ケーラー多様体

数学、特に微分幾何学において、ケーラー多様体は、相互に両立する3つの構造、すなわち複素構造、リーマン構造、およびシンプレクティック構造を持つ多様体である。この概念は、1930年にヤン・アーノルドゥス・スハウテンとダヴィド・ファン・ダンツィヒによって最初に研究され、その後1933年にエーリッヒ・ケーラーによって導入された。この用語はアンドレ・ヴェイユによって定められた。ケーラー幾何学は、ケーラー多様体、その幾何学と位相の研究、およびエルミート・ヤン＝ミルズ接続のような特殊な接続やケーラー＝アインシュタイン計量などの特殊な計量の存在など、ケーラー多様体上で実行できる構造と構成の研究を指す。

すべての滑らかな複素射影多様体はケーラー多様体である。ホッジ理論は代数幾何学の中心的な部分であり、ケーラー計量を用いて証明される。

定義

ケーラー多様体はいくつかの互換性のある構造を備えているため、さまざまな観点から記述できます。

シンプレクティックな視点

ケーラー多様体は、シンプレクティック形式と両立する積分可能な概複素構造を備えたシンプレクティック多様体 であり、双線型形式${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}$

の各点におけるの接空間上の は対称かつ正定値である（したがって 上のリーマン計量である）。^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

複雑な視点

ケーラー多様体は、エルミート計量を持つ複素多様体 であり、その2次元形式は閉じている。より詳しくは、は の各点における接空間上に正定値エルミート形式を与え、2次元形式は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega (u,v)=\オペレーター名 {Re} h(iu,v)=\オペレーター名 {Im} h(u,v)}$

接ベクトルおよび（ここでは複素数）。ケーラー多様体 の場合、ケーラー形式は実閉(1,1)形式となる。ケーラー多様体はリーマン多様体とみなすこともできる。その場合、リーマン計量は次のように定義される。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).}$

同様に、ケーラー多様体は複素次元のエルミート多様体であり、のすべての点に対しての周りの正則座標チャートが存在し、その計量は の近くの 2 次まで の標準計量と一致する。^{[ 2 ]}つまり、チャートがでをとっており、計量がこれらの座標で と書かれると、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle h_{ab}=\left({\frac {\partial }{\partial z_{a}}},{\frac {\partial }{\partial z_{b}}}\right)}$

${\displaystyle h_{ab}=\delta _{ab}+O(\|z\|^{2})}$

すべてのために、${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in \{1,\cdots ,n\}}$

2 形式は閉じているため、ケーラー類として知られるド・ラーム・コホモロジー内の要素を決定します。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {R} )}$

リーマンの視点

ケーラー多様体は偶数次元のリーマン多様体 であり、そのホロノミー群はユニタリ群に含まれる。^{[ 3 ]}同様に、の接空間上の各点には複素構造（つまり、から自身への実線型写像で を満たすもの）が存在し、計量（つまり）が保存され、平行移動によって が保存される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle J^{2}=-1}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(Ju,Jv)=g(u,v)}$ ${\displaystyle J}$

シンプレクティック形式は によって定義され、 は平行移動によって保存されるため閉じています。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}$ ${\displaystyle J}$

ケーラー電位

複素多様体上の滑らかな実数値関数は、実閉(1,1)形式が ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho }$

は正、つまりケーラー形式である。ここにドルボー演算子がある。この関数は のケーラーポテンシャルと呼ばれる。 ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \omega }$

逆に、ポアンカレの補題の複素版である局所補題${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ を用いることで、あらゆるケーラー計量は局所的にこのように記述できる。つまり、 がケーラー多様体であれば、内の任意の点に対しての近傍と となるような滑らかな実数値関数 が存在する。^{[ 4 ]}ここでは に対する局所ケーラーポテンシャルと呼ばれる。一般のリーマン計量を単一の関数で記述する、これと同等の方法はない。 ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\omega \vert }_{U}=(i/2)\partial {\bar {\partial }}\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \omega }$

ケーラーポテンシャル空間

ケーラー形式を単一のケーラーポテンシャルを用いて大域的に記述することは必ずしも可能ではないが、同じド・ラーム・コホモロジー類に属する2つのケーラー形式の差をこの方法で記述することは可能である。これはホッジ理論の-補題の帰結である。 ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

すなわち、 がコンパクトケーラー多様体である場合、コホモロジー類はケーラー類と呼ばれる。この類の他の代表、例えば は、何らかの一形式 に対してと異なる。-補題はさらに、この厳密な形式は滑らかな関数 に対してと書けることを述べている。上記の局所的な議論において、開部分集合 上の局所ケーラー類を取り、ポアンカレ補題により、任意のケーラー形式は局所的に零とコホモロジーとなる。したがって、局所ケーラーポテンシャルは局所的に と同じである。 ${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)}$ ${\displaystyle \omega '}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega '=\omega +d\beta }$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d\beta }$ ${\displaystyle d\beta =i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [\omega ]=0}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [\omega ]=0}$

一般に、 がケーラー類であるとき、そのような滑らかな関数に対して、他の任意のケーラー計量は と書ける。この形は自動的には正の形とはならないため、のケーラーポテンシャル空間はそれらの正の場合として定義され、一般的に と表記される。 ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{[\omega ]}:=\{\varphi :X\to \mathbb {R} {\text{smooth}}\mid \omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.}$

2つのケーラーポテンシャルが定数だけ異なる場合、それらは同じケーラー計量を定義するので、そのクラスのケーラー計量の空間は商 と同一視できる。ケーラーポテンシャルの空間は収縮可能な空間である。このように、ケーラーポテンシャルの空間は、与えられたクラスのすべてのケーラー計量を同時に研究することを可能にし、ケーラー計量の存在の研究におけるこの視点は、ケーラー計量にも当てはまる。 ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R} }$

ケーラー多様体と体積最小化

コンパクトケーラー多様体Xに対して、 Xの閉複素部分空間の体積はそのホモロジー類によって決定される。ある意味では、これは複素部分空間の幾何学がその位相によって有界となることを意味する。（これは実部分多様体では完全に成り立たない。）具体的には、ヴィルティンガーの公式は次のように述べている 。

${\displaystyle \mathrm {vol} (Y)={\frac {1}{r!}}\int _{Y}\omega ^{r},}$

ここで、Yはr次元の閉複素部分空間であり、 ωはケーラー形式である。^{[ 5 ]} ωは閉なので、この積分はH _{2 r} ( X , R )におけるYの類にのみ依存する。これらの体積は常に正であり、これは複素部分空間に関してH ² ( X , R )におけるケーラー類ωの強い正性を表す。特に、複素次元nのコンパクトケーラー多様体Xに対して、 H ^{2 n} ( X , R )においてω ⁿはゼロではない。

関連する事実として、コンパクトケーラー多様体Xの任意の閉複素部分空間Yは（その特異集合の外側では）極小部分多様体である。さらに、較正幾何学の理論によれば、Yは同じホモロジー類内のすべての（実）サイクルの中で体積を最小化する。

ケーラーのアイデンティティ

ケーラー多様体上の滑らかな構造、複素構造、リーマン構造の間の強い相互作用の結果として、ケーラー多様体の複素微分形式上の様々な作用素の間には、任意の複素多様体では成り立たない自然な恒等式が存在する。これらの恒等式は、外微分、ドルボ作用素とその随伴作用素であるラプラシアン、およびレフシェッツ作用素とその随伴作用素である縮約作用素を関連付ける。^{[ 6 ]}これらの恒等式はケーラー多様体上の解析的ツールキットの基礎を形成し、ホッジ理論と組み合わせることでケーラー多様体とそのコホモロジーの多くの重要な性質を証明する上で基本的な役割を果たす。特に、ケーラー恒等式は、小平と中野の消失定理、レフシェッツ超平面定理、硬いレフシェッツ定理、ホッジ・リーマン双線型関係、ホッジ指​​数定理を証明する上で重要です。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle L:=\omega \wedge -}$ ${\displaystyle \Lambda =L^{*}}$

ケーラー多様体上のラプラシアン

次元のリーマン多様体では、滑らかな -形式上のラプラシアンは で定義されます。 ここでは外微分、はホッジスター演算子です。（同様に、はコンパクト台を持つ -形式上のL ²内積に関するの随伴です。）エルミート多様体 では、 、、 は次のように分解されます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{*}=-(-1)^{n(r+1)}\star d\,\star }$ ${\displaystyle \star}$ ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d^{*}}$

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},}$

さらに2つのラプラシアンが定義されます。

${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}$

がケーラーならば、ケーラー恒等式はこれらのラプラシアンが定数を除いて全て同じであることを意味する：^{[ 7 ]}${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.}$

これらの恒等式はケーラー多様体上で、 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X),}$

ここで、 は（ の形式）上の調和 -形式の空間であり、 は調和-形式の空間である。つまり、微分形式が調和形式であるためには、その各-成分が調和形式となる必要がある。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \Delta \alpha =0}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle (p,q)}$

さらに、コンパクトケーラー多様体 に対して、ホッジ理論はケーラー計量の選択に依存しない上記の分解の解釈を与える。すなわち、複素係数を持つのコホモロジーは、特定のコヒーレント層コホモロジー群の直和として分解する：^{[ 8 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).}$

左側の群は位相空間としてのみ に依存しますが、右側の群は複素多様体として に依存します。したがって、このホッジ分解定理は、コンパクトケーラー多様体の位相と複素幾何学を結び付けます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

を複素ベクトル空間 とすると、これは与えられたケーラー計量に関する調和形式の空間と同一視できる。のホッジ数はで定義される。ホッジ分解は、コンパクトケーラー多様体のベッティ数をそのホッジ数で 分解することを意味する。${\displaystyle H^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle H^{q}(X,\Omega ^{p})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h^{p,q}(X)=\mathrm {dim} _{\mathbf {C} }H^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q}.}$

コンパクトケーラー多様体のホッジ数は、いくつかの恒等式を満たす。ラプラシアンが実作用素であるため、ホッジ対称性 が成り立つ。したがって、この恒等式は、ホッジスター作用素が同型 を与えることから証明できる。また、セール双対性からも従う。 ${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}}$ ${\displaystyle \Delta _{d}}$ ${\displaystyle H^{p,q}={\overline {H^{q,p}}}}$ ${\displaystyle h^{p,q}=h^{n-p,n-q}}$ ${\displaystyle H^{p,q}\cong {\overline {H^{n-p,n-q}}}}$

コンパクトケーラー多様体の位相

ホッジ理論の単純な帰結として、コンパクト・ケーラー多様体のすべての奇ベッティ数b _{2 a +1は、ホッジ対称性により偶数となる。これは一般には成立しない。}ホップ面の例が示すように、ホップ面はS ¹ × S ³と微分同相であり、したがってb ₁ = 1となる。

「ケーラーパッケージ」とは、ホッジ理論を基盤として、コンパクトケーラー多様体のコホモロジーに対する更なる制約の集合である。その結果として、レフシェッツ超平面定理、硬レフシェッツ定理、ホッジ・リーマン双線型関係式などが得られる。^{[ 9 ]}関連する結果として、すべてのコンパクトケーラー多様体は有理ホモトピー理論の意味で形式的である。 ^{[ 10 ]}

どの群がコンパクト・ケーラー多様体の基本群（ケーラー群と呼ばれる）になり得るかという問題は未解決である。ホッジ理論は、可能なケーラー群に対して多くの制約を与える。^{[ 11 ]}最も単純な制約は、コンパクト・ケーラー多様体のベッティ数b _{1が偶数であるため、ケーラー群の}アーベル化は偶数階でなければならないということである。（例えば、整数Zはコンパクト・ケーラー多様体の基本群にはなり得ない。）非アーベル・ホッジ理論などの理論の拡張は、どの群がケーラー群になり得るかに関してさらなる制約を与える。

ケーラー条件がなければ、状況は単純である。クリフォード・タウベスは、すべての有限提示群は、次元3の何らかのコンパクト複素多様体の基本群として生じることを示した。 ^{[ 12 ]} （逆に、任意の閉多様体の基本群は有限提示である。）

複素射影多様体とコンパクトケーラー多様体の特徴づけ

小平埋め込み定理は、すべてのコンパクト ケーラー多様体のうち滑らか​​な複素射影多様体を特徴付ける。つまり、コンパクト複素多様体Xが射影的であるための必要十分条件は、 X上のケーラー形式ωがあり、そのH ² ( X , R )の類が整コホモロジー群H ² ( X , Z )の像に含まれる場合である。(ケーラー形式の正の倍数はケーラー形式であるため、XにはH ² ( X , R )の類がH ² ( X , Q )に由来するケーラー形式があると言うことと同値である。) 同様に、X が射影的であるための必要十分条件は、曲率形式 ω が正であるエルミート計量を持つX上の正則直線束Lが存在する場合である(そのとき ω はH ² ( X , Z )におけるLの最初のチャーン類を表すケーラー形式であるため)。これらの条件を満たすケーラー形式ω（つまり、ケーラー形式ωが積分微分形式である）はホッジ形式とも呼ばれ、このときのケーラー計量はホッジ計量と呼ばれる。ホッジ計量を持つコンパクトケーラー多様体もホッジ多様体と呼ばれる。^{[ 13 ] [ 14 ]}

ケーラー多様体の多くの性質は、-多様体、すなわち-補題が成り立つコンパクト複素多様体のやや一般性において成立する。特に、ボット・チャーン・コホモロジーはコンパクト複素多様体のドルボ・コホモロジーの代替であり、多様体が-補題を満たす場合のみ同型となり、特にケーラー多様体の場合は一致する。一般に、ボット・チャーン・コホモロジーからドルボ・コホモロジーへの自然写像の核は、多様体がケーラー多様体ではないことに関する情報を含んでいる。^{[ 15 ]}${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

すべてのコンパクト複素曲線は射影的であるが、複素次元が少なくとも 2 の場合、射影的ではないコンパクト ケーラー多様体が多数存在する。たとえば、ほとんどのコンパクト複素トーラスは射影的ではない。すべてのコンパクト ケーラー多様体は、少なくとも (複素構造を連続的に変化させることによって) 滑らかな射影多様体に変形できるかどうかという疑問が生じるかもしれない。小平邦彦の曲面の分類に関する研究は、複素次元が 2 のすべてのコンパクト ケーラー多様体は確かに滑らかな射影多様体に変形できることを示唆している。しかし、クレール・ヴォワザンは、このことが少なくとも 4 次元では成立しないことを発見した。彼女は、どんな滑らかな複素射影多様体ともホモトピー同値ではない複素次元が 4 のコンパクト ケーラー多様体を構築した。^{[ 16 ]}

コンパクト複素多様体全体の中で、コンパクトケーラー多様体の特徴付けを求めることもできる。複素次元2において、小平とYum-Tong Siuは、コンパクト複素面がケーラー計量を持つための必要十分条件は、その第一ベッティ数が偶数であることである。^{[ 17 ]}コンパクト複素面の分類を用いた厳格なケースバイケースの検討を必要としないこの結果の代替的な証明は、BuchdahlとLamariによって独立に提供された。^{[ 18 ] [ 19 ]}したがって、「ケーラー」はコンパクト複素面の純粋に位相的な性質である。しかし、弘中の例は、これが少なくとも3次元では成り立たないことを示している。より詳細には、この例は、ほとんどのファイバーがケーラー（さらには射影的）であるが、1つのファイバーがケーラーではない、滑らかなコンパクト複素3次元多様体の1パラメータ族である。したがって、コンパクトケーラー多様体は、非ケーラー複素多様体と微分同相になり得る。

ケーラー・アインシュタイン多様体

ケーラー多様体は、リッチ曲率が一定である場合、ケーラー・アインシュタイン多様体と呼ばれます。同様に、リッチ曲率テンソルは、計量テンソルの定数λ倍、つまりRic = λgに等しくなります。アインシュタイン多様体への言及は、一般相対性理論に由来します。一般相対性理論では、質量がない場合、時空はリッチ曲率がゼロの4次元ローレンツ多様体であると主張しています。詳細については、 アインシュタイン多様体に関する記事を参照してください。

リッチ曲率は任意のリーマン多様体に対して定義されますが、ケーラー幾何学で特別な役割を果たします。ケーラー多様体Xのリッチ曲率は、 c ₁ ( X ) (接バンドルの最初のチャーン類) をH ² ( X、R )で表す実閉 (1,1)-形式と見なすことができます。したがって、コンパクトなケーラー–アインシュタイン多様体X は、アインシュタイン定数 λ が正、ゼロ、負のいずれであるかによって、反アンプル、ホモロジー的に自明、またはアンプルのいずれかの標準バンドルK _Xを持つ必要があります。これら 3 つのタイプのケーラー多様体は、それぞれ、ファノ、カラビ–ヤウ、またはアンプル標準バンドル (一般タイプを意味する) を持つと呼ばれます。小平埋め込み定理により、ファノ多様体とアンプル標準バンドルを持つ多様体は自動的に射影多様体になります。

シン・トン・ヤウはカラビ予想を証明した。すなわち、十分な正準束を持つすべての滑らかな射影多様体はケーラー・アインシュタイン計量（負のリッチ曲率を持つ）を持ち、すべてのカラビ・ヤウ多様体はケーラー・アインシュタイン計量（リッチ曲率はゼロ）を持つ、というものである。これらの結果は代数多様体の分類において重要であり、十分な正準束を持つ多様体に対する宮岡・ヤウ不等式やカラビ・ヤウ多様体に対するボーヴィル・ボゴモロフ分解などに応用されている。^{[ 20 ]}

対照的に、滑らかなファノ多様体のすべてがケーラー・アインシュタイン計量を持つわけではない（ケーラー・アインシュタイン計量を持つと、定数の正のリッチ曲率を持つ）。しかし、Xiuxiong Chen、Simon Donaldson、Song Sunは、Yau– Tian –Donaldson予想を証明した。すなわち、滑らかなファノ多様体がケーラー・アインシュタイン計量を持つための必要十分条件は、それがK安定であることであり、これは純粋に代数幾何学的な条件である。

ケーラー・アインシュタイン計量が存在できない状況では、定スカラー曲率ケーラー計量や極値ケーラー計量といった緩やかな一般化を研究することが可能です。ケーラー・アインシュタイン計量が存在できる場合、これらのより広い一般化は自動的にケーラー・アインシュタイン計量となります。

正則断面曲率

リーマン多様体Xの、ユークリッド空間上の標準計量からの偏差は、断面曲率で測定されます。断面曲率は、 Xの接空間内の任意の実 2 次元平面に関連付けられた実数です。たとえば、CP ⁿ ( n ≥ 2 ) 上の標準計量の断面曲率は、すべての点で 1/4 から 1 の間で変化します。エルミート多様体 (たとえば、ケーラー多様体) の場合、正則断面曲率は、接空間の複素直線に制限された断面曲率を意味します。これは、CP ^{n が}すべての場所で 1 に等しい正則断面曲率を持つという点で、より単純に動作します。もう一方の極端な例として、C ⁿの開単位球体は、正則断面曲率が -1 に等しい完全なケーラー計量を持ちます。(この計量では、球体は複素双曲空間とも呼ばれます。)

正則断面曲率は、基礎となる複素多様体の複素幾何学と密接に関係している。アルフォース・シュワルツの補題から、負の正則断面曲率（負の定数で上が有界）のエルミート計量を持つエルミート多様体であれば、それはブロディ双曲的（すなわち、すべての正則写像は定数）である、という基本的な帰結が得られる。Xがコンパクトであれば、これは多様体が小林双曲的であることと同値である。^{[ 21 ]}${\displaystyle (X,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \to X}$

一方、が正の正則断面曲率のケーラー計量を持つコンパクトケーラー多様体である場合、Yang Xiaokui はXが有理連結であることを示しました。 ${\displaystyle (X,\omega )}$

複素幾何学の注目すべき特徴は、複素部分多様体上では正則断面曲率が減少することである。^{[ 22 ]}（より一般的な概念である正則二分曲率についても同様である。）例えば、C ⁿのあらゆる複素部分多様体（ C ⁿから誘導された計量を持つ）は、正則断面曲率が ≤ 0 である。

エルミート多様体間の正則写像の場合、正則断面曲率は、シュワルツの補題の2階推定に現れる目標曲率項を制御するのに十分強力ではない。これが、Xiaokui YangとFangyang Zhengによって導入された実二分曲率の検討の動機となった。 ^{[ 23 ]}これは、Man-Chun LeeとJeffrey Streetsの研究においても複素曲率演算子 という名前で登場する。^{[ 24 ]}

例

1. 標準エルミート計量を持つ複素空間C ^{nはケーラー多様体です。}
2. コンパクト複素トーラスC ⁿ /Λ (Λ は完全格子) はC ⁿ上のユークリッド計量から平坦計量を継承するため、コンパクト ケーラー多様体になります。
3. 向き付けられた2次元多様体上のすべてのリーマン計量はケーラー計量である。（実際、そのホロノミー群は回転群SO(2)に含まれ、これはユニタリー群U(1)に等しい。）特に、向き付けられた2次元リーマン多様体は標準的な意味でリーマン面である。これは等温座標の存在として知られている。逆に、任意のエルミート計量のケーラー形式は次元上の理由から閉じているため、すべてのリーマン面はケーラー面である。
4. 複素射影空間CP ⁿ上のケーラー計量の標準的な選択肢として、フビニ・スタディ計量がある。1 つの記述では、ユニタリ群U( n + 1) 、つまり標準エルミート形式を保存するC ^{n +1}の線型自己同型群を使用する。フビニ・スタディ計量は、CP n 上の U( n + 1) の作用に対して不変である CP n 上の唯一のリーマン計量である（^正の倍数を除く）。^CP n^の自然な一般化の 1 つは、グラスマン多様体などのコンパクト型のエルミート対称空間によって提供される。コンパクト型のエルミート対称空間上の自然なケーラー計量は、断面曲率 ≥ 0 である。
5. ケーラー多様体の複素部分多様体上の誘導計量はケーラー多様体である。特に、任意のシュタイン多様体（C ⁿに埋め込まれている）または滑らかな射影代数多様体（CP ⁿに埋め込まれている）はケーラー多様体である。これは多くの例である。
6. C ⁿの開単位球体Bは、ベルクマン計量と呼ばれる完全なケーラー計量を持ち、その正則断面曲率は -1 である。この球体の自然な一般化は、ジーゲル上半空間のような非コンパクト型のエルミート対称空間によって提供される。任意の非コンパクト型のエルミート対称空間X は、あるC ⁿの有界領域と同型であり、 Xのベルクマン計量は断面曲率 ≤ 0 の完全なケーラー計量である。
7. すべてのK3曲面はケーラー曲面である（Siuによる）。^{[ 17 ]}

参照

• ほぼ複素多様体
• ハイパーケーラー多様体
• 四元数-ケーラー多様体
• Kエネルギー関数

注記

1. Cannas da Silva (2001)、定義 16.1。
2. Zheng（2000）、命題7.14。
3. 小林＆野水 (1996)、v. 2、p. 2 149.
4. モロイアヌ (2007)、命題 8.8。
5. Zheng (2000)、セクション 7.4。
6. Huybrechts (2005)、セクション 3.1。
7. Huybrechts (2005)、命題 3.1.12。
8. Huybrechts (2005)、結果 3.2.12。
9. Huybrechts (2005)、セクション 3.3 および 5.2、
10. Huybrechts (2005)、命題 3.A.28。
11. アモロスら（1996）
12. アモロスら。 (1996)、結果 1.66。
13. ウェルズ (2007) p.217 定義 1.1
14. 小平（1954）
15. Angella, D. および Tomassini, A.、2013 年。-Lemma と Bott-Chern コホモロジーについて。 Inventions mathematicae、 192 (1)、pp.71-81。${\displaystyle \partial {\overline {\partial }}}$
16. ヴォワザン（2004）
17. Barth et al. (2004)、セクション IV.3。
18. ブッフダール（1999）
19. ラマリ（1999）
20. 鄭（2000）、系9.8。
21. Zheng (2000)、補題 9.14。
22. 小林 & 野水 (1996)、v. 2、提案 IX.9.2。
23. 楊＆鄭 (2018)
24. リー＆ストリーツ（2021）

参考文献

• アモロス, ジャウメ; バーガー, マーク; コーレット, ケビン; コッシック, ディーター; トレド, ドミンゴ (1996), 「コンパクトケーラー多様体の基本群」 , 数学サーベイズ・アンド・モノグラフ, 第44巻,アメリカ数学会, doi : 10.1090/surv/044 , ISBN 978-0-8218-0498-8、MR  1379330
• ウルフ・P・バース;クラウス・ヒューレック;ピーターズ、クリスAM。 Van de Ven、Antonius (2004) [1984]、Compact Complex Surfaces、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ / 数学における現代調査シリーズ、vol. 4、スプリンガー、土井：10.1007/978-3-642-57739-0、ISBN 978-3-540-00832-3、MR  2030225
• ブッフダール、ニコラス (1999)。「コンパクトなケーラー曲面について」。フーリエ研究所の分析。49 (1): 287–302。土井: 10.5802/aif.1674。MR  1688136。Zbl  0926.32025。
• Cannas da Silva, Ana (2001), Lectures on Symplectic Geometry , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1764, Springer , doi : 10.1007/978-3-540-45330-7 , ISBN 978-3540421955、MR  1853077
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョセフ(1994) [1978].代数幾何学の原理.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-471-05059-9. MR  0507725 .
• ケーラー、エーリッヒ(1933)、「Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik」、Abh。数学。セム。大学ハンブルク、9 (1): 173–186、土井: 10.1007/BF02940642、JFM  58.0780.02、S2CID  122246578
• Huybrechts、Daniel (2005)、Complex Geometry: An Introduction、Springer、ISBN 978-3-540-21290-4、MR  2093043
• 小林 庄七;野水勝美(1996) [1969]、微分幾何学の基礎、vol. 2、ジョン・ワイリー&サンズ、ISBN 978-0-471-15732-8、MR  1393941
• 小平 憲一 (1954). 「制限型ケーラー多様体について：代数多様体の本質的特徴づけ」Annals of Mathematics . 60 (1): 28– 48. doi : 10.2307/1969701 . JSTOR  1969701 .
• ラマリ、アセン（1999）。「クーラント・ケーレリアンと表面の圧縮」。フーリエ研究所の分析。49 (1): 263–285 .土井: 10.5802/aif.1673。MR  1688140。Zbl  0926.32026。
• Lee, Man-Chun; Streets, Jeffrey (2021). 「負の曲率作用素を持つ複素多様体」. International Mathematics Research Notices . 2021 (24): 18520– 18528. arXiv : 1903.12645 . doi : 10.1093/imrn/rnz331 . S2CID  88524040 .
• モロイアヌ、アンドレイ (2007)、「ケーラー幾何学に関する講義」、ロンドン数学会学生テキスト、第69巻、ケンブリッジ大学出版局、arXiv : math/0402223、doi : 10.1017/CBO9780511618666、ISBN 978-0-521-68897-0、MR  2325093
• ヴォワザン, クレア(2004), 「コンパクトケーラー多様体と複素射影多様体のホモトピー型について」, Inventiones Mathematicae , 157 (2): 329– 343, arXiv : math/0312032 , Bibcode : 2004InMat.157..329V , doi : 10.1007/s00222-003-0352-1 , MR  2076925 , S2CID  11984149
• Yang, Xiaokui; Zheng, Fangyang (2018). 「エルミート多様体の実二分曲率について」.アメリカ数学会誌. 371 (4): 2703– 2718. arXiv : 1610.07165 . doi : 10.1090/tran/7445 . S2CID  119669591 .
• ウェルズ、レイモンド・O. (2007).複素多様体上の微分解析. シュプリンガー. ISBN 9780387738925。
• 鄭, 芳陽 (2000), 『複素微分幾何学』アメリカ数学会, ISBN 978-0-8218-2163-3、MR  1777835

外部リンク

• 「ケーラー多様体」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• アンドレイ・モロイアヌ (2004)、ケーラー幾何学の講義(PDF)