{1})^{2}+(f_{2}-L_{2})^{2}+(f_{3}-L_{3})^{2}}}<\varepsilon \right).}$$

この例では、対象となる関数は有限次元ベクトル値関数です。この場合、ベクトル値関数の極限定理は、各成分に極限が存在する場合、ベクトル値関数の極限は、各成分を極限から取ったベクトルに等しいと述べています。^{[ 23 ]}$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (p,q)}{\Bigl (}f_{1}(x,y),f_{2}(x,y),f_{3}(x,y){\Bigr )}=\left(\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{1}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{2}(x,y),\lim _{(x,y)\to (p,q)}f_{3}(x,y)\right).}$$

マンハッタンメトリック

ユークリッド空間以外の空間も考えてみましょう。例えば、マンハッタン空間が挙げられます。となる 空間を考えてみましょう。 すると、マンハッタン計量のもとで、 以下が成り立つとします。 ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x)).}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=(L_{1},L_{2})}$$

すべてのε > 0に対して、 δ > 0が存在し、S内のすべてのxに対して、0 < | x − p | < δの場合には| f ₁ − L ₁ | + | f ₂ − L ₂ | < εが成り立ちます。

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies |f_{1}-L_{1}|+|f_{2}-L_{2}|<\varepsilon ).}$$

これも有限次元ベクトル値関数なので、上記の極限定理も適用される。^{[ 24 ]}

均一メトリック

最後に、無限次元の関数空間における極限について議論する。関数空間における関数f ( x , y )を考える。xがpに近づくにつれて、f ( x , y )が関数空間にある別の関数g ( y )にどう近づくかを調べたい。この関数空間における「近さ」は、一様計量^{[ 25 ]}によって測定できる。そして、xがpに近づくにつれて、Tにおけるfの一様極限はgであるとし、 または ${\displaystyle S\times T\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle T\to \mathbb {R} .}$ $${\displaystyle {\underset {{x\to p} \atop {y\in T}}{\mathrm {unif} \lim \;}}f(x,y)=g(y),}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x,y)=g(y)\;\;{\text{uniformly on}}\;T,}$$

次の条件が成り立つ場合:

あらゆるε > 0に対して、 δ > 0が存在し、S内のすべてのxに対して、0 < | x − p | < δであるので、${\displaystyle \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon .}$

$${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in S)\,(0<|x-p|<\delta \implies \sup _{y\in T}|f(x,y)-g(y)|<\varepsilon ).}$$

実際、この定義は、前のセクションで紹介した多変数関数の均一極限の定義と同等であることがわかります。

位相空間上の関数

とがハウスドルフ空間を持つ位相空間であるとする。が の極限点、 が であるとする。関数 に対して、が に近づくときのの極限はと書かれる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega \subseteq X}$ ${\displaystyle L\in Y}$ ${\displaystyle f:\Omega \to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=L,}$

次の特性が成り立つ場合:

のすべての開近傍 に対して、となる の開近傍が存在する。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(U\cap \Omega -\{p\})\subseteq V}$

定義の最後の部分は、「となるようなの開穴近傍 が存在する」と表現することもできます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(U\cap \Omega )\subseteq V}$

の定義域はを含む必要はありません。含む場合、におけるの値は極限の定義とは無関係です。特に、 の定義域が(または 全体)である場合、としての の極限が存在し、 Lに等しいのは、極限点 を持つXのすべての部分集合Ωに対して、 のΩへの制限の極限が存在し、 Lに等しい場合です。この基準は、片側極限が存在しないか一致しないことを示すことによって、⁠ ⁠上の関数の両側極限が存在しないことを証明するために使用されることがあります。このような見方は一般位相幾何学の分野では基本的なもので、ある点における極限と連続性は、フィルタと呼ばれる部分集合の特別な族、またはネットとして知られる一般化シーケンスによって定義されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\to p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

あるいは、ハウスドルフ空間であるという条件を、一般位相空間であるという仮定に緩和することもできるが、その場合、関数の極限は一意ではなくなる可能性がある。特に、ある点における関数の極限について語ることはできなくなり、ある点における 極限、あるいは極限の集合について語ることになる。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

関数がその定義域の の極限点で連続である場合、かつ がに近づくときの（または、一般には）の極限である場合に限ります。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(p)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

関数の極限には、別の種類として、順次極限があります。位相空間Xからハウスドルフ空間Yへの写像をXの極限点、L ∈ Yとします。関数の順次極限は、がLとなる場合、 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

に収束する のすべてのシーケンス に対して、シーケンスはLに収束します。${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x_{n})}$

L がに近づくときの の極限（上記の意味で）であるならば、それは の連続極限でもある。しかし、その逆は一般には成立しない。さらにXが計量化可能であるならば、L がに近づくときのの連続極限となるのは、それが に近づくときのの極限（上記の意味で）である場合に限ります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

その他の特徴

シーケンスの観点から

実数直線上の関数の場合、関数の極限を定義する 1 つの方法は、数列の極限を使用することです (この定義は、通常、Eduard Heineに帰属します)。この設定では、 すべての数列x _n (すべてのnについて、x _{n は}aと等しくない) がaに収束する 場合、かつその場合に限り、数列f ( x _n )はLに収束します。1916 年にSierpińskiによって、この定義と上記の定義の同値性を証明するには が必要であり、 は選択公理の弱い形式と同等であることが示されました。数列x _{n が}aに収束するという意味を定義するには、イプシロン デルタ法が必要であることに注意してください。 $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$

ワイエルシュトラスの定義の場合と同様に、より一般的なハイネの定義は、実数直線の部分集合上で定義された関数に適用されます。 f を定義域Dm ( f )を持つ実数値関数とします。 a をDm ( f )\{ a }の要素の列の極限とします。すると、(この意味での) f の極限は、x がaに近づくにつれてLとなり、 すべての列x _n ∈ Dm ( f )\{ a } (つまり、すべてのnについて、x _{n は}aと等しくない) がaに収束する場合、列f ( xn )がLに収束します。これは、前のセクションの_、 ⁠ ⁠の部分集合Dm ( f )を誘導計量を持つ計量空間と見なすことによって得られる連続極限の定義と同じです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

非標準微積分学

非標準微積分学において、関数の極限は次のように定義される。x − a が無限小であるとき 、すべての が無限小となる場合、かつその場合に限る。ここに超実数があり、f*はfの非標準実数への自然な拡張である。Keislerは、このような超実数による極限の定義によって、量指定子の複雑さが2つ分軽減されることを証明した。^{[ 26 ]}一方、Hrbacek は、定義がすべての超実数に対して有効であるためには、暗黙的に ε-δ 法に基づいていなければならないと述べ、教育的観点から、非標準微積分学が ε-δ 法なしに実行できるという希望は完全には実現できないと主張している。^{[ 27 ]} Bŀaszczyk らは、一様連続性の明確な定義を展開する上でのミクロ連続性の有用性を詳述し、Hrbacek の批判を「疑わしい嘆き」と特徴づけている。^{[ 28 ]}$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*},}$ ${\displaystyle f^{*}(x)-L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$

近さという点では

1908年の国際数学会議で、F.リースは「近傍性」という概念で極限と連続性を定義する別の方法を紹介した。^{[ 29 ]}点xが集合の近傍にあると定義されるのは、任意のr > 0に対して点a ∈ Aが存在し、 | x − a | < rとなる場合である。この設定では 、 aがAの近くにあるときはいつでも、 すべてのLに対してf ( A )が近傍であることと同値である。ここでf ( A )は集合である 。この定義は計量空間や位相空間にも拡張できる。 ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{f(x)|x\in A\}.}$

継続性との関係

関数の極限の概念は連続性の概念と非常に密接に関連しています。関数fがcで連続であるとは、関数 f がcで定義され、かつcにおける値がx がcに近づくにつれてfの極限に等しい場合を指します。

$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$$ ここではcがfの定義域の極限点である と仮定しています。

プロパティ

関数fが実数値の場合、 pにおけるfの極限がLとなるのは、 pにおけるfの右手極限と左手極限の両方が存在し、かつそれらがLに等しい場合である。^{[ 30 ]}

関数fがpにおいて連続であるためには、 x がpに近づくにつれてf ( x )の極限が存在し、それがf ( p )に等しいことが必要である。f  : M → Nが距離空間MとNの間の関数である場合、 f はM内のpに収束するすべての列を、 N内のf ( p )に収束する列に変換することと同値である。

Nがノルムベクトル空間である場合、極限演算は次の意味で線形である。すなわち、 x がpに近づくときのf ( x )の極限がLであり、 x がpに近づくときのg ( x )の極限がPである場合、x がpに近づくときのf ( x ) + g( x )の極限はL + Pである。a が基底体からのスカラーである場合、 x が pに近づくときのaf ( x )の極限はaLである。

fとgが実数値（または複素数値）関数である場合、特定の条件下でf ( x )とg ( x )の演算（たとえば、f + g、f − g、f × g、f / g、f ^g）の極限を取ることは、 f ( x )とg ( x )の演算の極限と互換性があります。 この事実は、しばしば代数的極限定理と呼ばれます。 以下の規則を適用するために必要な主な条件は、方程式の右辺に極限が存在することです（言い換えると、これらの極限は 0 を含む有限値です）。 さらに、除算の恒等式では右辺の分母がゼロ以外である必要があり（0 による除算は定義されていません）、指数の恒等式では底が正であるか、または指数が正（有限）である間はゼロである必要があります。

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)+g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)-g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)\cdot g(x))&=&\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\\\displaystyle \lim _{x\to p}(f(x)/g(x))&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)/\lim _{x\to p}g(x)}\\\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)^{g(x)}&=&\displaystyle {\lim _{x\to p}f(x)^{\lim _{x\to p}g(x)}}\end{array}}}$$

これらの規則は、 pが ∞ または −∞の場合も含め、片側極限にも適用されます。上記の各規則において、右側の極限の 1 つが ∞ または −∞ の場合でも、左側の極限は以下の規則によって決定されることがあります。

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}q+\infty &=&\infty {\text{ if }}q\neq -\infty \\[8pt]q\times \infty &=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}q>0\\-\infty &{\text{if }}q<0\end{cases}}\\[6pt]\displaystyle {\frac {q}{\infty }}&=&0{\text{ if }}q\neq \infty {\text{ and }}q\neq -\infty \\[6pt]\infty ^{q}&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}q<0\\\infty &{\text{if }}q>0\end{cases}}\\[4pt]q^{\infty }&=&{\begin{cases}0&{\text{if }}0<q<1\\\infty &{\text{if }}q>1\end{cases}}\\[4pt]q^{-\infty }&=&{\begin{cases}\infty &{\text{if }}0<q<1\\0&{\text{if }}q>1\end{cases}}\end{array}}}$$

(拡張実数直線も参照)。

場合によっては、左辺の極限は依然として存在するものの、右辺は不定形と呼ばれ、結果が決定できないことがあります。これは関数fとgに依存します。これらの不定形は以下のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\displaystyle {\frac {0}{0}}&\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\\[6pt]0\times \pm \infty &\infty +-\infty \\[8pt]\qquad 0^{0}\qquad &\qquad \infty ^{0}\qquad \\[8pt]1^{\pm \infty }\end{array}}}$$

詳細については、下記のL'Hôpital の規則と不確定形式を参照してください。

関数の合成の極限

一般に、 および を知っているからといって、ということにはなりません 。ただし、この「チェーンルール」は、次の追加条件のいずれかが満たされる場合に成立します。 ${\displaystyle \lim _{y\to b}f(y)=c}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=b,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(g(x))=c.}$

• f ( b ) = c（つまりfはbで連続である ）、または
• g はa の近くでは 値 bをとらない（つまり、0 < | x − a | < δならば| g ( x ) − b | > 0となるようなa δ > 0が存在する）。

この現象の例として、両方の追加制限に違反する次の関数を考えてみましょう。

$${\displaystyle f(x)=g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\neq 0\\1&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

f (0)における値は除去可能な不連続点であるため、 すべてのaに対して成り立ちます。したがって、単純な連鎖律によれば、 f ( f ( x ))の極限は 0 であると示唆されます。しかし、実際にはすべてのaに対して成り立ち ます 。 $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$$ $${\displaystyle f(f(x))={\begin{cases}1&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \lim _{x\to a}f(f(x))=1}$$

特別な関心の限界

有理関数

nは非負の整数と定数であり、${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n},}$

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {a_{1}x^{n}+a_{2}x^{n-1}+a_{3}x^{n-2}+\dots +a_{n}}{b_{1}x^{n}+b_{2}x^{n-1}+b_{3}x^{n-2}+\dots +b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}}$$

これは、分子と分母の両方をx ⁿで割ることで証明できます。分子が高次多項式の場合、極限は存在しません。分母が高次多項式の場合、極限は0です。

三角関数

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}&=&0\end{array}}}$$

指数関数

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}&=&\displaystyle \lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\ln c\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}&=&1\end{array}}}$$

対数関数

$${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}&=&1\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b}}\\[4pt]\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}&=&\displaystyle {\frac {a}{b\ln c}}\end{array}}}$$

ロピタルの法則

この規則は、不定形式0/0または±∞/∞の極限を求めるために導関数を用い、そのような場合にのみ適用されます。他の不定形式もこの形式に変更できます。所望の極限点cを含む開区間I上で定義された2つの関数f ( x )とg ( x )が与えられている場合、次の式が成り立ちます。

1. ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,}$ またはおよび${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle f}$ およびは微分可能であり、${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I\setminus \{c\},}$
3. ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ すべての人のために${\displaystyle x\in I\setminus \{c\},}$
4. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\tfrac {f'(x)}{g'(x)}}}$ 存在する、

それから： $${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$$

通常、最初の条件が最も重要です。

例えば： ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}$

合計と積分

合計または積分に無限の境界を指定することは、制限を指定するための一般的な省略形です。

極限を簡単に書くと、次のようになります。このような和の極限の重要な例は、級数 です。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=s}^{n}f(i)}$ ${\displaystyle \sum _{i=s}^{\infty }f(i).}$

限界を簡潔に書く と${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{a}^{x}f(t)\;dt}$ ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(t)\;dt.}$

限界を簡潔に書く と${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{b}f(t)\;dt}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(t)\;dt.}$

参照

• Big O記法 – 関数のおおよその挙動を記述する
• ロピタルの法則 – いくつかの極限を評価するための数学的規則
• 制限のリスト
• 数列の極限 – 無限数列が向かう値
• 極限点 – 位相空間におけるクラスター点Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 上限と下限 – シーケンスの境界Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ネット（数学）  – 点列の一般化
• 非標準微積分学 – 無限小数の現代的応用Pages displaying short descriptions of redirect targets
• スクイーズ定理 – 微積分における極限を求める方法
• 部分列の極限 – ある部分列の極限

注記

1. Felscher, Walter (2000)、「ボルツァーノ、コーシー、イプシロン、デルタ」、アメリカ数学月刊誌、107 (9): 844– 862、doi : 10.2307/2695743、JSTOR  2695743
2. Pourciau, Bruce (2001). 「ニュートンと極限の概念」 . Historia Mathematica . 28 (1): 18– 30. doi : 10.1006/hmat.2000.2301 .
3. プルシアウ、ブルース (2009). 「ニュートンの『プリンキピア』第1巻の命題II」.正確科学史アーカイブ. 63 (2): 129– 167. doi : 10.1007/s00407-008-0033-y . ISSN  0003-9519 . JSTOR  41134303 .
4. グラビナー、ジュディス・V. (1983)、「誰があなたにイプシロンを与えたのか？コーシーと厳密な微積分の起源」アメリカ数学月刊誌、90 (3): 185–194、doi : 10.2307/2975545、JSTOR 2975545 、 Who Gave You the Epsilon?に収録、ISBN 978-0-88385-569-0pp. 5–13. こちらも参照：http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
5. Sinkevich、GI (2017)、「Historia epsylontyki」、Antiquitates Mathematicae、10、コーネル大学、arXiv : 1502.06942、doi : 10.14708/am.v10i0.805
6. バートン、デイビッド・M.（1997年）、数学史入門（第3版）、ニューヨーク：マグロウヒル、  pp.558-559、ISBN 978-0-07-009465-9
7. ミラー、ジェフ（2004年12月1日）「微積分記号の初期の使用」 、 2008年12月18日閲覧。
8. ヴァールバーグ、デール E.;パーセル、エドウィン J.リグドン、スティーブン E. (2007)、微積分学(第 9 版)、ピアソン プレンティス ホール、p. 57、ISBN 978-0131469686
9. スウォコウスキー、アール・W.（1979）、解析幾何学による微積分（第2版）、テイラー＆フランシス、p.58、ISBN 978-0-87150-268-1
10. スウォコウスキー (1979)、p. 72-73。
11. (バートル＆シャーバート 2000 )
12. バートル（1967）
13. ハバード（2015）
14. たとえば、 Apostol (1974)、 Courant (1924)、 Hardy (1921)、 Rudin (1964)、 Whittaker & Watson (1904) はすべて、「limit」を削除された限界を意味すると解釈しています。
15. 例えば、数学百科事典の極限
16. スチュワート、ジェームズ（2020年）、「第14.2章 極限と連続性」、多変数微分積分学（第9版）、Cengage Learning、p.952、ISBN 9780357042922
17. スチュワート（2020）、953頁。
18. ザコン、エリアス（2011）、「第4章 関数の極限と連続性」、数学解析学第1巻、ウィンザー大学、pp.  219– 220、ISBN 9781617386473
19. ザコン（2011）、220頁。
20. ザコン（2011）、223頁。
21. テイラー、アンガス E. (2012)、一般関数と積分の理論、ドーバー数学シリーズ、pp.  139– 140、ISBN 9780486152141
22. Rudin, W. (1986),数学的解析の原理、McGraw-Hill Book C、p. 84、OCLC 962920758 
23. Hartman, Gregory (2019), The Calculus of Vector-Valued Functions II 、 2022年10月31日閲覧
24. ザコン（2011）、172頁。
25. Rudin, W (1986),数学的解析の原理、McGraw-Hill Book C、pp.  150– 151、OCLC 962920758 
26. Keisler, H. Jerome (2008)、「Quantifiers in limits」（PDF）、Andrzej Mostowski と基礎研究、IOS、アムステルダム、pp.  151– 170
27. Hrbacek, K. (2007)、「層別分析？」、Van Den Berg, I.; Neves, V. (編)、『非標準分析の強さ』、Springer
28. Bŀaszczyk, Piotr; Katz, Mikhail ; Sherry, David (2012)「分析の歴史における10の誤解とその暴露」『科学の基礎』 18 (1): 43– 74, arXiv : 1202.4153 , doi : 10.1007/s10699-012-9285-8 , S2CID 119134151 
29. F. Riesz (1908 年 4 月 7 日)、「Stetigkeitsbegriff und abstrakte Mengenlehre (連続性の概念と抽象集合論)」、1908 年の国際数学者会議
30. スウォコウスキー（1979）、73ページ。

参考文献

• アポストル、トム・M. (1974).数学解析（第2版）. アディソン・ウェスレー. ISBN 0-201-00288-4。
• バートル、ロバート(1967). 『実解析の要素』 ワイリー.
• バートル, ロバート・G.; シャーバート, ドナルド・R. (2000). 『実解析入門』 ワイリー社.
• リチャード・クーラント（1924年）。Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung (ドイツ語)。スプリンガー。
• ハーディ、GH（1921）『純粋数学講座』ケンブリッジ大学出版局。
• ハバード, ジョン・H. (2015).ベクトル計算、線型代数、微分形式：統一的アプローチ（第5版）. マトリックス・エディションズ.
• Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; et al., eds. (2002). 「メディアハイライト」. The College Mathematics . 33 (2): 147– 154. JSTOR  2687124 .。
• ルーディン、ウォルター（1964）『数学的解析の原理』マグロウヒル社。
• サザーランド, WA (1975). 『計量空間と位相空間入門』オックスフォード: オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-853161-3。
• ウィテカー、ワトソン（1904年）『現代分析講座』ケンブリッジ大学出版局

外部リンク

• MacTutor ワイエルシュトラスの歴史。
• MacTutor ボルツァーノの歴史
• ローレンス・S・ハッシュ著『Visual Calculus』 、テネシー大学（2001年）