ddbar 補題

複素幾何学において、補題（発音：ddbar lemma）は、複素微分形式のde Rham コホモロジー類に関する数学的な補題である。-補題は、コンパクト・ケーラー多様体上のホッジ理論とケーラー恒等式から得られる。関連する演算子 を用いており、2つの演算子の関係は であり、したがって であることから、-補題とも呼ばれる。[ 1 ] : 1.17 [ 2 ] : Lem 5.50 ∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}ddc{\displaystyle dd^{c}}dc＝−私2（∂−∂¯）{\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}私∂∂¯＝ddc{\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}}α＝ddcβ{\displaystyle \alpha =dd^{c}\beta }

声明

補題は、がコンパクトケーラー多様体であり、が複素微分形式(p,q)（ただし、）で、そのド・ラームコホモロジーにおける類がゼロであるとき、次数(p-1,q-1)の 形式が存在し、∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}（X、ω）{\displaystyle (X,\omega )}α∈Ωp、q（X）{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}p、q≥1{\displaystyle p,q\geq 1}[α]∈HdRp+q（X、C）{\displaystyle [\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}β∈Ωp−1、q−1（X）{\displaystyle \beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}

α＝私∂∂¯β、{\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta ,}

ここで、およびは複素多様体のドルボー作用素である。[ 3 ]：Ch VI Lem 8.6 ∂{\displaystyle \partial}∂¯{\displaystyle {\bar {\partial}}}X{\displaystyle X}

DDbarポテンシャル

この形式は の-ポテンシャルと呼ばれます。因子 を含めることでが実微分演算子であることが保証されます。 つまり、 が実係数の微分形式であれば も実係数の微分形式となります。β{\displaystyle \beta}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}α{\displaystyle \alpha}私{\displaystyle i}私∂∂¯{\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}}α{\displaystyle \alpha}β{\displaystyle \beta}

この補題は、ド・ラーム・コホモロジーにおける正確な微分形式の概念と比較されるべきである。特に、 が（任意の滑らかな多様体上の）閉微分k形式であり、そのド・ラーム・コホモロジーにおける類が零である場合、 の-ポテンシャル（または単にポテンシャル）と呼ばれるある微分(k-1)形式に対して、 は外微分である。実際、ドルボー演算子を足し合わせると外微分 と が得られるので、-補題は を選び、コンパクト・ケーラー多様体の設定において -ポテンシャルを -ポテンシャル に精緻化できたことを意味する。α∈Ωけ（X）{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(X)}α＝dγ{\displaystyle \alpha =d\gamma }γ{\displaystyle \gamma}d{\displaystyle d}α{\displaystyle \alpha}d{\displaystyle d}d＝∂+∂¯{\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}∂¯2＝0{\displaystyle {\bar {\partial}}^{2}=0}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}γ＝∂¯β{\displaystyle \gamma ={\bar {\partial }}\beta }d{\displaystyle d}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}

証拠

-補題は、コンパクトなケーラー多様体に適用されたホッジ理論の結果である。 [ 3 ] [ 1 ] :41–44 [ 2 ] :73–77 ∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}

楕円複体に対するホッジ定理は、任意の演算子とそれぞれのラプラス演算子に適用できる。これらの演算子に対して、核によって与えられる調和微分形式の空間を定義できる。 d、∂、∂¯{\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}Δd、Δ∂、Δ∂¯{\displaystyle \Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}}

Hdけ＝カー⁡Δd:Ωけ（X）→Ωけ（X）H∂p、q＝カー⁡Δ∂:Ωp、q（X）→Ωp、q（X）H∂¯p、q＝カー⁡Δ∂¯:Ωp、q（X）→Ωp、q（X）{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{d}^{k}&=\ker \Delta _{d}:\Omega ^{k}(X)\to \Omega ^{k}(X)\\{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}&=\ker \Delta _{\partial }:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}&=\ker \Delta _{\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\\end{aligned}}}

ホッジ分解定理は、これらの調和形式の空間には3つの直交分解が存在することを主張しており、

Ωけ（X）＝Hdけ⊕私は⁡d⊕私は⁡d∗Ωp、q（X）＝H∂p、q⊕私は⁡∂⊕私は⁡∂∗Ωp、q（X）＝H∂¯p、q⊕私は⁡∂¯⊕私は⁡∂¯∗{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega ^{k}(X)&={\mathcal {H}}_{d}^{k}\oplus \operatorname {im} d\oplus \operatorname {im} d^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}\oplus \operatorname {im} \partial \oplus \operatorname {im} \partial ^{*}\\\Omega ^{p,q}(X)&={\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}\end{aligned}}}

ここで、はそれぞれケーラー多様体のリーマン計量に関する の形式的随伴である。[ 4 ] : Thm. 3.2.8 これらの分解は任意のコンパクト複素多様体上で別々に成立する。多様体がケーラー多様体であることの重要性は、 のラプラシアンと、したがって上記の直交分解の のラプラシアンとの間に関係があることである。特に、コンパクトケーラー多様体 d∗、∂∗、∂¯∗{\displaystyle d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}}d、∂、∂¯{\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}d、∂、∂¯{\displaystyle d,\partial ,{\bar {\partial }}}

Δd＝2Δ∂＝2Δ∂¯{\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\partial }=2\Delta _{\bar {\partial }}}

これは直交分解を意味する

Hdk=⨁p+q=kH∂p,q=⨁p+q=kH∂¯p,q{\displaystyle {\mathcal {H}}_{d}^{k}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}=\bigoplus _{p+q=k}{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}}

ここで、空間と調和形式の関係式がさらに存在する。[ 4 ]：命題3.1.12 H∂p,q=H∂¯q,p¯{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\partial }^{p,q}={\overline {{\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{q,p}}}}∂{\displaystyle \partial }∂¯{\displaystyle {\bar {\partial }}}

上記の分解の結果、次の補題が証明できます。

補題（-補題）[ 3 ] : 311 ∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}} —をコンパクトケーラー多様体上の -閉(p,q)-形式とする。このとき、以下は同値である。 α∈Ωp,q(X){\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}d{\displaystyle d}X{\displaystyle X}

  1. α{\displaystyle \alpha }正確です。d{\displaystyle d}
  2. α{\displaystyle \alpha }正確です。∂{\displaystyle \partial }
  3. α{\displaystyle \alpha }正確です。∂¯{\displaystyle {\bar {\partial }}}
  4. α{\displaystyle \alpha }は -正確です。つまり、 となるような が存在するということです。∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}β{\displaystyle \beta }α=i∂∂¯β{\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }
  5. α{\displaystyle \alpha }は に直交します。H∂¯p,q⊂Ωp,q(X){\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)}

証明は以下の通りである。[ 4 ]：Cor. 3.2.10 をコンパクトケーラー多様体上の閉(p,q)-形式とする。(d)から(a), (b), (c)が導かれることはすぐに分かる。さらに、上記の直交分解から、(a), (b), (c)のいずれからも(e)が導かれることがわかる。したがって、主な難しさは(e)から(d)が導かれることを示すことである。 α∈Ωp,q(X){\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}(X,ω){\displaystyle (X,\omega )}

そのためには、 が部分空間 に直交すると仮定する。すると となる。は-閉でありなので、もまた-閉である（つまり）。と が含まれる場合、この和はリーマン計量によって誘導される 内積に関する直交分解から得られるので、α{\displaystyle \alpha }H∂¯p,q⊂Ωp,q(X){\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)}α∈im⁡∂¯⊕im⁡∂¯∗{\displaystyle \alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}α{\displaystyle \alpha }d{\displaystyle d}d=∂+∂¯{\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}∂¯{\displaystyle {\bar {\partial }}}∂¯α=0{\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}α=α′+α″{\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''}α′∈im⁡∂¯{\displaystyle \alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}α″=∂¯∗γ{\displaystyle \alpha ''={\bar {\partial }}^{*}\gamma }im⁡∂¯∗{\displaystyle \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}}⟨−,−⟩{\displaystyle \langle -,-\rangle }

⟨α″,α″⟩=⟨α,α″⟩=⟨α,∂¯∗γ⟩=⟨∂¯α,γ⟩=0{\displaystyle \langle \alpha '',\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,\alpha ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}^{*}\gamma \rangle =\langle {\bar {\partial }}\alpha ,\gamma \rangle =0}

あるいは言い換えれば、とである。したがって となる。これにより、何らかの微分形式 について と書くことができる。 のホッジ分解を に適用すると、 ‖α″‖2=0{\displaystyle \|\alpha ''\|^{2}=0}α″=0{\displaystyle \alpha ''=0}α=α′∈im⁡∂¯{\displaystyle \alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}}α=∂¯η{\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\eta }η∈Ωp,q−1(X){\displaystyle \eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)}∂{\displaystyle \partial }η{\displaystyle \eta }

η=η0+∂η′+∂∗η″{\displaystyle \eta =\eta _{0}+\partial \eta '+\partial ^{*}\eta ''}

ここで は-調和関数であり、です。等式はも -調和関数であることを意味し、したがって となります。したがって です。しかし、は-閉関数であるため、 も -閉関数です。そして、上記と同様のトリックを使って、 η0{\displaystyle \eta _{0}}Δ∂{\displaystyle \Delta _{\partial }}η′∈Ωp−1,q−1(X){\displaystyle \eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}η″∈Ωp+1,q−1(X){\displaystyle \eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)}Δ∂¯=Δ∂{\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }}η0{\displaystyle \eta _{0}}Δ∂¯{\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}}∂¯η0=∂¯∗η0=0{\displaystyle {\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0}α=∂¯∂η′+∂¯∂∗η″{\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '+{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''}α{\displaystyle \alpha }d{\displaystyle d}∂{\displaystyle \partial }

⟨∂¯∂∗η″,∂¯∂∗η″⟩=⟨α,∂¯∂∗η″⟩=−⟨α,∂∗∂¯η″⟩=−⟨∂α,∂¯η″⟩=0,{\displaystyle \langle {\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta '',{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =\langle \alpha ,{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''\rangle =-\langle \alpha ,\partial ^{*}{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =-\langle \partial \alpha ,{\bar {\partial }}\eta ''\rangle =0,}

また、ケーラーの恒等式を適用して と を設定します。したがって、 と を設定すると-ポテンシャルが生成されます。 ∂¯∂∗=−∂∗∂¯{\displaystyle {\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}}α=∂¯∂η′{\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '}β=iη′{\displaystyle \beta =i\eta '}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}

ローカルバージョン

-補題の局所版は成立し、ホッジ分解定理を用いることなく証明できる。[ 4 ]：例1.3.3、Rmk 3.2.11 これは、作用素に対するポアンカレ補題またはドルボア・グロタンディーク補題の類似である。局所-補題は、前述の補題が成立する任意の領域上で成立する。 ∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}

補題（局所-補題）∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}—を複素多様体とし、をに対して二次微分形式 (p,q) とします。このとき、が-閉であるためには、任意の点に対してと上でとなる微分形式を含む開近傍が存在することが必要です。 X{\displaystyle X}α∈Ωp,q(X){\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p,q}(X)}p,q≥1{\displaystyle p,q\geq 1}α{\displaystyle \alpha }d{\displaystyle d}p∈X{\displaystyle p\in X}U⊂X{\displaystyle U\subset X}p{\displaystyle p}β∈Ωp−1,q−1(U){\displaystyle \beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(U)}α=i∂∂¯β{\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }U{\displaystyle U}

証明は前述の補題からすぐに導かれる。まず、が局所的にあるに対して形 である場合、 、、 であるため、ということに注目する。一方、が -閉であるとする。するとポアンカレの補題により、任意の点の開近傍と となる形が存在する。ここで、とについて書き、における形の 2 次数を比較すると、および となり、となることに注意されたい。開近傍 のサイズを場合によっては縮小した後、ドルボア–グロタンディークの補題をと（後者は のため）に適用して、および となる局所形を得ることができる。すると、 という証明が完成する。ここでとなる。 α{\displaystyle \alpha }α=i∂∂¯β{\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta }β{\displaystyle \beta }dα=d(i∂∂¯β)=i(∂+∂¯)(∂∂¯β)=0{\displaystyle d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0}∂2=0{\displaystyle \partial ^{2}=0}∂¯2=0{\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}∂∂¯=−∂¯∂{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial }α{\displaystyle \alpha }d{\displaystyle d}U{\displaystyle U}p∈X{\displaystyle p\in X}γ∈Ωp+q−1(U){\displaystyle \gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)}α=dγ{\displaystyle \alpha =d\gamma }γ=γ′+γ″{\displaystyle \gamma =\gamma '+\gamma ''}γ′∈Ωp−1,q(X){\displaystyle \gamma '\in \Omega ^{p-1,q}(X)}γ″∈Ωp,q−1(X){\displaystyle \gamma ''\in \Omega ^{p,q-1}(X)}dα=(∂+∂¯)α=0{\displaystyle d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0}dα{\displaystyle d\alpha }∂¯γ′=0{\displaystyle {\bar {\partial }}\gamma '=0}∂γ″=0{\displaystyle \partial \gamma ''=0}α=∂γ′+∂¯γ″{\displaystyle \alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''}U{\displaystyle U}γ′{\displaystyle \gamma '}γ″¯{\displaystyle {\overline {\gamma ''}}}∂γ″¯=∂¯(γ″¯)=0{\displaystyle {\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0}η′,η″∈Ωp−1,q−1(X){\displaystyle \eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)}γ′=∂¯η′{\displaystyle \gamma '={\bar {\partial }}\eta '}γ″¯=∂¯η″{\displaystyle {\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''}γ″=∂η″¯{\displaystyle \gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}}α=∂∂¯η′+∂¯∂η″¯=i∂∂¯β{\displaystyle \alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta }β=−iη′+iη″¯{\displaystyle \beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}}

ボット・チャーンコホモロジー

ボット・チャーン・コホモロジーは、コンパクト複素多様体に対するコホモロジー理論であり、作用素 と に依存し、 -補題が成立しない程度を測る。特に、コンパクト複素多様体がケーラー多様体である場合、ボット・チャーン・コホモロジーはドルボー・コホモロジーと同型であるが、一般にはより多くの情報を含んでいる。 ∂{\displaystyle \partial }∂¯{\displaystyle {\bar {\partial }}}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}

コンパクト複素多様体[ 3 ]のボット・チャーンコホモロジー群は次のように定義される。

HBCp,q(X)=ker⁡(∂:Ωp,q→Ωp+1,q)∩ker⁡(∂¯:Ωp,q→Ωp,q+1)im⁡(∂∂¯:Ωp−1,q−1→Ωp,q).{\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)={\frac {\ker(\partial :\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p+1,q})\cap \ker({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\operatorname {im} (\partial {\bar {\partial }}:\Omega ^{p-1,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}

と-閉である微分形式は -閉なので、ボット・チャーン・コホモロジー群からド・ラーム・コホモロジー群への自然な写像が存在する。また、およびドルボー・コホモロジー群への写像も存在する。多様体が-補題を満たす場合、例えばコンパクト・ケーラー多様体であれば、上記のボット・チャーン・コホモロジーからドルボー・コホモロジーへの写像は同型であり、さらにボット・チャーン・コホモロジーからド・ラーム・コホモロジーへの写像は単射である。[ 5 ]結果として、同型が存在する。 ∂{\displaystyle \partial }∂¯{\displaystyle {\bar {\partial }}}d{\displaystyle d}HBCp,q(X)→HdRp+q(X,C){\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )}∂{\displaystyle \partial }∂¯{\displaystyle {\bar {\partial }}}HBCp,q(X)→H∂p,q(X),H∂¯p,q(X){\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)}X{\displaystyle X}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}

HdRk(X,C)=⨁p+q=kHBCp,q(X){\displaystyle H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=k}H_{BC}^{p,q}(X)}

が-補題を満たすときはいつでも。このように、上の写像の核は、多様体が補題を満たさないこと、特にがケーラー多様体ではないことを測定する。 X{\displaystyle X}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}X{\displaystyle X}X{\displaystyle X}

二度近似の結果（1,1）

-補題の最も重要な帰結は、複素微分形式が二次関数(1,1)を持つ場合に生じる。この場合、補題は、正確な微分形式が滑らかな関数によって与えられる-ポテンシャルを持つと述べている。 ∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}α∈Ω1,1(X){\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1,1}(X)}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}f∈C∞(X,C){\displaystyle f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )}

α=i∂∂¯f.{\displaystyle \alpha =i\partial {\bar {\partial }}f.}

特に、がケーラー多様体の小さな開部分集合に制限されたケーラー形式である場合にこれが起こります (この場合は補題の局所的バージョンに従う)。この場合は前述のポアンカレの補題により、これが正確な微分形式であることが保証されます。これにより、ケーラー形式を完全に指定する局所的に定義された関数であるケーラーポテンシャルの概念が生まれます。もう 1 つの重要なケースは、 が同じド ラーム コホモロジー類にある 2 つのケーラー形式の差である場合です。この場合はド ラーム コホモロジーであるため、-補題が適用されます。ケーラー形式 (の差) を単一の関数 (自動的に多元調和関数 ) を使用して完全に記述できるようにすることで、多くの解析ツールが利用可能な多元ポテンシャル理論の手法を使用して、コンパクト ケーラー多様体の研究を行うことができます。たとえば、 -lemma はケーラー・アインシュタイン方程式をポテンシャルの観点から言い換えるために使用され、ケーラーポテンシャルの 複雑なモンジュ・アンペール方程式に変換されます。α=ω{\displaystyle \alpha =\omega }U⊂X{\displaystyle U\subset X}α=ω−ω′{\displaystyle \alpha =\omega -\omega '}[ω]=[ω′]{\displaystyle [\omega ]=[\omega ']}[α]=[ω]−[ω′]=0{\displaystyle [\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}

ddbar多様体

必ずしもケーラー多様体ではないが、-補題を満たす複素多様体は、-多様体と呼ばれる。例えば、藤木類Cであるコンパクト複素多様体は、-補題を満たすが、必ずしもケーラー多様体ではない。[ 5 ]∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}

参照

参考文献

  1. ^ a b Gauduchon, P. (2010). 「ケーラー幾何学の要素」.カラビの極限ケーラー計量：初等的入門（プレプリント）.
  2. ^ a bバルマン、ヴェルナー (2006).ケーラー多様体に関する講義. ヨーロッパ数学協会. doi : 10.4171/025 . ISBN 978-3-03719-025-8。
  3. ^ a b c dデマイリー、ジャン＝ピエール (2012).代数幾何学における解析的手法. サマービル、マサチューセッツ州: インターナショナル・プレス. ISBN 9781571462343。
  4. ^ a b c d Huybrechts, D. (2005).複素幾何学. Universitext. ベルリン: Springer. doi : 10.1007/b137952 . ISBN 3-540-21290-6。{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)
  5. ^ a bアンジェラ、ダニエレ;トマッシーニ、アドリアーノ (2013)。 「レンマとボット・チャーンのコホモロジーについて」。数学の発明。192 : 71–81.arXiv : 1402.1954 。​​土井：10.1007/s00222-012-0406-3。S2CID 253747048。∂∂¯{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}} 
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