除数（代数幾何学）

代数幾何学において、因子は代数多様体の余次元-1部分多様体の一般化である。カルティエ因子とヴェイユ因子（デイヴィッド・マンフォードがピエール・カルティエとアンドレ・ヴェイユにちなんで命名）という2つの異なる一般化が一般的に用いられている。どちらも整数体と代数体における割り切れるという概念から導かれる。

大域的には、射影空間の任意の余次元1部分多様体は、1つの同次多項式の消失によって定義される。対照的に、余次元r部分多様体は、 rが1より大きい場合、 r個の方程式のみで定義可能である必要はない。（つまり、射影空間のすべての部分多様体が完全な交差であるわけではない。）局所的には、滑らかな多様体の任意の余次元1部分多様体は、各点の近傍における1つの方程式で定義できる。また、同様の記述は、高余次元部分多様体では成り立たない。この性質の結果として、代数幾何学の多くは、任意の多様体を、その余次元1部分多様体とそれに対応する直線束を解析することによって研究する。

特異多様体ではこの性質が成り立たない場合もあるため、余次元1の部分多様体と局所的に1つの方程式で定義できる多様体を区別する必要がある。前者はヴェイユ因子であり、後者はカルティエ因子である。

位相的には、ヴェイユ因子はホモロジーサイクルに対応し、カルティエ因子は直線束によって定義されるコホモロジー類に対応する。滑らかな多様体（あるいはより一般的には正則スキーム）においては、ポアンカレ双対性に類似した結果から、ヴェイユ因子とカルティエ因子は同じであることが示される。

「因子」という名称は、代数曲線の研究におけるデデキント域の関連性を示したデデキントとウェーバーの研究に由来する。^[¹^]曲線上の因子群（すべての因子によって生成される自由アーベル群）は、デデキント域の分数イデアル群と密接に関連している。

代数的サイクルは、因子のより高い余次元の一般化です。定義により、ヴェイユ因子は余次元 1 のサイクルです。

リーマン面上の因子

リーマン面は1 次元複素多様体なので、その余次元 1 の部分多様体は次元 0 を持ちます。コンパクトリーマン面X上の因子群は、Xの点上の自由アーベル群です。

同様に、コンパクトリーマン面X上の因子は、 X上の整数係数の点の有限線型結合である。X上の因子の次数は、その係数の和である。

X上の任意の非零有理型関数fに対して、 X上の点pにおけるfの消滅の位数、すなわち_p ( f ) を定義できる。これは整数であり、f がpに極を持つ場合は負である。コンパクトリーマン面X上の非零有理型関数fの因子は次のように定義される。

(f):=\sum _{p\in X}\operatorname {ord} _{p}(f)p,

これは有限和である。( f ) の形の約数は主約数とも呼ばれる。( fg ) = ( f ) + ( g ) なので、主約数の集合は約数群の部分群である。主約数が異なる2つの約数は線型同値と呼ばれる。

コンパクトリーマン面上では、主因子の次数はゼロである。つまり、有理型関数の零点の数は、重複度を数えた極の数に等しい。結果として、次数は因子の線型同値類上で明確に定義される。

コンパクトリーマン面X上の因子Dが与えられている場合、Dによって与えられる極以下のX上の有理型関数の複素ベクトル空間、つまりH ⁰ ( X , O ( D )) またはDに関連付けられた線束の切断の空間を調べることが重要です。 Dの次数は、このベクトル空間の次元について多くのことを語っています。たとえば、D が負の次数を持つ場合、このベクトル空間は 0 です (有理型関数は極の数よりも多くの零点を持つことができないため)。Dが正の次数の場合、 H ⁰ ( X , O ( mD ))の次元は、mが十分に大きい場合、 mについて線形に増大します。リーマン–ロッホの定理は、この線に沿ったより正確な記述です。一方、低次数の因子Dに対するH ⁰ ( X , O ( D ))の正確な次元は微妙であり、 Dの次数によって完全には決定されません。コンパクトリーマン面の特徴は、これらの次元に反映されています。

コンパクトリーマン面上の重要な因子の 1 つは、標準因子です。これを定義するには、まず上記のように非零有理型 1 形式の因子を定義します。有理型 1 形式の空間は有理型関数の体上の 1 次元ベクトル空間であるため、任意の 2 つの非零有理型 1 形式は線型同値な因子を生成します。この線型同値類の任意の因子は、Xの標準因子K _Xと呼ばれます。Xの種数gは標準因子から読み取ることができます。つまり、K _Xの次数は 2 g − 2 です。コンパクトリーマン面Xにおける重要な三分法は、標準因子の次数が負 (したがってX の種数は 0)、ゼロ (種数は 1)、または正の次数 (種数は少なくとも 2) であるかどうかです。例えば、これはX が正の曲率、ゼロの曲率、または負の曲率を持つケーラー計量を持つかどうかを判定します。標準因子が負の次数を持つのは、 X がリーマン球面CP ¹と同型である場合に限ります。

ヴェイユ因子

X を整局所ノイザンスキームとする。X上の素因子または既約因子は、Xの余次元1の整閉部分スキームZである。X上のヴェイユ因子は、 Xの素因子Z上の形式和である。

\sum _{Z}n_{Z}Z,

ここで、集合は局所有限である。X が準コンパクト（すなわちネーター的）である場合、局所有限性は有限であることと同値である。すべてのヴェイユ因子の成す群は $Div($ $X$ $)$ と表記される。ヴェイユ因子D は、すべての係数が非負であるとき有効である。差 $D$ $-$ $D'が有効であるとき、$ $D$ $\geq$ $D'$ と書く。 $\{Z:n_{Z}\neq 0\}$ $\{Z:n_{Z}\neq 0\}$

例えば、体上の代数曲線上の因子は、有限個の閉点の形式的な和である。Spec $Z$ $上$ の因子は、整数係数を持つ素数の形式的な和であり、したがってQの非零分数イデアルに対応する。同様の特徴付けは、 Kが数体であるときの上の因子にも当てはまる。 $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K},$

Z ⊂ Xが素因数ならば、局所環のKrull 次元は1 です。がゼロでない場合、Zに沿ったfの消失位数 $ord$ $Z$ $($ $f$ $)$ は、の長さです。この長さは有限であり、^[²^]乗算に関して加法性があります。つまり、 $ord$ $Z$ $($ $fg$ $) = ord$ $Z$ $($ $f$ $) + ord$ $Z$ $($ $g$ $)$ です。^[³^] k ( X )がX上の有理関数体である場合、任意の 0 でない $f$ $\in$ $k$ $($ $X$ $)$ は商 $g$ $/$ $h$ として表すことができます。ここで、gとhはであり、 fの消失位数は $ord$ $Z$ $($ $g$ $) - ord$ $Z$ $($ $h$ $)$ と定義されます。^[⁴^]この定義では、消失位数は関数 $ord$ $Z$ $:$ $k$ $($ $X$ $)$ $\times$ $\to$ $Z$ です。Xが正規写像であるとき、局所環は離散付値環であり、関数 $ord$ $Z$ は対応する付値である。X上の非零有理関数fに対して、fに付随する主ヴェイユ因子はヴェイユ因子と定義される。 ${\mathcal {O}}_{X,Z}$ $f\in {\mathcal {O}}_{X,Z}$ ${\mathcal {O}}_{X,Z}/(f).$ ${\mathcal {O}}_{X,Z},$ ${\mathcal {O}}_{X,Z}$

\operatorname {div} f=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z.

この和は局所有限であり、したがってヴェイユ因子を定義することが示される。f に付随する主ヴェイユ因子も $($ f $)$ と表記される。f が正則関数であれば、その主ヴェイユ因子は有効となるが、一般にはそうではない。消失関数の位数の加法性から $、$

\operatorname {div} fg=\operatorname {div} f+\operatorname {div} g.

したがって、 $div$ は準同型であり、特にその像はすべての Weil 因子の群の部分群です。

X を正規整ネータースキームとする。任意のヴェイユ因子D はX上の連接層を決定する。具体的には、それは有理関数の層の部分層として定義できる^[⁵^] ${\mathcal {O}}_{X}(D)$

\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\{f\in k(X):f=0{\text{ または }}\operatorname {div} (f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}.

つまり、非零有理関数fがU上の切断となるのは、Uと交わる任意の素因数Zに対して、 ${\mathcal {O}}_{X}(D)$

\operatorname {ord} _{Z}(f)\geq -n_{Z}

ここで、n _ZはDにおけるZの係数である。Dが主関数、つまりDが有理関数gの約数である場合、同型が存在する。

{\begin{cases}{\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\\f\mapsto fg\end{cases}}

は有効因子であり、X の正規性によりは正則であるので、Dは有効因子である。逆に、が-加群としてに同型である場合、Dは主である。したがって、Dが局所的に主であるための必要十分条件は、が可逆であること、すなわち直線束であることである。 $\operatorname {div} (fg)$ $fg$ ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}(D)$

DがXの部分スキームに対応する有効因子である場合（たとえば、Dは被約因子または素因子である可能性がある）、部分スキームDの理想層はに等しい。これは、よく使用される短い完全列につながる。 ${\mathcal {O}}(-D).$

0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0.

このシーケンスの層コホモロジーは、D上の正規関数がX上の正規関数の制約であるかどうかに関する情報が含まれていることを示しています。 $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(-D))$

束も含まれる

0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D).

これにより、の標準元、すなわち大域切断 1 の像が得られる。これは標準切断と呼ばれ、 s _Dと表記される。標準切断はどこにも消滅しない有理関数の像であるが、遷移関数が D に沿って消滅するため、その像は Dに沿って消滅する。Dが滑らかなカルティエ因子である場合、上記の包含の余核は同一視できる。以下の#カルティエ因子を参照のこと。 $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),$ ${\mathcal {O}}(D)$

X が体上の有限型の正規積分分離スキームであると仮定する。Dをヴェイユ因子とする。するとは階数1の反射層となり、はの部分層として定義されているため、分数イデアル層となる（下記参照）。逆に、階数1の反射層はすべてヴェイユ因子に対応する。層は正則軌跡に制限することができ、その場合自由となり、カルティエ因子に対応する（これも下記参照）。また、特異軌跡は少なくとも2の余次元を持つため、カルティエ因子の閉包はヴェイユ因子となる。 ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {M}}_{X},$

約数類群

ヴェイユ因子類群Cl( X ) は、 Div( X ) をすべての主ヴェイユ因子の部分群で割った商である。2つの因子は、それらの差が主であるとき線型同値であるという。したがって、因子類群は線型同値性を法とする因子群である。体上のn次元多様体Xに対して、因子類群はチャウ群である。すなわち、 Cl( X ) は ( n −1) 次元サイクルのチャウ群 CH _n₋₁ ( X )である。

Z をXの閉部分集合とする。Zが余次元1の既約集合ならば、 Cl( X − Z ) はCl( X )のZの類による商群と同型である。ZがXにおいて余次元2以上であれば、制約 Cl( X ) → Cl( X − Z ) は同型である。^[⁶^] （これらの事実は Chow 群の局所化列の特殊ケースである。）

正規整ノイザンスキームX上で、2つのヴェイユ因子D、Eが線型同値となるための必要十分条件は、とが-加群として同型となることである。X上の反射層の同型類は、テンソル積の反射包として与えられた積を持つモノイドを形成する。そして、Xのヴェイユ因子類群から、X上の階数1の反射層の同型類のモノイドへのモノイド同型を定義する。 ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}(E)$ ${\mathcal {O}}_{X}$ $D\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)$

例

k を体とし、n を正の整数とする。多項式環k [ x ₁ , ..., x _n ] は一意の因数分解域であるので、 k上のアフィン空間A ⁿの因子類群は 0 に等しい。^[⁷^] k上の射影空間P ⁿから超平面Hを引いたものはA ⁿに同型なので、 P ⁿの因子類群はHの類によって生成されるということがわかる。そこから、 Cl( P ⁿ ) が実際にHによって生成される整数Zに同型であることは簡単に確認できる。具体的には、 P ⁿのすべての余次元 1 の部分多様体は単一の同次多項式の消滅によって定義されることを意味する。

X を体k上の代数曲線とする。Xのすべての閉点pはkの有限拡大体Eに対して Spec E の形を持ち、pの次数はk上のEの次数として定義される。これを線型性によって拡張すると、 X上の因子の次数の概念が得られる。X がk上の射影曲線である場合、 X上の非零有理関数fの因子は次数ゼロである。^[⁸^]結果として、射影曲線Xの次数は準同型 deg: Cl( X ) → Z を与える。

体k上の射影直線P ¹について、次数は同型 Cl( P ¹ ) ≅ Z を与える。k -有理点を持つ任意の滑らかな射影曲線Xについて、次数準同型は射影的であり、核はXのヤコビ多様体上のk -点の群（これはXの種数に等しい次元のアーベル多様体である）と同型である。例えば、複素楕円曲線の因子類群は無数アーベル群となる。

前の例を一般化すると、体k上の任意の滑らかな射影多様体Xで、 X がk有理点を持つものに対して、因子類群 Cl( X ) は、有限生成アーベル群であるネロン–セベリ群を連結群スキームのk点の群によって拡張したものである^[⁹^]。特性 0 のkに対して、はアーベル多様体、つまりXのピカール多様体である。 $\operatorname {Pic} _{X/k}^{0}.$ $\operatorname {Pic} _{X/k}^{0}$

数体Rの整数環に対して、因子類群 Cl( R ) := Cl(Spec R ) はRのイデアル類群とも呼ばれる。これは有限アーベル群である。イデアル類群を理解することは、代数的整数論の中心的な目標である。

アフィン二次円錐xy = z ²。
X を、体上のアフィン3次元空間において方程式xy = z ^{2で定義される2次元の2}次円錐とする。すると、 X上の直線D はx = z = 0で定義され、原点近傍ではX上の主直線ではない。DはX上の1つの方程式、すなわちx = 0によって集合として定義できることに注意する。しかし、 X上の関数x はDに沿って位数2で消滅するため、 2 DがX上でカルティエ（以下に定義）であることのみが分かる。実際、因子類群 Cl( X ) はDの類によって生成される巡回群Z /2 と同型である。^[¹⁰^]

X を体上のアフィン4次元空間において方程式xy = zwで定義される3次元の二次円錐とする。すると、 X内のx = z = 0で定義される平面Dは、たとえ集合としてであっても、原点近傍の1つの方程式によってX内に定義することはできない。したがって、DはX上のQ-カルティエではない。つまり、Dの正の倍数はカルティエではない。実際、因子類群 Cl( X ) は、 Dの類によって生成される整数Zと同型である。^[¹¹^]

標準除数

X を完全体上の正規多様体とする。Xの滑らかな軌跡Uは、その補集合が少なくとも 2 の余次元を持つ開部分集合である。j : U → X を包含写像とすると、制限準同型写像は次のようになる。

j^{*}:\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Cl} (U)=\operatorname {Pic} (U)

は同型である。なぜなら、X − UはXにおいて少なくとも2の余次元を持つからである。例えば、この同型を用いてXの標準因子K _Xを定義できる。これは、 U上の最高次微分形式の直線束に対応する（線型同値性を除き）ヴェイユ因子である。同様に、 X上の層は、nがXの次元である直接像層である。 ${\mathcal {O}}(K_{X})$ $j_{*}\Omega _{U}^{n},$

例：X = P ^{n を}同次座標x ₀ , ..., x _nを持つ射影n空間とする。U = { x ₀ ≠ 0} とする。すると、Uは座標y _i = x _i / x ₀を持つアフィンn空間と同型となる。

\omega ={dy_{1} \over y_{1}}\wedge \dots \wedge {dy_{n} \over y_{n}}.

すると、ω はU上の有理微分形式となる。つまり、 Z _i = { x _i = 0 }, i = 1, ..., nに沿って単極を持つ有理切断となる。異なるアフィンチャートに切り替えると、ω の符号のみが変化するため、ω はZ ₀に沿っても単極を持つことがわかる。したがって、ω の約数は $\Omega _{\mathbf {P} ^{n}}^{n}$

\operatorname {div} (\omega )=-Z_{0}-\dots -Z_{n}

そしてその因子類は

K_{\mathbf {P} ^{n}}=[\operatorname {div} (\omega )]=-(n+1)[H]

ここで [ H ] = [ Z _i ], i = 0, ..., nです。（オイラー数列も参照してください。）

カルティエの約数

Xを整ネータースキームとする。するとXは有理関数の層を持つ。すべての正則関数は有理関数であり、短い完全列が導かれる。 ${\mathcal {M}}_{X}.$

0\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }\to {\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\to 0.

X上のカルティエ因子は、のグローバルセクションである。同等の記述は、カルティエ因子が、の開被覆がのセクションであり、のセクションによる乗算までであるコレクションである、ということである。 ${\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }.$ $\{(U_{i},f_{i})\},$ $\{U_{i}\}$ $X,f_{i}$ ${\mathcal {M}}_{X}^{\times }$ $U_{i},$ $f_{i}=f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }.$

カルティエ因子も層理論的記述を持つ。分数イデアル層はのサブモジュールである。分数イデアル層Jが可逆なのは、 Xの各xに対して、 xの開近傍Uが存在し、その上でJのUへの制約がに等しく、積がで取られるときである。各カルティエ因子は、カルティエ因子のコレクションとしての記述を使用して可逆な分数イデアル層を定義し、逆に、可逆な分数イデアル層はカルティエ因子を定義する。カルティエ因子をDと表記する場合、対応する分数イデアル層は L ( D )またはL ( D ) と表記される。 ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {M}}_{X}.$ ${\mathcal {O}}_{U}\cdot f,$ $f\in {\mathcal {M}}_{X}^{\times }(U)$ ${\mathcal {M}}_{X}.$ $\{(U_{i},f_{i})\},$ ${\mathcal {O}}(D)$

上記の正確な列により、層コホモロジー群の正確な列が存在する。

H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X).

カルティエ因子は、準同型写像の像にあるとき、すなわちX上の有理関数の因子であるとき、主因子であるという。2 つのカルティエ因子は、それらの差が主である場合に線型同値である。整式ノイザンスキームX上のすべての直線束L は、何らかのカルティエ因子の類である。結果として、上記の正確なシーケンスは、整式ノイザンスキームX上の直線束のピカール群と、線型同値を法とするカルティエ因子の群とを同一視する。このことは、被縮ノイザンスキーム、またはノイザン環上の準射影スキームに対してより一般的には成立するが^[¹²^]、一般には成立しない可能性があり ( C上の適切なスキームに対しても)、これによりカルティエ因子の完全な一般性に対する興味は薄れる。^[¹³^] $H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\to H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }/{\mathcal {O}}_{X}^{\times }),$

Dが実効カルティエ因子であると仮定する。すると、短完全列が存在する。

0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)\to {\mathcal {O}}_{D}(D)\to 0.

この列は、 XとDの構造層とDのイデアル層を関連付ける短完全列から導出されます。D はカルティエ因子であるため、は局所自由であり、したがってこの列をでテンソル化すると、上記の別の短完全列が得られます。D が滑らかな場合、はXにおけるDの正規束です。 ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}_{D}(D)$

ヴェイユ因子とカルティエ因子の比較

ヴェイユ因子Dは、層が可逆である場合に限り、カルティエ因子であるという。この場合、 ( M _Xへの埋め込みとともに) はカルティエ因子に関連付けられた線束になる。より正確には、が可逆であれば、各開集合上の自明な束に制限される開被覆 { U _i }が存在する。各U _iについて、同型写像を選択する。この写像によるの像は、 U _i上のの切断である。は有理関数の層のサブ層として定義されているため、 1 の像はある有理関数f _iと同一視される。すると、そのコレクションはカルティエ因子になる。これは、被覆と同型写像の選択のみであり、どちらもカルティエ因子を変更しないため、明確に定義されている。このカルティエ因子を使用して層を作成でき、区別のためにこれをL ( D ) と表記する。開被覆{ U _i }上で作用することで定義されるL ( D )の同型が存在する。ここで確認すべき重要な事実は、 L ( D )の遷移関数が両立し、これらの関数がすべて以下の形を持つということである。 ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}_{U_{i}}\to {\mathcal {O}}(D)|_{U_{i}}.$ $1\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})=\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}(D)$ $\{(U_{i},f_{i})\}$ ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}(D)$ $f_{i}/f_{j}.$

反対に、整式ノイザンスキームX上のカルティエ因子は、開集合U _i上の関数f _iに適用することで、自然な方法でX上のヴェイユ因子を決定します。 $\{(U_{i},f_{i})\}$ $\operatorname {div}$

Xが正規の場合、カルティエ因子は関連するヴェイユ因子によって決定され、ヴェイユ因子は、局所的に主因子である場合に限りカルティエ因子となります。

ネータースキームXは、 Xのすべての局所環が一意の因数分解域であるとき、階乗的と呼ばれる。^[⁵^]（一部の著者は「局所的に階乗的」と言う。）特に、すべての正規スキームは階乗的である。^[¹⁴^]階乗スキームX上では、すべてのヴェイユ因子Dは局所的に主であり、したがって常に線束である。^[⁷^]ただし、一般に、正規スキーム上のヴェイユ因子は局所的に主である必要はない。上記の二次錐の例を参照。 ${\mathcal {O}}(D)$

有効カルティエ因子

実効カルティエ因子は、イデアル層に対応する因子です。実際、実効カルティエ因子の理論は、有理関数の層や分数イデアル層を参照することなく展開できます。

X をスキームとする。X上の有効カルティエ因子とは、イデアル層Iであり、これは可逆であり、 X内の任意の点xに対して、茎I _{x が}主となるようなものである。これは、各xの周りに、 $U$ $\cap$ $D$ $= Spec$ $A$ $/ ($ $f$ $)$ を満たす開アフィン部分集合 $U$ $= Spec$ $A$ が存在することと同値である。ここでfはA内の非零因子である。2つの有効カルティエ因子の和は、イデアル層の乗算に対応する。

有効カルティエ因子族に関する優れた理論が存在する。φ $: X \to S$ を射とする。XのS上における相対有効カルティエ因子は、 X上のS上平坦な有効カルティエ因子Dである。平坦性仮定より、任意のに対してDからへの引き戻しが存在し、この引き戻しは有効カルティエ因子となる。特に、これは φ のファイバーについて成り立つ。 $S'\to S,$ $X\times _{S}S',$

小平の補題

（大）カルティエ因子の基本結果として、小平の補題と呼ばれる結果がある：^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

$X を$ 既約射影多様体とし、 $D を$ $X$ 上の大カルティエ因子とし、 $H を$ $X$ 上の任意の有効カルティエ因子とする。すると、
$H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD-H))\neq 0$ 。
十分に大きいすべてのに対して。 $m\in N(X,D)$

小平の補題は大きな約数についていくつかの結果を与える。

関数性

$φ : X \to Y を$ 整局所ノイザンスキームの射とする。φ を用いて因子 D をあるスキームから別のスキームへ移動させることは、多くの場合可能であるが、常に可能であるとは限らない。これが可能かどうかは、因子がヴェイユ因子かカルティエ因子か、因子をXからYへ移動させるのか、それともその逆なのか、そして φ がどのような追加的な性質を持つかによって決まる。

ZがX上の素なヴェイユ因子である場合、はYの閉じた既約部分スキームです。 φ に依存して、素なヴェイユ因子となる場合とそうでない場合があります。たとえば、 φ が平面上の点の爆発であり、Zが例外因子である場合、その像はヴェイユ因子ではありません。したがって、その部分スキームが素因子である場合は φ _*Zがと定義され、そうでない場合は 0 因子と定義されます。これを線形性によって拡張すると、X が準コンパクトであると仮定して、プッシュフォワードと呼ばれる準同型 $Div($ $X$ $) \to Div($ $Y$ $)$ が定義されます。( X が準コンパクトでない場合、プッシュフォワードは局所有限和にならない可能性があります。) これは、チャウ群上のプッシュフォワードの特殊なケースです。 ${\overline {\varphi (Z)}}$ ${\overline {\varphi (Z)}}$

Zがカルティエ因子である場合、 φ に関する弱い仮定の下では、引き戻し が存在する。層理論的には、引き戻し写像が存在する場合、この引き戻しを用いてカルティエ因子の引き戻しを定義できる。局所断面の観点から見ると、の引き戻しはと定義される。引き戻しは φ が優勢な場合は常に定義されるが、一般には定義できない。例えば、 $X$ $=$ $Z$ であり、 φ がZのYへの包含である場合、対応する局所断面がどこでもゼロになるため、 φ ^*Zは未定義である。（ただし、対応する直線束の引き戻しは定義されている。） $\varphi ^{*}Z$ $\varphi ^{-1}{\mathcal {M}}_{Y}\to {\mathcal {M}}_{X}$ $\{(U_{i},f_{i})\}$ $\{(\varphi ^{-1}(U_{i}),f_{i}\circ \varphi )\}$

φ が平坦であれば、ヴェイユ因子の引き戻しが定義される。この場合、Zの引き戻しは $φ * Z = φ -1 (Z)$ となる。 φ が平坦であることは、 Zの逆像が常に余次元1を持つことを保証する。これは、例えば小さな縮約のように、平坦でない射に対しては成り立たない可能性がある。

最初のチャーンクラス

整ノイザンスキームXに対して、カルティエ因子群からヴェイユ因子群への自然準同型写像は、準同型写像を与える。

c_{1}:\operatorname {Pic} (X)\to \operatorname {Cl} (X),

第一チャーン類として知られる。^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}第一チャーン類は、 Xが正規のとき単射であり、 Xが階乗のとき同型である（上で定義した通り）。特に、カルティエ因子は任意の正則スキーム上のヴェイユ因子と同一視できるため、第一チャーン類はXが正則であるとき同型となる。

明示的に、最初のチャーン類は次のように定義できます。整ノイザンスキームX上の直線束Lについて、s をLの非ゼロ有理切断（つまり、 Lの空でない開部分集合上の切断）とし、これはLの局所自明性によって存在します。有理関数の因子からの類推により、X上のWeil 因子 ( s )を定義します。すると、 Lの最初のチャーン類は因子 ( s ) として定義できます。有理切断sを変更すると、この因子は線型同値によって変更されます。これは、非ゼロ有理関数fとLの非ゼロ有理切断sに対して、 ( fs ) = ( f ) + ( s )であるためです。したがって、 Cl( X ) の元c ₁ ( L )は明確に定義されます。

次元nの複素多様体Xは必ずしもC上で滑らかまたは真ではありませんが、因子類群からボレル・ムーアホモロジーへの自然な準同型、つまりサイクル写像が存在します。

\operatorname {Cl} (X)\to H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} ).

後者の群は、 Xの複素点の成す空間X ( C )とその古典的（ユークリッド的）位相を用いて定義される。同様に、ピカール群は、位相的な意味での第一チャーン類によって、整コホモロジーに写像される。

\operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbf {Z} ).

2つの準同型は可換図式によって関連しており、右垂直写像はボレル・ムーアホモロジーにおけるXの基本類とのキャップ積である。

{\begin{array}{ccc}\operatorname {Pic} (X)&\longrightarrow &H^{2}(X,\mathbf {Z} )\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Cl} (X)&\longrightarrow &H_{2n-2}^{\operatorname {BM} }(X,\mathbf {Z} )\end{array}}

C上の滑らかなXの場合、両方の垂直写像は同型です。

線束と線状システムの全体断面

カルティエ因子は、その局所定義関数f _{i が}正則関数（有理関数ではない）である場合に有効因子となる。この場合、カルティエ因子は、 Xにおける余次元1の閉部分スキーム、すなわちf _i = 0によって局所的に定義される部分スキームと同一視できる。カルティエ因子Dが有効因子と線型同値となるのは、その付随する直線束が非零の大域切断sを持つ場合であり、その場合D はsの零点軌跡と線型同値となる。 ${\mathcal {O}}(D)$

X を体k上の射影多様体とする。すると、の大域切断にkの非零スカラーを乗じても、その零位置は変化しない。その結果、kベクトル空間における直線の射影空間H ⁰ ( X , O ( D )) は、 Dに線型同値な有効因子の集合と同一視され、 Dの完全線型系と呼ばれる。この射影空間の射影線型部分空間は、線型因子系と呼ばれる。 ${\mathcal {O}}(D)$

直線束の大域切断の空間を研究する理由の一つは、与えられた多様体から射影空間への可能な写像を理解することである。これは代数多様体の分類にとって本質的である。明示的には、多様体Xから体k上の射影空間P ⁿへの射影は、標準直線束のP ⁿへの引き戻しであるX上の直線束L を決定する。さらに、Lには基底位置（零点集合の交差）が空であるn +1 個の切断が伴う。逆に、 n +1 個の大域切断を持ち、共通の基底位置が空である任意の直線束L は、 X → P ⁿへの射を決定する。^[¹⁹^]これらの観察から、カルティエ因子（または直線束）の正値性に関するいくつかの概念、例えば、十分因子やネフ因子などが導かれる。^[²⁰^] ${\mathcal {O}}(1)$

体k上の射影多様体X上の因子Dに対して、kベクトル空間H ⁰ ( X , O ( D )) は有限次元を持つ。リーマン・ロッホの定理は、 X が射影曲線であるときにこのベクトル空間の次元を計算するための基本的なツールである。その後の一般化であるヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理とグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、体上の任意の次元の射影多様体Xに対するH ⁰ ( X , O ( D ))の次元に関する情報を与える。

標準因子は多様体に本質的に結びついているため、K _Xとその正の倍数によって与えられる射影空間への写像は、多様体の分類において重要な役割を果たします。Xの小平次元は重要な双有理不変量であり、ベクトル空間H ⁰ ( X , mK _X ) （つまりH ⁰ ( X , O ( mK _X ))）のmの増加に対する成長を測るものです。小平次元は、すべてのn次元多様体をn +2 個のクラスに分類します。これらのクラスは（非常に大まかに）正の曲率から負の曲率へと変化します。

Q因子

X を正規多様体とする。(Weil) Q因子は、 Xの有理係数を持つ既約余次元 1 部分多様体の有限形式線形結合である。( R因子も同様に定義される。) Q因子は、係数が非負であるときに有効である。Q因子Dは、 mD が正の整数mに対するカルティエ因子であるとき、 Q カルティエ因子である。X が滑らかな場合、すべてのQ因子はQカルティエ因子である。

もし

D=\sum _{j}a_{j}Z_{j}

がQ除数である場合、その切り捨てが除数となる。

\lfloor D\rfloor =\sum \lfloor a_{j}\rfloor Z_{j},

ここではa以下の最大の整数である。層は次のように定義される。 $\lfloor a\rfloor$ ${\mathcal {O}}(D)$ ${\mathcal {O}}(\lfloor D\rfloor ).$

グロタンディーク・レフシェッツ超平面定理

レフシェッツ超平面定理は、少なくとも4次元の滑らかな複素射影多様体Xと、 Xの滑らかな十分な因子Yに対して、制限 Pic( X ) → Pic( Y ) が同型であることを意味する。例えば、Y が複素射影空間において少なくとも3次元の滑らかな完備交差多様体である場合、 Yのピカール群は、射影空間上の直線束O (1) の制限によって生成されるZと同型である。

グロタンディークはレフシェッツの定理を、任意の基底体、特異多様体、そして射影多様体ではなく局所環上の結果を含む複数の方向に一般化した。特に、Rが完全交差局所環であり、その余次元が最大3の階乗であるとき（例えば、 Rの非正則な軌跡が余次元が少なくとも4であるとき）、Rは唯一の因数分解域となる（したがって、Spec( R )上のすべてのヴェイユ因子はカルティエ因子となる）。^{[ 21 ]}ここでの次元の境界は、上記の3次元二次錐の例で示されているように最適である。

注記

^デュドネ (1985)、セクション VI.6。
^スタックスプロジェクト、タグ 00PF。
^スタックスプロジェクト、タグ02MC。
^スタックスプロジェクト、タグ 02MD。
^ ^a ^b Kollár (2013)、表記 1.2。
^ Hartshorne（1977）、命題II.6.5。
^ ^a ^b Hartshorne（1977）、命題II.6.2。
^スタックスプロジェクト、タグ02RS。
^ Kleiman (2005)、定理2.5と5.4、備考6.19。
^ Hartshorne（1977）、例II.6.5.2。
^ Hartshorne(1977)、演習II.6.5。
^ Grothendieck、EGA IV、パート 4、提案 21.3.4、コロレール 21.3.5。
^ Lazarsfeld (2004)、例1.1.6。
^ Stacks プロジェクト、タグ 0AFW。
^「第2章準備」.極小モデルプログラムの基礎. 日本数学会紀要. 2017. pp. 16– 47. doi : 10.2969/msjmemoirs/03501C020 . ISBN 978-4-86497-045-7。
^ ( Lazarsfeld 2004、p. 141、命題2.2.6。)
^体上の多様体Xに対して、 X上の任意のベクトル束のチャーン類はXのチョウ群にキャップ積として作用し、ここでの準同型はL ↦ c₁ ( L ) ∩ [ X ]と記述できる。
^アイゼンバッド＆ハリス 2016、§ 1.4。
^ Hartshorne（1977）、定理II.7.1。
^（ラザースフェルド 2004、第1章）
^ Grothendieck, SGA 2, Corollaire XI.3.14.

参考文献

ディウドネ、ジャン（1985）、代数幾何学の歴史、ワズワース数学シリーズ、ジュディス・D・サリー訳、ベルモント、カリフォルニア州：ワズワース・インターナショナル・グループ、ISBN 0-534-03723-2、MR 0780183
アイゼンバッド、デイビッド、ハリス、ジョー（2016）、『3264とすべて：代数幾何学第二講座』、CUP、ISBN 978-1107602724
アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1967)。「幾何学的計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、Quatrième party」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。32 : 5– 361.土井: 10.1007/bf02732123。MR 0238860。
アレクサンダー・グロタンディーク; Raynaud、Michele (2005) [1968]、Laszlo、Yves (編)、Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2)、Documents Mathématiques、vol. 4、パリ: Société Mathématique de France、arXiv : math/0511279、Bibcode : 2005math....11279G、ISBN 978-2-85629-169-6、MR 2171939
Hartshorne, Robin (1977) 『代数幾何学』第II.6節、 Graduate Texts in Mathematics、第52巻、ニューヨーク、ハイデルベルク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-4757-3849-0、ISBN 0-387-90244-9、MR 0463157
クライマン, スティーブン(2005)、「ピカール・スキーム」、Fundamental Algebraic Geometry、Math. Surveys Monogr.、vol. 123、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 235– 321、arXiv : math/0504020、Bibcode : 2005math......4020K、MR 2223410
Kollár、János (2013)、Singularities of the Minimal Model Program、Cambridge University Press、doi : 10.1017/CBO9781139547895、ISBN 978-1-107-03534-8、MR 3057950
ラザースフェルド、ロバート（2004）、代数幾何学における正値性、第1巻、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-3-642-18808-4、ISBN 3-540-22533-1、MR 2095471

外部リンク

スタックス・プロジェクトの著者、スタックス・プロジェクト

[1] デュドネ (1985)、セクション VI.6。

[2] スタックスプロジェクト、タグ 00PF。

[3] スタックスプロジェクト、タグ02MC。

[4] スタックスプロジェクト、タグ 02MD。

[K1.2-5] Kollár (2013)、表記 1.2。

[6] Hartshorne（1977）、命題II.6.5。

[H6.2-7] Hartshorne（1977）、命題II.6.2。

[8] スタックスプロジェクト、タグ02RS。

[9] Kleiman (2005)、定理2.5と5.4、備考6.19。

[10] Hartshorne（1977）、例II.6.5.2。

[11] Hartshorne(1977)、演習II.6.5。

[12] Grothendieck、EGA IV、パート 4、提案 21.3.4、コロレール 21.3.5。

[13] Lazarsfeld (2004)、例1.1.6。

[14] Stacks プロジェクト、タグ 0AFW。

[15] 「第2章準備」.極小モデルプログラムの基礎. 日本数学会紀要. 2017. pp. 16– 47. doi : 10.2969/msjmemoirs/03501C020 . ISBN 978-4-86497-045-7。

[16] ( Lazarsfeld 2004、p. 141、命題2.2.6。)

[17] 体上の多様体Xに対して、 X上の任意のベクトル束のチャーン類はXのチョウ群にキャップ積として作用し、ここでの準同型はL ↦ c₁ ( L ) ∩ [ X ]と記述できる。

[18] アイゼンバッド＆ハリス 2016、§ 1.4。

[19] Hartshorne（1977）、定理II.7.1。

[20] （ラザースフェルド 2004、第1章）

[21] Grothendieck, SGA 2, Corollaire XI.3.14.

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